ملخص التباديل والتوافيق، الرياضيات

مفهوم أساسي

• مبدأ العدّ الأساسي: للتجربة العشوائية التي يُمكن إجراؤها في $n$ مرحلة، إذا كان عدد الطرائق المُمكنة لإجراء المرحلة الأولى هو $K_1$، وعدد الطرائق المُمكنة لإجراء المرحلة الثانية هو $K_2$، ...، وعدد الطرائق المُمكنة لإجراء المرحلة $n$ هو $K_n$، فإنَّ العدد الكلي للطرائق المُمكنة لإجراء التجربة هو: $K_1 \times K_2 \times ... \times K_n$

مفهوم أساسي

• باستعمال مبدأ العدّ الأساسي: يُكتب مضروب العدد الصحيح الموجب $n$ في صورة (!⁦n)⁩، ويساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى $n$ كالآتي: $n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times ... \times 1$

رموز رياضية

• صلة رحم: يرغب حسن في زيارة بيت جدّته، وبيت عمّته، وبيت خالته أوّل أيام عيد الفطر المبارك. بكم طريقةً يُمكنه ترتيب مواعيد الزيارة؟

التوافيق

• التوافيق ⁦(combinations)⁩ هي الطرائق المُمكنة لاختيار مجموعة أشياء من دون اهتمام بالترتيب.

مفهوم أساسي

• ⁦(C, A)⁩ ⁦(C, B)⁩ ⁦(C, D)⁩ ⁦(D, A)⁩ ⁦(D, B)⁩ ⁦(D, C)⁩: بالكلمات: عدد توافيق $n$ من العناصر المختلفة، أُخذ منها $r$ كل مرّة، هو: $_n C_r = \frac{_n P_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n - r)!}$ حيث: $n, r$ عددان صحيحان موجبان، و $r \le n$.

الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق

• $_6 C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2} = 20$

أتعلم

• كُتبت الأعداد من 1 إلى 20 على 20 بطاقة صغيرة مُتماثلة، وُضعت جميعها في صندوق، ثم اختيرت اثنتان منها معًا بصورة عشوائية. ما احتمال أن يكون العددان المُدوّنان على البطاقتين فرديين؟

أتذكر

• $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38}$