التباديل والتوافيق

• تعرّف مبدأ العدّ الأساسي، واستعماله في حلّ المسائل.
• تعرّف التباديل، واستعمالها في حلّ مسائل حياتية.
• تعرّف التوافيق، واستعمالها في حلّ مسائل حياتية.

العدّ: اضرب الخيارات بدل أن تسردها

• مجموعة صغيرة: توجد طريقتان فقط لترتيب عناصر المجموعة {⁦a, b⁩}، هما: {⁦a, b⁩}، و {⁦b, a⁩}.
• مجموعة كبيرة: حصر جميع الطرائق المُمكنة وعدّها يصبح أمرًا صعبًا.
• المطلوب غالبًا: عدد الطرائق التي يُمكن بها إجراء تجربة عشوائية مُكوّنة من مراحل عدّة، من دون معرفة النواتج نفسها.

للتجربة العشوائية التي يُمكن إجراؤها في $n$ مرحلة، إذا كان عدد الطرائق المُمكنة لإجراء المرحلة الأولى هو $K_1$، وعدد الطرائق المُمكنة لإجراء المرحلة الثانية هو $K_2$، ...، وعدد الطرائق المُمكنة لإجراء المرحلة $n$ هو $K_n$، فإنَّ العدد الكلي للطرائق المُمكنة لإجراء التجربة هو:

بكم طريقةً يُمكن تكوين عدد فردي يتألّف من 4 أرقام

والآن: ماذا لو كان الترتيب هو المهمّ؟

التباديل: حين يهمّ الترتيب

• مثال: توجد 6 تباديل مُمكنة لترتيب الأحرف: ⁦A⁩، و ⁦B⁩، و ⁦C⁩.
• ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

فكيف نكتب حاصل ضرب أعداد متتالية باختصار؟

⁦a)⁩ كم كلمةً (ليس شرطًا أن يكون لها معنى) يُمكن تكوينها من جميع أحرف كلمة ⁦(HOUSE)⁩ من دون تكرار أيّ حرف فيها؟

المضروب: اختصار لحاصل ضرب متتالٍ

في الفرع الأول من المثال السابق، استُعمل التعبير: $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6$ لحساب عدد تباديل 6 أحرف مختلفة.

• أُخذ منها 6 أحرف كل مرّة، وهو تعبير يُكتب في صورة (!6)، ويُقرأ: مضروب ⁦(factorial)⁩ العدد 6.

• الفرع الثاني من المثال نفسه: عدد تباديل 6 أحرف، أُخذ منها 3 أحرف كل مرّة، فلا يُمكن استعمال المضروب لإيجاده.
• $6 \times 5 \times 4 \neq 6!$

كم تبديلًا نحصل حين نأخذ بعض العناصر؟

• بوجه عام: يُمكن استعمال إحدى الصيغتين الآتيتين لإيجاد عدد التباديل.

⁦a)⁩ اشتركت 10 خيول في منافسة لسباق للخيل. بكم طريقةً يُمكن للخيول إنهاء السباق في المراكز الثلاثة الأولى؟

⁦b)⁩ تمكّن 4 طلبة من بلوغ المرحلة قبل النهائية لمسابقة الرياضيات الذهنية. بكم طريقةً يُمكن لهؤلاء الطلبة الوقوف متجاورين لالتقاط صورة معًا؟

التوافيق: حين لا يهمّ الترتيب

• مثال: عند اختيار حرفين عشوائيًا من الأحرف: ⁦A, B, C, D⁩، نكتب جميع التباديل المُمكنة لاختيار حرفين، ثم نحذف الأزواج التي تكرّرت.
• (A, B) (A, C) (A, D) (B, A) (B, C) (B, D)
• (C, A) (C, B) (C, D) (D, A) (D, B) (D, C)
• ⁦(B, D)⁩ و ⁦(D, B)⁩ هما الزوج نفسه؛ لأنَّ الترتيب غير مهم.
• إذن، توجد 6 توافيق مُمكنة لاختيار حرفين من الأحرف: ⁦A, B, C, D⁩.

ألعاب: بكم طريقة يُمكن اختيار فريق كرة سلّة يضمّ 5 لاعبين من بين 8 لاعبين؟

الاحتمال: عدّ الحادث على عدّ الفضاء كلّه

تعلّمتُ سابقًا كيفية إيجاد عدد الطرائق المُمكنة لإجراء تجربة عشوائية باستعمال مبدأ العدّ الأساسي، والتوافيق، والتباديل. والآن سأُوظّف ذلك كله في حساب احتمال وقوع حدث مُعيّن ضمن التجربة العشوائية.

⁦a)⁩ رُتّبت البطاقات الآتية عشوائيًا في صف واحد. ما احتمال أن يكون حرف السين وحرف الميم في الترتيب المختار متجاورين؟

البطاقات: ن، و، ر، ف، ا، س، م

⁦b)⁩ صندوق فيه 16 كرة مُتماثلة، كلّ منها تحمل عددًا من بين الأعداد 1 إلى 16، إذا سُحبت كرتان معًا بصورة عشوائية، فما احتمال أن تحمل الكرتان المسحوبتان عددين زوجيين؟

اختيار من مجموعتين: اضرب التوافيق

يُختار $r$ عنصرًا بصورة عشوائية من بين $n_1$ من العناصر، ويُختار $m$ عنصرًا من بين $n_2$ من العناصر، فيكون عدد العناصر الكلي $n_1 + n_2$. وقد يُختار $r$ و $m$ مع مراعاة الترتيب (تباديل)، أو من دون مراعاة لذلك (توافيق)، تبعًا لما يقتضي الموقف.

أعمال: يراد تشكيل فريق عمل مُكوّن من 7 موظفين في إحدى الشركات يُختارون عشوائيًا من بين 9 مبرمجين و5 محاسبين:

⁦a)⁩ ما احتمال أن يضم الفريق 4 مبرمجين و3 محاسبين؟

⁦b)⁩ ما احتمال أن يضم الفريق 4 مبرمجين، و3 محاسبين حيث رئيس الفريق ونائبه محاسبان.

تدرّب: طبّق ما تعلّمت

كم عددًا مُؤلّفًا من 4 أرقام يُمكن تكوينه باستعمال الأرقام: 5, 3, 2, 1؟

1. إذا سُمح بالتكرار؟

2. إذا لم يُسمَح بالتكرار؟

3. كم عددًا يحوي 6 منازل مختلفة، ويقبل القسمة على 5، يُمكن تكوينه باستعمال الأرقام: 5, 4, 3, 2, 1, 0؟

إرشاد: يقبل العدد القسمة على 5 إذا كانت آحاده 0 أو 5.

4. طعام: بكم طريقة مُختلفة يُمكن لشخص اختيار وجبة غداء تحوي طبقًا رئيسًا واحدًا، وطبق حساء، وطبق سلطة، من قائمة الطعام المجاورة؟

5. كم عددًا زوجيًا أقل من 900 يُمكن تكوينه باستعمال الأرقام: 7, 6, 5, 9, 8؛ شرط عدم استعمال الرقم أكثر من مرّة واحدة في أي عدد؟

هدايا: لدي هالة 6 أقراص مُدمجة تحوي موضوعات تعليمية مُتنوّعة، و4 أقراص أخرى تحوي مقاطع رياضية مُتعدّدة. ترغب هالة في إهداء 4 من هذه الأقراص إلى صديقتها ردينة:

6. ما عدد طرائق اختيار الهدية؟

7. ما عدد طرائق اختيار الهدية إذا ضمّنتها هالة قرصًا واحدًا على الأقل من كل نوع؟

8. زراعة: يضمُّ قسم التطوير في إحدى الشركات الزراعية 7 مهندسين زراعيين، منهم رنا وأحمد. ما احتمال اختيار رنا وأحمد لحضور ندوة عن المُنتَجات المُعالَجة وراثيًا إذا كانت عملية الاختيار عشوائية؟

9. رياضة: يدير أحد الاتحادات الرياضية مجلسًا مُكوَّنًا من 14 سيدة و10 رجال. قرَّر الاتحاد اختيار لجنة مُصغَّرة من المجلس تضمُّ 4 أعضاء بصورة عشوائية، ويُنتخَب منها رئيس للجنة، وأمين للسر، وأمينان للصندوق. ما احتمال أن تتألَّف اللجنة من 3 سيدات تتولّى إحداهن رئاسة اللجنة، ورجل واحد هو أمين سر اللجنة؟

عائلة تضمُّ 6 أولاد و3 بنات. أرادت الأم اختيار 4 منهم لإعداد وجبة العشاء:

10. ما احتمال اختيار اثنين من الأولاد، واثنتين من البنات لإعداد وجبة العشاء؟

11. ما احتمال اختيار ولد لإعداد الشاي، وولد لطهي الطعام، وبنتين لتجهيز المائدة؟

أجد قيمة كلٍّ ممّا يأتي:

12. $8!$

13. $9! - 2 \times 7!$

14. $\frac{6!}{2! \times 3!}$

15. $\frac{_6 P_3 + _7 P_4}{_5 P_3}$

16. $_8 C_3 \times _{11} C_6$

17. $\frac{_{12} C_4 + _{10} C_6}{_6 C_2}$

أجد قيمة $n$ في كلٍّ ممّا يأتي:

18. $n! = 720$

19. $_n P_2 = 42$

20. $_n P_3 = 10 \times _n P_2$

21. $_n C_3 = 26n$

22. $_n C_5 = _n C_7$

23. $_n C_3 - _{(n-2)} C_3 = 64$

24. هندسة: إذا اختيرت 3 نقاط عشوائيًا من بين النقاط: ⁦A, B, C, D, E, F, G, H⁩ في الشكل المجاور، فما احتمال أن تكون هذه النقاط على استقامة واحدة؟

25. تبرير: متى يكون $_n C_r = _n P_r$؟ أُبرّر إجابتي.

26. مسألة مفتوحة: أكتب مسألة تتضمّن حادثًا احتماله $\frac{1}{_{10} C_3}$.

27. تبرير: بلال وصالح لاعبان في فريق كرة القدم للصف الحادي عشر الذي يضم 14 لاعبًا. أراد معلّم التربية الرياضية أن يُوزّع عشوائيًا على كل لاعب قميصًا رياضيًا من القمصان المُرقّمة من 1 إلى 14. ما احتمال حصول صالح على القميص رقم 9، وحصول بلال على القميص رقم 10؟ أُبرّر إجابتي.