ملخص الحركة التوافقية البسيطة، الفيزياء

وصف الحركة التوافقية البسيطة

• $F = -kx$
• $-kx = ma$ $a = -\frac{k}{m}x$

التمثيل الرياضي للحركة التوافقية البسيطة

• $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
• في حين يُعرّف التردد ⁦(f)⁩ بأنه عدد الدورات في الثانية الواحدة، ويُقاس في النظام الدولي للوحدات بوحدة ($s^{-1}$) وتُعرف بالهيرتز ⁦(Hz)⁩، ويتناسب التردد عكسياً مع الزمن الدوري حسب العلاقة الآتية: $f = \frac{1}{T}$

الربط بالرياضيات

• يُعرَّف الراديان ⁦(rad)⁩ بأنه زاوية مركزية في دائرة تقابل قوساً طوله مساوٍ لطول نصف قطر الدائرة، كما هو مبيّن في الشكل (6).
• يُضرب المقدار في ($2\pi$) وهو مقياس لمدى سرعة حدوث الذبذبات.
• يزداد مقدار التردد الزاوي ($\omega$) كلما زاد عدد الذبذبات في وحدة الزمن.
• يُقاس التردد الزاوي بوحدة ⁦(rad/s)⁩.
• يُحسب التردد الزاوي بالعلاقة: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$
• يبيّن الشكل (7) منحنى (الإزاحة - الزمن) للحركة التوافقية بدءاً من اللحظة ($t = 0$).
• بدأت حركة النظام من أقصى إزاحة ($+A = x$).
• يُمثل منحنى تغير الإزاحة ⁦(x)⁩ مع الزمن ⁦(t)⁩ للحركة التوافقية البسيطة بيانياً باقتران جيب التمام.
• يُعبَّر عن الإزاحة بالعلاقة: $x(t) = A \cos \omega t$
• تنطبق هذه الصيغة على الحركة التوافقية البسيطة التي تبدأ من الموقع ⁦(A)⁩ عند الزمن ($t = 0$).
• لا تُعدّ هذه العلاقة صيغة عامة للحركة التوافقية البسيطة، بل حالة خاصة.
• تُعطى الصيغة العامة لمعادلة الحركة التوافقية البسيطة بالعلاقة الآتية إذا بدأ الجسم من إزاحة مقدارها ($x_i$) عند اللحظة ($t = 0$) كما يبيّن الشكل (8): $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$
• تُمثّل ($\phi$) ثابت الطور ⁦(Phase constant)⁩ أو زاوية الطور الابتدائية.
• تُحدّد هذه الزاوية موقع الجسم عند لحظة بداية الحركة.

البندول البسيط

• يُعد البندول البسيط أحد الأمثلة الأخرى على الحركة التذبذبية.
• يتكون البندول البسيط من جسم كتلته ⁦(m)⁩ معلق بواسطة خيط خفيف كتلته مهملة وطوله ⁦(L)⁩.
• يتذبذب البندول البسيط ذهاباً وإياباً على المسار نفسه حول موقع الاتزان عند سحبه إلى اليمين أو اليسار بحيث يصنع الخيط زاوية ($\theta$) مع موقع الاتزان ثم تركه.
• تقطع الكرة مسافة ⁦(S)⁩ تشكل قوساً من دائرة نصف قطرها يساوي طول خيط البندول.
• تتأثر الكرة في أثناء حركتها بقوة الشد في الخيط ⁦(T)⁩ وقوة الجاذبية الأرضية ⁦(mg)⁩.
• يبين الشكل (11/ب) مخطط الجسم الحر للكرة عند أقصى إزاحة لها عن موقع الاتزان.
• يمكن تحليل قوة الجاذبية إلى مركبة مماسية ($mg \sin \theta$) ومركبة عمودية على المماس ($mg \cos \theta$) عند اختيار محور ⁦(x)⁩ باتجاه يوازي المماس للقوس الدائري ورسم محور ⁦(y)⁩ عمودياً عليه.
• تساوي القوة المحصلة باتجاه المحور ⁦(y)⁩ صفراً لعدم وجود حركة على امتداده: $\Sigma F_y = T - mg \cos \theta = 0$
• تساوي القوة المحصلة باتجاه المماس: $\Sigma F_x = mg \sin \theta$
• تمثل القوة المعيدة قوة يتغير اتجاهها بتغير الموقع بحيث تتجه دائماً نحو موقع الاتزان وبعكس اتجاه الإزاحة.
• تُعطى القوة المعيدة بالعلاقة الآتية: $F = -mg \sin \theta$
• يساوي مقدار الزاوية ($\theta$) بوحدة راديان تقريباً ($\sin \theta$) عندما تكون الزاوية صغيرة ($\theta \le 10^{\circ}$).
• يساوي طول القوس ⁦(s)⁩ تقريباً الإزاحة الأفقية ⁦(x)⁩ عندما تكون الزاوية صغيرة.
• يمكن وصف حركة البندول بأنها حركة توافقية بسيطة في هذه الحالة.
• يمكن إعادة كتابة العلاقات السابقة كما يأتي: $\sin \theta = \theta = \frac{x}{L}$
• تساوي القوة المعيدة تقريباً: $F = -mg \theta = -mg \frac{x}{L}$
• تحقق هذه المعادلة شروط الحركة التوافقية البسيطة حيث يتناسب مقدار القوة المعيدة طردياً مع الإزاحة ويكون اتجاهها بعكس اتجاه الإزاحة.

الزمن الدوري للبندول البسيط

• يمكن التعبير عن القوة المعيدة للبندول البسيط بالصورة الآتية: $F = -\frac{mg}{L}x$
• وتتفق هذه المعادلة مع الصورة العامة للقوة المعيدة في قانون هوك: $F = -kx$
• تعد حركة البندول في هذه الحالة حركة توافقية بسيطة تتشابه مع حركة نظام الكتلة والنابض.
• نتوصل إلى الآتي عند مقارنة كلا الحركتين:
• - الزمن الدوري للنابض يعطى بالعلاقة ($T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$)، وفي حالة البندول البسيط فإن ($k = \frac{mg}{L}$)، وبذلك فإن الزمن الدوري للبندول البسيط يعطى بالعلاقة: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
• توضح هذه العلاقة أن الزمن الدوري للبندول البسيط، الذي يحقق شرط الحركة التوافقية البسيطة، يبقى ثابتاً ما دام طول الخيط وتسارع السقوط الحر ثابتاً.