ملخص الارتباط والانحدار، رياضيات الأعمال

شكل الانتشار والارتباط

• المتغير المستقل: أحدهما يُسمّى المُتغيّر المستقل ⁦(independent variable)⁩؛ وهو مُتغيّر يتمُّ اختياره أو التحكُّم فيه.
• المتغير التابع: والآخر يُسمّى المُتغيّر التابع ⁦(dependent variable)⁩؛ وهو مُتغيّر يتمُّ قياسه بناءً على المُتغيّر المستقل.
• شكل الانتشار: تُعرض هذه البيانات في صورة أزواج مُرتّبة ⁦(x, y)⁩، وهي تُمثّل بوصفها نقاطاً في المستوى الإحداثي؛ فينتج شكل يُسمّى شكل الانتشار ⁦(scatter diagram)⁩.

معامل ارتباط بيرسون

• معامل ارتباط بيرسون: لذا يُستعمل معامل ارتباط بيرسون ⁦(Pearson's correlation coefficient)⁩ بوصفه مقياساً عددياً يُحدّد تحديداً دقيقاً قوّة العلاقة الخطّية بين المجموعتين من البيانات، إضافةً إلى اتجاهها؛ سواء أكان موجباً أم سالباً.

مفهوم أساسي

• يُعطى معامل ارتباط بيرسون بين ⁦n⁩ من أزواج المشاهدات للمُتغيّر ⁦x⁩ والمُتغيّر ⁦y⁩ بالصيغة الآتية:
• $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$
• تُحسب قيم المتغيرات المكونة للصيغة وفق المعادلات الآتية:
• $S_{xx} = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}$
• $S_{yy} = \sum y_i^2 - \frac{(\sum y_i)^2}{n}$
• $S_{xy} = \sum x_i y_i - \frac{\sum x_i \sum y_i}{n}$

أتعلّم

• يجب ذكر قوة الارتباط عند وصف الارتباط.
• يجب تحديد ما إذا كان الارتباط موجباً أو سالباً عند وصفه.
• لا يعني وصف الارتباط السالب بالضرورة أن زيادة أحد المتغيرين تؤدي إلى نقصان الآخر.
• قد تخرج بعض القيم عن قاعدة الارتباط السالب بصورة محدودة.
• يُلاحظ في المثال 1 أن إيجار الشقة التي تبعد ⁦1.8 km⁩ أكثر من إيجار تلك التي تبعد ⁦1.4 km⁩.
• يوصف الارتباط في المثال السابق بأنه سالب بالرغم من ذلك.
• تنحصر قيمة معامل ارتباط بيرسون ⁦r⁩ بين 1- و1.
• يزداد الارتباط قوة كلما اقتربت قيمة معامل ارتباط بيرسون من هذين العددين.
• يضعف الارتباط بابتعاد قيمة ⁦r⁩ عن العددين نحو الصفر.
• تُصنّف قوة الارتباط ونوعه بين المتغيرين وفق قيمة معامل ارتباط بيرسون كما في الشكل الآتي:
• يحكم الارتباط التام الموجب العلاقة بين المتغيرين إذا كانت قيمة معامل ارتباط بيرسون: $r = 1$
• تقع جميع نقاط الانتشار على خط مستقيم ذي ميل موجب في حالة الارتباط التام الموجب.
• يُمثّل الارتباط التام السالب العلاقة بين المتغيرين إذا كانت قيمة معامل ارتباط بيرسون: $r = -1$
• تقع جميع النقاط على خط مستقيم ذي ميل سالب في حالة الارتباط التام السالب.
• تكون العلاقة بين المتغيرين معدومة إذا كانت قيمة معامل ارتباط بيرسون: $r = 0$
• تظهر نقاط شكل الانتشار متناثرة بشكل عشوائي أو متجمعة على هيئة نمط دائري في حالة العلاقة المعدومة.
• يشير غياب النمط إلى غياب العلاقة الخطية بين المتغيرين.
• يُبيّن الشكل الآتي الحالات الثلاث المذكورة آنفاً بصورة بصرية:

معادلة خط الانحدار

• المستقيم الأفضل مطابقة هو مستقيم يمرُّ قرب أكبر عدد ممكن من نقاط الانتشار، بحيث تتوزّع النقاط غير الواقعة عليه بشكل متوازن تقريباً على جانبي الخط، وتكون المسافات بينها متقاربة قدر الإمكان.
• خط انحدار المربعات الصغرى: لتقليل هذه الفروق، يجب اختيار المستقيم الأفضل مطابقة الذي يجعل مجموع مُربّعات هذه الفروق أصغر ما يُمكن، والذي يُسمّى خط انحدار المُربّعات الصغرى ⁦(least squares regression line)⁩.
• تُمثَّل العلاقة الخطّية بين مُتغيّرين بما يُعرف بـ المستقيم الأفضل مطابقة ⁦(line of best fit)⁩.
• يمرُّ هذا المستقيم قرب أكبر عدد ممكن من نقاط الانتشار.
• تتوزّع النقاط غير الواقعة على المستقيم بشكل متوازن تقريباً على جانبي الخط.
• تكون المسافات بين النقاط والمستقيم متقاربة قدر الإمكان.
• يُستعمل المستقيم الأفضل مطابقة أداةً للتنبُّؤ بقيم المُتغيّر التابع بناءً على قِيَم معلومة للمُتغيّر المستقل.
• يُعدُّ المستقيم الأفضل مطابقة أداة تحليلية مُهمّة في دراسة العلاقات الإحصائية بين المُتغيّرين.
• يُبيّن الشكل المجاور شكل انتشار رُسم عليه المستقيم الأفضل مطابقة.
• تُمثّل المسافات $d_1, d_2, d_4, d_5$ الفروق بين القِيَم المُتنبّأ بها للمُتغيّر ⁦y⁩ من خلال المستقيم الأفضل مطابقة والقِيَم الفعلية للمُتغيّر ⁦y⁩ من نقاط شكل الانتشار.
• يجب اختيار المستقيم الأفضل مطابقة الذي يجعل مجموع مُربّعات هذه الفروق أصغر ما يُمكن لتقليل هذه الفروق.
• يُسمّى هذا المستقيم خط انحدار المُربّعات الصغرى ⁦(least squares regression line)⁩.
• يُمكن إيجاد معادلة خط انحدار المُربّعات الصغرى باستعمال الصيغة الآتية:

مفهوم أساسي

• $y = mx + b$
• $m = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, b = \bar{y} - m\bar{x}$