ملخص التوزيع الهندسي، رياضيات الأعمال

مفهوم أساسي: التجربة الاحتمالية الهندسية

• التجربة الاحتمالية الهندسية: إذا توافرت الشروط الأربعة الآتية في تجربة عشوائية ما، فإنَّها تُعدُّ تجربة احتمالية هندسية:
• اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومُتكرِّرة.
• فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.
• ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.
• التوقُّف عند أوَّل نجاح.

المتغيِّر العشوائي الهندسي، وتوزيعه الاحتمالي

• المتغيِّر العشوائي هو متغيِّر تعتمد قيمه على نواتج تجربة عشوائية.
• التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي هو اقتران يربط كل قيمة للمتغيِّر العشوائي باحتمال وقوعها في التجربة.
• تعلَّمتُ سابقًا أنَّ المتغيِّر العشوائي هو متغيِّر تعتمد قيمه على نواتج تجربة عشوائية.
• يُعدُّ التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي اقترانًا يربط كل قيمة للمتغيِّر العشوائي باحتمال وقوعها في التجربة.
• يدلُّ المتغيِّر العشوائي الهندسي ⁦X⁩ في التجربة الاحتمالية الهندسية على عدد المحاولات وصولًا إلى أوَّل نجاح.
• يُمكن التعبير عن المتغيِّر العشوائي الهندسي بالرموز على النحو الآتي: $X \sim Geo(p)$
• يُمثِّل ⁦p⁩ احتمال النجاح الثابت في كل محاولة.
• يأخذ المتغيِّر ⁦X⁩ القيم الآتية: {1, 2, 3, ...}.
• ينتمي المتغيِّر ⁦X⁩ إلى المجموعة الآتية: $x \in \{1, 2, 3, ...\}$
• يُرمز إلى قيم المتغيِّر العشوائي بالرمز ⁦x⁩، ويُرمز إلى المتغيِّر العشوائي نفسه بالرمز ⁦X⁩.
• يُمكن إيجاد احتمال أن يأخذ ⁦X⁩ قيمة بعينها ضمن مجموعة قيمه الممكنة باستعمال الصيغة الآتية:

مفهوم أساسي: التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي الهندسي

• التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي الهندسي: إذا كان: $X \sim Geo(p)$، فإنَّ: $x \in \{1, 2, 3, ...\}$، ويعطى التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ بالقاعدة الآتية: $P(X = x) = p(1-p)^{x-1}$ حيث: ⁦x⁩: عدد المحاولات وصولًا إلى أوَّل نجاح.

التوقُّع للمتغيِّر العشوائي الهندسي

• التوقُّع ⁦E(X)⁩ للمتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ هو الوسط الحسابي لقيمه الناتجة من تكرار التجربة نفسها عددًا كبيرًا من المرَّات.
• يُمكن التعبير عن ذلك بالرموز على النحو الآتي: $E(X) = \sum x \cdot P(x)$

مفهوم أساسي: التوقُّع للمتغيِّر العشوائي الهندسي

• إذا كان: $X \sim Geo(p)$، فإنَّ التوقُّع للمتغيِّر ⁦X⁩ يعطى بالقاعدة الآتية: $E(X) = \frac{1}{p}$