ملخص توزيع ذي الحدين، رياضيات الأعمال

مفهوم أساسي: التجربة الاحتمالية ذات الحدَّين

• التجربة الاحتمالية ذات الحدَّين: إذا توافرت الشروط الأربعة الآتية في تجربة عشوائية ما، فإنَّها تُعدُّ تجربة احتمالية ذات حدَّين:
• اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومُتكرِّرة.
• فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.
• ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.
• وجود عدد مُحدَّد من المحاولات في التجربة.

المتغيِّر العشوائي ذو الحدَّين، وتوزيعه الاحتمالي

• المتغير العشوائي ذو الحدين: في التجربة الاحتمالية ذات الحدَّين، إذا دلَّ المتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ على عدد مرَّات النجاح في جميع محاولات التجربة التي عددها ⁦n⁩، وكان احتمال النجاح في كل محاولة هو ⁦p⁩، فإنَّ ⁦X⁩ يُسمَّى المتغيِّر العشوائي ذا الحدَّين.
• $X \sim B(n, p)$
• ومن ثمَّ، فإنَّ المتغيِّر ⁦X⁩ يأخذ القيم الآتية: {0, 1, 2, ..., ⁦n}⁩؛ أي إنَّ: $x \in \{0, 1, 2, ..., n\}$

مفهوم أساسي: التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين

• التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين: إذا كان: $X \sim B(n, p)$، فإنَّ: $x \in \{0, 1, 2, ..., n\}$، ويعطى التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ بالقاعدة الآتية: $P(X = r) = \binom{n}{r} p^r (1-p)^{n-r}$ حيث: ⁦n⁩: عدد المحاولات في التجربة.

مفهوم أساسي: التوقُّع للمتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين

• التوقُّع للمتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين: إذا كان: $X \sim B(n, p)$، فإنَّ: $x \in \{0, 1, 2, ..., n\}$، ويعطى التوقُّع للمتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ بالقاعدة الآتية: $E(X) = np$ حيث: ⁦n⁩: عدد المحاولات في التجربة.

مفهوم أساسي: التباين للمتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين

• التباين للمتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين: إذا كان: $X \sim B(n, p)$، فإنَّ: $x \in \{0, 1, 2, ..., n\}$، ويعطى التباين للمتغيِّر العشوائي ⁦X⁩ بالقاعدة الآتية: $Var(X) = \sigma^2 = np(1-p)$ حيث: ⁦n⁩: عدد المحاولات في التجربة.