ملخص التوزيع الطبيعي، رياضيات الأعمال

المنحنى الطبيعي

• البيانات العددية المنفصلة هي بيانات تأخذ قِيَمًا قابلة للعد.
• المنحنى الطبيعي: أُلاحظ أنَّ زيادة حجم العيِّنة، وتقليص أطوال الفئات، يجعلان المدرج التكراري أكثر تناسقًا وقربًا من المنحنى المرسوم باللون الأحمر، الذي يُسمَّى المنحنى الطبيعي ⁦(normal curve)⁩.
• تشمل أمثلة البيانات العددية المنفصلة عدد الإخوة وعدد الكتب.
• البيانات العددية المتصلة هي بيانات قِيَمها الممكنة غير قابلة للعد لكنها قابلة للقياس.
• تشمل أمثلة البيانات العددية المتصلة الطول والكتلة.
• تُبيِّن المدرجات التكرارية الآتية كتل مجموعة من الأشخاص الذين اختيروا عشوائيًّا من مدينة ما:
• $n = 100$
• $n = 1000$
• $n = 10000$
• زيادة حجم العيِّنة وتقليص أطوال الفئات يجعلان المدرج التكراري أكثر تناسقًا وقربًا من المنحنى المرسوم باللون الأحمر.
• يُسمَّى المنحنى المرسوم باللون الأحمر المنحنى الطبيعي ⁦(normal curve)⁩.
• يُستعمل المنحنى الطبيعي لنمذجة البيانات العددية المتصلة التي تُختار عشوائيًّا في كثير من المواقف الحياتية.
• للمنحنى الطبيعي خصائص تُميِّزه عن غيره من المنحنيات الأخرى.
• تُفسِّر هذه الخصائص استعمال المنحنى الطبيعي كثيرًا في التطبيقات الحياتية والعلمية المختلفة.

مفهوم أساسي: خصائص المنحنى الطبيعي

• المنحنى الطبيعي منحنى متصل له شكل الجرس.
• تتطابق قيم الوسط الحسابي والوسيط والمنوال في المنحنى الطبيعي، وتتوسط هذه القيم البيانات.
• تتماثل البيانات حول الوسط الحسابي في المنحنى الطبيعي.
• يقترب المنحنى الطبيعي عند طرفيه من المحور ⁦x⁩ من دون أن يمسَّه.
• تبلغ المساحة الكلية أسفل المنحنى الطبيعي 1.
• يعتمد شكل المنحنى الطبيعي وموقعه على الوسط الحسابي $\mu$، والانحراف المعياري $\sigma$ للبيانات.
• يُمكن ملاحظة أنَّ التغيُّر في الوسط الحسابي يؤدِّي إلى انسحاب أفقي للمنحنى الطبيعي في الشكل ⁦(a)⁩.
• يُلاحظ أنَّ زيادة الانحراف المعياري تجعل المنحنى الطبيعي أكثر انتشارًا وتوسُّعًا في الشكل ⁦(b)⁩.
• تُمثِّل المساحة التي تقع بين قيمتين من البيانات أسفل المنحنى الطبيعي النسبة المئوية للبيانات الواقعة بين هاتين القيمتين.
• يُمكن استعمال القاعدة التجريبية ⁦(empirical rule)⁩ الآتية لتحديد المساحة التي تقع بين بعض قِيَم من البيانات أسفل المنحنى الطبيعي:

مفهوم أساسي: القاعدة التجريبية

• تتخذ مجموعة من البيانات شكل المنحنى الطبيعي.
• يبلغ الوسط الحسابي لهذه البيانات $\mu$.
• يبلغ الانحراف المعياري لهذه البيانات $\sigma$.
• 68% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu - \sigma$ و $\mu + \sigma$.
• 95% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu - 2\sigma$ و $\mu + 2\sigma$.
• 99.7% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu - 3\sigma$ و $\mu + 3\sigma$.

المتغيِّر العشوائي الطبيعي، والتوزيع الطبيعي

• المتغيِّر العشوائي هو متغيِّر تعتمد قِيَمه على نواتج تجربة عشوائية.

مفهوم أساسي

• $X \sim N(\mu, \sigma^2)$