ملخص مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا، الرياضيات

مشتقة ضرب اقترانين

• تعَلَّمتُ سابقًا إيجاد مشتقات اقترانات مختلفة، مثل: اقترانات القوّة، والاقتران الأُسّي الطبيعي، والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، واقتران الجيب، واقتران جيب التمام.
• تعَلَّمتُ أيضًا إيجاد مشتقات مضاعفات هذه الاقترانات والاقترانات الناتجة من جمعها وطرحها.

نظرية

• مشتقة ضرب اقترانين: بالكلمات: مشتقة ضرب اقترانين هي الاقتران الأوّل مضروبًا في مشتقة الاقتران الثاني، ثمّ يضاف إليه الاقتران الثاني مضروبًا في مشتقة الاقتران الأوّل.

مشتقة قسمة اقترانين

• لنفرض أنَّ: $y = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{u}{v}, f(x) = u, g(x) = v$. ومنه، فإنَّ: $u = vy$.
• وبما أنَّ الاقتران $u$ هو حاصل ضرب اقترانين، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقته باستعمال قاعدة مشتقة الضرب على النحو الآتي:

نظرية: مشتقة القسمة

• مشتقة القسمة: بالكلمات: مشتقة قسمة اقترانين هي المقام في مشتقة البسط مطروحًا منه البسط في مشتقة المقام، ثمَّ قسمة الجميع على مُربّع المقام.

نظرية

• مشتقة المقلوب: بالكلمات: مشتقة مقلوب اقتران هي سالب مشتقة الاقتران مقسومًا على مُربَّع الاقتران.

نظرية

• $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \quad \quad \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$
• $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \quad \quad \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$

المشتقات العليا

• تعلمتُ سابقاً أنه إذا كان $f(x)$ اقتراناً، فإنَّ المشتقة $f'(x)$ هي اقتران أيضاً، ومن الممكن إيجاد مشتقته، التي يُرمز إليها بالرمز $f''(x)$.
• وفي هذه الحالة، يُطلق على الاقتران الجديد $f''(x)$ اسم المشتقة الثانية للاقتران $f(x)$.
• إذا كان $f''(x)$ اقتراناً، فإنَّه يُرمز إلى مشتقته بالرمز $f'''(x)$، وتُسمّى المشتقة الثالثة ⁦(third derivative)⁩ للاقتران $f(x)$.
• ويستمر إيجاد المشتقات وتسمياتها على النحو نفسه، ويُستعمل الرمز $f^{(n)}(x)$ للدلالة على المشتقة ($n^{th}$ derivative) ($n$).