ملخص قاعدة السلسلة، الرياضيات

قاعدة السلسلة

• تعلَّمتُ سابقًا إيجاد مشتقة الاقتران الناتج من تركيب اقتراني قوّة، وذلك بإيجاد مشتقة الاقتران الخارجي وقيمته عند الاقتران الداخلي، ثمّ ضربه في مشتقة الاقتران الداخلي.
• تُعَدّ هذه الطريقة إحدى أهم قواعد الاشتقاق، وتُسمّى قاعدة السلسلة ⁦(the chain rule)⁩.

قاعدة سلسلة القوة

• مفهوم أساسي: إذا كان $n$ أيَّ عدد حقيقي، وكان: $u = g(x)$ اقترانًا، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقة $(g(x))^n$ على النحو الآتي: $\frac{d}{dx}((g(x))^n) = n(g(x))^{n-1} \times g'(x)$ وبصيغة أُخرى، فإنَّ: $\frac{d}{dx}(u^n) = nu^{n-1} \times \frac{du}{dx}$

مشتقة $\log_a g(x)$

• نظرية: إذا كان $a$ عددًا حقيقيًا موجبًا، و $a \neq 1$، وكان $g(x)$ اقترانًا، حيث: $g(x) > 0$، فإنَّ: $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \quad \quad \frac{d}{dx}(\log_a g(x)) = \frac{g'(x)}{(\ln a)g(x)}$

مشتقة المعادلات الوسيطية

• $x = h(t), \quad y = g(t)$
• يُشكِّل هذان الاقترانان معًا معادلة وسيطية ⁦(parametric equation)⁩ للمنحنى $C$، ويُسمَّى $t$ المتغيّر الوسيط ⁦(parameter)⁩؛ لأنَّ كل قيمة له تُحدِّد قيمة للمتغيّر $x$، وقيمةً أخرى للمتغيّر $y$.
• وعند تمثيل الأزواج المُرتبة $(x, y)$ في المستوى الإحداثي، ينتج المنحنى $C$.
• $x = h(t), \quad y = g(t) \quad \quad t_0 \le t \le t_1$
• يبين الشكل المجاور منحنى المعادلة الوسيطية: $x = 3 \cos t, \quad y = 2 \sin 2t, \quad 0 \le t \le 2\pi$