مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

عندما نواجه اقتراناً ناتجاً عن ضرب اقترانين، لا يمكننا ببساطة ضرب مشتقتيهما. بدلاً من ذلك، نستخدم قاعدة الضرب التي تضمن الحفاظ على العلاقة التغيرية بينهما.

قاعدة الضرب: إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين قابلين للاشتقاق، فإن: $(fg)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

• بالكلمات: الأول في مشتقة الثاني + الثاني في مشتقة الأول.
• تستخدم هذه القاعدة مع كثيرات الحدود، الاقترانات الأسية، واللوغاريتمية عند وجودها كحاصل ضرب.

من الأخطاء الشائعة اشتقاق كل اقتران على حدة ثم ضربهما؛ تذكر دائماً استخدام الجمع بين الحدين في قاعدة الضرب.

من أين تأتي القاعدة؟ نفرض أن $u=f(x)$ و $v=g(x)$ و $y=uv$، وأن $\Delta x$ زيادة صغيرة في $x$ ينتج منها تغير مقداره $\Delta u$ و $\Delta v$ و $\Delta y$ على الترتيب. عندها: $y+\Delta y=(u+\Delta u)(v+\Delta v)$ وبطرح $y=uv$ من الطرفين والتوزيع نحصل على $\Delta y=u\,\Delta v+v\,\Delta u+\Delta u\,\Delta v$. نقسم جميع الحدود على $\Delta x$ ونأخذ النهاية عندما $\Delta x\to 0$؛ الحد الأخير يصبح صفرًا لأن $\lim_{\Delta x\to 0}\Delta u=0$، فيبقى: $\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

متى نستعملها؟ عندما يكون الاقتران حاصل ضرب اقترانين. في $f(x)=xe^x$ نضرب $x$ في مشتقة $e^x$، ثم نضيف $e^x$ مضروبًا في مشتقة $x$، فيكون $f'(x)=xe^x+e^x$. أما حاصل ضرب كثيري حدود مثل $f(x)=(3x-2x^2)(5+4x)$ فيمكن اشتقاقه بقاعدة الضرب مباشرة، أو بالتوزيع أولًا ثم اشتقاق الناتج بقاعدتي مشتقة المجموع والفرق؛ والطريقتان تعطيان $f'(x)=-24x^2+4x+15$.

تعد قاعدة القسمة ضرورية للتعامل مع الاقترانات النسبية، وهي تتطلب ترتيباً دقيقاً للبسط والمقام لتجنب أخطاء الإشارة.

قاعدة القسمة: إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين و $g(x) \neq 0$، فإن: $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

لماذا لا نقسم المشتقتين؟ مشتقة قسمة اقترانين ليست حاصل قسمة مشتقتيهما، كما أن مشتقة الضرب ليست حاصل ضرب المشتقتين. لاستنتاج القاعدة نفرض $y=\frac{u}{v}$، فيكون $u=vy$، وهذا حاصل ضرب نشتقه بقاعدة الضرب: $\frac{du}{dx}=v\frac{dy}{dx}+y\frac{dv}{dx}$ نعيد ترتيب المعادلة ونقسم الطرفين على $v$، ثم نعوض $y=\frac{u}{v}$ فنصل إلى $\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$.

بالكلمات: المقام في مشتقة البسط، مطروحًا منه البسط في مشتقة المقام، ثم قسمة الجميع على مربع المقام.

أما في حالة كان البسط عدداً ثابتاً، فنستخدم قاعدة المقلوب لتسهيل الحل:

• إذا كان $h(x) = \frac{c}{f(x)}$، فإن $h'(x) = \frac{-c f'(x)}{(f(x))^2}$.
• لاحظ أن إشارة السالب في البسط جوهرية في هذه القاعدة.

تنتج قاعدة المقلوب مباشرة من قاعدة القسمة: إذا كان $A(x)=\frac{1}{f(x)}$ حيث $f(x)\neq 0$، فإن مشتقة البسط صفر، ومنه: $A'(x)=\frac{f(x)\times 0-1\times f'(x)}{(f(x))^2}=\frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ أي إن مشتقة مقلوب اقتران هي سالب مشتقة الاقتران مقسومًا على مربع الاقتران. مثلًا، مشتقة $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ هي $f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$.

في مسائل القسمة، ابدأ دائماً بكتابة المقام في البسط وتربيعه في المقام قبل البدء باشتقاق البسط، لضمان عدم نسيان أي جزء من القانون.

المشتقة معدل تغير: المشتقة هي معدل تغير كمية بالنسبة إلى كمية أخرى عند لحظة معينة، وكثير من الكميات في المواقف الحياتية تتغير بالنسبة إلى الزمن؛ فإذا كانت $r$ كمية معينة فإن معدل تغيرها بالنسبة إلى الزمن $t$ هو $\frac{dr}{dt}$. مثلًا، إذا أُعطيت درجة حرارة مريض بالفهرنهايت بالاقتران $T(t)=\frac{4t}{1+t^2}+98.6$، حيث $t$ الزمن بالساعات بعد ظهور الأعراض، فإن قاعدة القسمة تعطي $T'(t)=\frac{4-4t^2}{(1+t^2)^2}$. وعند $t=2$ يكون $T'(2)=-0.48$؛ أي إن درجة حرارة المريض تقل بمقدار $0.48$ درجة فهرنهايتية لكل ساعة عند تلك اللحظة، والإشارة السالبة تدل على التناقص.

بعد تعلم مشتقة الجيب وجيب التمام، يمكننا الآن استنتاج مشتقات باقي الاقترانات المثلثية باستخدام قاعدة القسمة.

للتذكر: مشتقات $\cos x$ و $\cot x$ و $\csc x$ هي $-\sin x$ و $-\csc^2 x$ و $-\csc x\cot x$؛ أي إن مشتقة كل واحد من هذه الاقترانات الثلاثة تبدأ بإشارة سالبة.

كيف نصل إلى مشتقة الظل؟ نكتب $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ونطبق قاعدة القسمة مع مشتقتي الجيب وجيب التمام: $\frac{d}{dx}(\tan x)=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$ وبمتطابقة فيثاغورس يصبح البسط $1$، فالناتج $\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$. وتُثبت المشتقات الثلاث الأخرى بالطريقة نفسها، مع ملاحظة أن القاطع $\sec x$ مقلوب جيب التمام، وأن قاطع التمام $\csc x$ مقلوب الجيب.

عند اشتقاق اقتران مثلثي يجمع أكثر من قاعدة نحدد نوع التركيب أولًا: الاقتران $f(x)=x^2\sec x$ حاصل ضرب، فمشتقته $f'(x)=x^2\sec x\tan x+2x\sec x$. أما $f(x)=\frac{\csc x}{1+\tan x}$ فحاصل قسمة، فنستعمل قاعدة القسمة مع مشتقتي قاطع التمام والظل.

المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى، وهكذا بالنسبة للرتب الأعلى. نستخدم رموزاً خاصة للتمييز بينها.

المشتقة النونية: يُرمز للمشتقة من الرتبة $n$ بالرمز $f^{(n)}(x)$ أو $\frac{d^n y}{dx^n}$.

• المشتقة الثانية: $f''(x)$ أو $y''$.
• المشتقة الثالثة: $f'''(x)$ أو $y'''$.
• المشتقة الرابعة فأكثر: نضع الرقم بين قوسين $f^{(4)}(x)$ لتمييزه عن الأس.

لماذا توجد مشتقات عليا؟ إذا كان $f(x)$ اقترانًا فإن مشتقته $f'(x)$ اقتران أيضًا، فيمكن إيجاد مشتقته، وهي المشتقة الثانية $f''(x)$. وإذا اشتققنا $f''(x)$ نحصل على المشتقة الثالثة $f'''(x)$، ويستمر إيجاد المشتقات وتسمياتها على النحو نفسه. وتُستعمل للمشتقة الثانية أيضًا الرموز $\frac{d^2y}{dx^2}$ و $\frac{d^2}{dx^2}(f(x))$، وللمشتقة $(n)$ الرموز $\frac{d^ny}{dx^n}$ و $y^{(n)}$.

مثلًا، المشتقات الأربع الأولى للاقتران $f(x)=x^2-\frac{1}{x}$ هي: $f'(x)=2x+\frac{1}{x^2}$، ثم $f''(x)=2-\frac{2}{x^3}$، ثم $f'''(x)=\frac{6}{x^4}$، ثم $f^{(4)}(x)=-\frac{24}{x^5}$. كل مشتقة تُحسب من التي قبلها، لذا يفيد تبسيط كل ناتج قبل اشتقاقه مرة أخرى.

يجب الانتباه للفرق بين $f^{(n)}(x)$ التي تعني المشتقة، وبين $f^n(x)$ التي تعني الاقتران مرفوعاً للقوة $n$.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–6.