ملخص المعادلات التفاضلية، الرياضيات

المعادلات التفاضلية

• المعادلة التفاضلية ⁦(differential equation)⁩ هي معادلة جبرية تحوي مشتقة أو أكثر لاقتران ما، وقد تحوي الاقتران نفسه، ومن أمثلتها: $\frac{dy}{dx} = 2x^3 + 5, \frac{dP}{dt} = kP, \frac{d^2y}{dx^2} + 5\frac{dy}{dx} - 7y = \frac{1}{x}$ يُعدّ الاقتران: $y = f(x)$ حلًا للمعادلة التفاضلية إذا تحققت المعادلة عند تعويض $f(x)$ ومشتقاته فيها.

حلّ المعادلات التفاضلية بفصل المُتغيّرات

• تعلّمتُ في المثال السابق حلّ معادلات تفاضلية في صورة: $\frac{dy}{dx} = g(x)$ عن طريق إيجاد التكامل لطرفي المعادلة مباشرة، ولكنّ ذلك لا ينطبق على جميع المعادلات التفاضلية.
• فبعضها يحتوي على المتغيّرين $x$ و $y$ معًا في أحد طرفي المعادلة.
• وفي هذه الحالة، فإنّ الحلّ يتطلّب أوّلًا فصل $dy$ عن $dx$، وذلك بكتابة $dx$ في أحد طرفي المعادلة، وكتابة $dy$ في الطرف الآخر، ثمّ نقل جميع الحدود التي تحوي المتغيّر $x$ إلى طرف المعادلة الذي يحوي $dx$، ونقل جميع الحدود التي تحوي المتغيّر $y$ إلى طرف المعادلة الذي يحوي $dy$، ثمّ إيجاد التكامل لكلّ من طرفي المعادلة.