المعادلات التفاضلية

تبدأ دراستنا للمعادلات التفاضلية من فهم أنها ليست مجرد معادلات لإيجاد قيم مجهولة، بل هي علاقات تربط التغيرات ببعضها البعض. في حياتنا، نجد أن معدل تغير درجة حرارة سائل أو سرعة جسيم يعتمد على حالته الحالية، وهذا ما تعبر عنه المعادلة التفاضلية.

المعادلة التفاضلية: هي معادلة تربط بين اقتران ومشتقاته. أبسط أنواعها هي التي تكتب على صورة $\frac{dy}{dx} = g(x)$.

للتحقق مما إذا كان اقتران معين يمثل حلاً لمعادلة تفاضلية، نتبع الخطوات الآتية:

• نشتق الاقتران المعطى حسب الرتب الموجودة في المعادلة.
• نعوض الاقتران ومشتقاته في طرفي المعادلة.
• إذا تساوى الطرفان لجميع قيم $x$ في مجال الاقتران، فإن الاقتران يُعد حلاً.

قد تتساوى المعادلة عند قيم محددة لـ $x$ فقط، وفي هذه الحالة لا يُعتبر الاقتران حلاً؛ لأن الحل يجب أن يحقق المعادلة لجميع قيم $x$ في المجال.

عندما نقوم بتكامل طرفي معادلة تفاضلية بسيطة، يظهر لنا ثابت التكامل $C$. هذا الثابت هو ما يجعل الحل 'عاماً' لأنه يغطي عدداً لا نهائياً من الاحتمالات.

إيجاد الحل الخاص: لإيجاد الحل الخاص، يجب أولاً إيجاد الحل العام كاملاً متضمناً الثابت $C$، ثم تعويض إحداثيات النقطة المعطاة $(x, y)$ لإيجاد قيمة $C$، وأخيراً إعادة كتابة المعادلة بالقيمة الناتجة.

الفرق الجوهري:

• الحل العام: يمثل عائلة من الاقترانات (منحنيات متوازية أو متشابهة).
• الحل الخاص: يمثل منحنى واحداً محدداً يمر بنقطة معينة تسمى 'الشرط الأولي'.

المعادلات التفاضلية — يتناول هذا الدرس تعريف المعادلة التفاضلية وكيفية التحقق من حلولها، مع التركيز على تقنية فصل المتغيرات لإيجاد الحلول العامة والخاصة، وتطبيق ذلك في نمذجة نمو السكان والحركة المستقيمة.

تذكير: في الامتحان: اكتب القانون ثم عوّض بالأرقام مع الوحدات.

تعتمد هذه الطريقة على فكرة بسيطة: 'كل متغير مع تفاضله في جهة'. إذا كانت المعادلة على الصورة $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$، يمكننا إعادة ترتيبها.

الصورة العامة للمعادلة القابلة للفصل هي: $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$، حيث يتم نقل $g(y)$ إلى جهة $dy$ بالقسمة، ونقل $dx$ إلى جهة $f(x)$ بالضرب.

خطوات الحل الجبري:

1. اجعل الحدود التي تحتوي $y$ في طرف مع $dy$، والحدود التي تحتوي $x$ في طرف مع $dx$.
2. قد يتطلب الفصل مهارات جبرية مثل إخراج عامل مشترك (كما في مثال 3 فرع 2).
3. كمال طرفي المعادلة.
4. بسط الناتج قدر الإمكان (غالباً ما نكتب $y$ بدلالة $x$ إن أمكن).

عند وجود دوال مثلثية مثل $\tan y$ في المقام، تذكر تحويلها إلى $\cot y$ أو $\frac{\cos y}{\sin y}$ لتسهيل عملية التكامل.

تُستخدم المعادلات التفاضلية لنمذجة انتشار الأوبئة، حيث يعتمد معدل تغير عدد المصابين على عدد المصابين الحالي وعدد الأشخاص المعرضين للإصابة. يتناول هذا الدرس مفهوم المعادلات التفاضلية كأداة رياضية قوية لوصف الظواهر التي ت

تكامل الكسور الجزئية: في المسائل الحياتية المعقدة (مثل مثال 5)، غالباً ما نحتاج لاستخدام تكامل الكسور الجزئية بعد فصل المتغيرات لتبسيط المقدار النسبي قبل إجراء التكامل.

في مثال انتشار الحصبة:

• المعادلة: $\frac{ds}{dt} = \frac{s(1050 - s)}{5000}$
• نلاحظ أن الفصل يؤدي إلى كسر يحتاج لجزئة: $\frac{1}{s(1050-s)}$
• بعد التكامل واستخدام قوانين اللوغاريتمات، نصل للعلاقة التي تربط الزمن $t$ بعدد المصابين $s$.

إذا عُلمت سرعة جسيم كمعادلة تفاضلية بدلالة الزمن والموقع، يمكننا إيجاد اقتران الموقع $s(t)$.

تخيل أن المعادلة التفاضلية هي 'خريطة السرعات' عند كل نقطة، والحل الخاص هو 'المسار الفعلي' الذي سلكه الجسيم بدءاً من نقطة انطلاق محددة.

ملاحظات هامة في الحركة:

• $\frac{ds}{dt}$ تمثل السرعة المتجهة $v$.
• الشرط الأولي $s(0) = s_0$ يحدد موقع الجسيم عند بدء الحركة.
• قد يتطلب التكامل تقنيات متقدمة مثل التكامل بالأجزاء (كما في مثال 6 عند تكامل $\ln(t+1)$).

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع الأمثلة المحلولة.