تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

المتجهات

ملخص المتجهات في الفضاء، الرياضيات

القوانين والتعريفات والأفكار الأساسية في الموضوع، من الكتاب المقرّر. راجعها داخل TawjihiAI مع البطاقات والأسئلة.

افتح الملخص في التطبيقكل ملخصات الرياضيات

المسافة بين نقطتين، وإحداثيات نقطة المنتصف في الفضاء

  • إذا كانت: A(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1), B(x2,y2,z2)B(x_2, y_2, z_2)، فإنَّ المسافة بين النقطتين ⁦A⁩ و ⁦B⁩ تعطى بالصيغة الآتية: AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
  • وإحداثيات نقطة منتصف ⁦AB⁩ هي: M(x1+x22,y1+y22,z1+z22)M(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2})

المتجهات في الفضاء

  • يُمكن كتابة المتجه بالصورة الإحداثية عن طريق طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية كما يأتي: v⃗=AB→=⟨x2−x1,y2−y1,z2−z1⟩=⟨v1,v2,v3⟩\vec{v} = \overrightarrow{AB} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle

مفهوم أساسي: مقدار المتجه في الفضاء

  • مقدار المتجه في الفضاء: إذا كانت: A(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1), B(x2,y2,z2)B(x_2, y_2, z_2) نقطتي بداية المتجه AB→\overrightarrow{AB} ونهايته، فإنَّ: ∣v⃗∣=∣AB→∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|\vec{v}| = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} وإذا كان: v⃗=AB→=⟨v1,v2,v3⟩\vec{v} = \overrightarrow{AB} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle، فإنَّ: ∣v⃗∣=∣AB→∣=v12+v22+v32|\vec{v}| = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد حقيقي هندسيًّا

  • تعلَّمتُ أيضًا أنَّه لإيجاد a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}، فإنَّني أجمع المتجه a⃗\vec{a} مع معكوس المتجه b⃗\vec{b}؛ أي: a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد حقيقي جبريًّا

  • إذا كان: v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = (v_1, v_2, v_3), w⃗=(w1,w2,w3)\vec{w} = (w_1, w_2, w_3) متجهين في الفضاء، وكان ⁦c⁩ عددًا حقيقيًّا، فإنَّ: v⃗+w⃗=⟨v1+w1,v2+w2,v3+w3⟩\vec{v} + \vec{w} = \langle v_1 + w_1, v_2 + w_2, v_3 + w_3 \rangle v⃗−w⃗=⟨v1−w1,v2−w2,v3−w3⟩\vec{v} - \vec{w} = \langle v_1 - w_1, v_2 - w_2, v_3 - w_3 \rangle cv⃗=⟨cv1,cv2,cv3⟩c\vec{v} = \langle cv_1, cv_2, cv_3 \rangle

مفهوم أساسي: تساوي المتجهات

  • تساوي المتجهات: إذا كان: v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = (v_1, v_2, v_3), w⃗=(w1,w2,w3)\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)، فإنَّ: v⃗=w⃗\vec{v} = \vec{w} إذا وفقط إذا كان: v1=w1v_1 = w_1، v2=w2v_2 = w_2، v3=w3v_3 = w_3.

متجه الموقع والإزاحة

  • يُطلَق على المتجه الذي يبدأ بنقطة الأصل، وينتهي بالنقطة A(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1)، اسم متجه الموقع ⁦(position vector)⁩، ويُستعمل الرمز OA→\overrightarrow{OA} للدلالة على متجه الموقع للنقطة ⁦A⁩.
  • أما الصورة الإحداثية لهذا المتجه فهي: OA→=⟨x1,y1,z1⟩−⟨0,0,0⟩=⟨x1,y1,z1⟩\overrightarrow{OA} = \langle x_1, y_1, z_1 \rangle - \langle 0, 0, 0 \rangle = \langle x_1, y_1, z_1 \rangle
  • ألاحظ أنَّ AB→\overrightarrow{AB} هو ناتج طرح متجه الموقع للنقطة ⁦A⁩ من متجه الموقع للنقطة ⁦B⁩ وفق قاعدة المثلث لجمع المتجهات؛ أي إنَّ: AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}

مفهوم أساسي: كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية

  • كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية: يُمكن كتابة المتجه: v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) بدلالة متجهات الوحدة الأساسية كما يأتي: v⃗=v1i^+v2j^+v3k^\vec{v} = v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j} + v_3 \hat{k}