ملخص التوزيع الطبيعي، الرياضيات

مفهوم أساسي: خصائص المنحنى الطبيعي

• خصائص المنحنى الطبيعي: يمتاز المنحنى الطبيعي بالخصائص الآتية: * منحنى مُتّصل له شكل الجرس.

مفهوم أساسي: القاعدة التجريبية

• القاعدة التجريبية: إذا اتخذت مجموعة من البيانات شكل المنحنى الطبيعي، وكان وسطها الحسابي $\mu$، وانحرافها المعياري $\sigma$، فإنّ:
• 7% من البيانات تقريبًا تقع بين $\mu-3\sigma$ و $\mu+3\sigma$؛ أي أنّ 99.7% من البيانات لا يزيد البُعد بينها وبين الوسط الحسابي على ثلاثة أمثال قيمة الانحراف المعياري.

مفهوم أساسي: المُتغيّرات العشوائية المُتّصلة والمُنفصلة

• المُتغيّرات العشوائية المُتّصلة والمُنفصلة: * المُتغيّر العشوائي المُنفصل هو مُتغيّر عشوائي يأخذ قيمًا معدودة. مثال: عدد السيارات التي ستمرّ أمام إحدى المدارس خلال الساعة القادمة.
• $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

التوزيع الطبيعي المعياري

• يُطلق على التوزيع الطبيعي الذي وسطه الحسابي 0، وانحرافه المعياري 1، اسم التوزيع الطبيعي المعياري ⁦(standard normal distribution)⁩، ويُمكن التعبير عن المُتغيّر العشوائي الطبيعي المعياري بالرموز على النحو الآتي: $Z \sim N(0, 1)$ يُبيّن الشكل المجاور منحنى التوزيع الطبيعي المعياري المُتماثل حول الوسط الحسابي 0.
• $Z \sim N(0, 1)$

مفهوم أساسي: إيجاد احتمال المُتغيّر العشوائي الطبيعي المعياري

• إيجاد احتمال المُتغيّر العشوائي الطبيعي المعياري: إذا كان: $Z \sim N(0, 1)$، فإنّ: 1.
• $P(Z -z) = P(Z < z)$
• P(z_1 < Z < z_2) = P(Z < z_2) - P(Z < z_1)

إيجاد احتمال المُتغيّر العشوائي الطبيعي (غير المعياري)

• يُمكن استعمال الصيغة الآتية لتحويل قيم التوزيع الطبيعي $x$ إلى قيم معيارية $z$: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$