التوزيع الطبيعي

تُصنف البيانات العددية إلى منفصلة (تُعد) ومتصلة (تُقاس). عندما يزداد حجم العينة ويقل طول الفئات في المدرج التكراري، يقترب الشكل من منحنى أملس يسمى المنحنى الطبيعي.

المنحنى الطبيعي: منحنى متصل له شكل الجرس، تتطابق فيه قيم الوسط والوسيط والمنوال في المنتصف.

الخصائص الأساسية للمنحنى الطبيعي:

• متماثل حول الوسط الحسابي $\mu$.
• المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي $1$ صحيح.
• يقترب طرفا المنحنى من المحور $x$ دون أن يمساه.
• يعتمد شكل المنحنى على $\mu$ (الذي يحدد الموقع) و $\sigma$ (الذي يحدد الانتشار).

زيادة الوسط الحسابي $\mu$ تؤدي إلى انسحاب المنحنى لليمين، بينما زيادة الانحراف المعياري $\sigma$ تجعل المنحنى أكثر اتساعاً وتشتتاً (أقل ارتفاعاً).

تُستخدم القاعدة التجريبية لتقدير المساحات (الاحتمالات) أسفل المنحنى الطبيعي بناءً على البعد عن الوسط الحسابي.

القاعدة التجريبية: توزيع البيانات بنسب $68\%$, $95\%$, $99.7\%$ ضمن انحراف، انحرافين، وثلاثة انحرافات معيارية على الترتيب.

تفصيل النسب المئوية:

• $68\%$ تقريباً من البيانات تقع في الفترة $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$.
• $95\%$ تقريباً من البيانات تقع في الفترة $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$.
• $99.7\%$ تقريباً من البيانات تقع في الفترة $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$.
• بما أن المنحنى متماثل، فإن $50\%$ من البيانات تقع فوق الوسط و $50\%$ تحت الوسط.

عند حل مسائل القاعدة التجريبية، ارسم المنحنى ووزع النسب المئوية ($34\%$, $13.5\%$, $2.35\%$, $0.15\%$) على كل جهة لتسهيل جمع المساحات المطلوبة.

التوزيع المعياري هو حالة خاصة نستخدمها لتوحيد المقاييس، حيث يرمز للمتغير بالرمز $Z$.

خصائص Z: الوسط الحسابي $\mu = 0$ والانحراف المعياري $\sigma = 1$. الرمز الرياضي: $Z \sim N(0, 1)$.

قواعد استخدام الجدول:

• الجدول يعطي المساحة يسار القيمة $z$ الموجبة، أي $P(Z < z)$.
• لاحتمال أكبر من قيمة: $P(Z > z) = 1 - P(Z < z)$.
• لاحتمال قيمة سالبة: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.
• لاحتمال بين قيمتين: $P(z_1 < Z < z_2) = P(Z < z_2) - P(Z < z_1)$.

تذكر أن المساحة أسفل نقطة واحدة في التوزيع المتصل تساوي صفراً، لذا فإن $P(Z \le z)$ هي نفسها $P(Z < z)$؛ وجود إشارة المساواة أو عدمها لا يغير النتيجة.

التوزيع الطبيعي — يتناول هذا الدرس مفهوم التوزيع الطبيعي كأهم التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات المتصلة، موضحاً خصائص منحنى الجرس والقاعدة التجريبية لحساب الاحتمالات، وصولاً إلى التوزيع المعياري وكيفية استخدام الجداول الإحصائية.

تذكير: في الامتحان: اكتب القانون ثم عوّض بالأرقام مع الوحدات.

لإيجاد احتمالات لمتغير $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ غير معياري، يجب تحويل قيم $x$ إلى قيم معيارية $z$.

صيغة التحويل: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

خطوات الحل:

1. طرح الوسط الحسابي $\mu$ من القيمة $x$.
2. القسمة على الانحراف المعياري $\sigma$.
3. البحث عن القيمة الناتجة في جدول $Z$ لإيجاد الاحتمال.

عند حساب $z$، قرب الناتج دائماً إلى أقرب منزلتين عشريتين لتتمكن من استخدامه في الجدول (المنزلة الأولى من العمود والمنزلة الثانية من الصف).

في بعض التطبيقات، يُعطى الاحتمال (المساحة) ويُطلب إيجاد القيمة الأصلية $x$ أو المعلمات $\mu, \sigma$.

إذا لم تجد قيمة الاحتمال بدقة في الجدول، اختر القيمة الأقرب إليها. (مثلاً: للاحتمال $0.7500$ نختار القيمة $0.7486$ المقابلة لـ $z=0.67$).

آلية الحل العكسي:

• ابحث عن قيمة الاحتمال داخل الجدول لإيجاد قيمة $z$ المقابلة لها.
• إذا كان الاحتمال أقل من $0.5$ والقانون يتطلب $P(Z < z)$، فهذا يعني أن $z$ سالبة.

• استخدم القانون $x = \mu + z \cdot \sigma$ لإيجاد القيمة المطلوبة.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–7 وأسئلة نهاية الدرس في آخر بطاقة.

• سؤال: ما هي خصائص منحنى التوزيع الطبيعي؟ يتناول هذا الدرس مفهوم التوزيع الطبيعي كأهم توزيع احتمالي للمتغيرات العشوائية ال

أسئلة تقييمية شاملة للمفاهيم.

• سؤال: كيف نستخدم القاعدة التجريبية لإيجاد النسبة المئوية للبيانات التي تبعد أكثر من انحرافين معيارين عن الوسط؟

• سؤال: وضح خطوات تحويل المتغير العشوائي الطبيعي $X$ إلى متغير معياري $Z$.

• سؤال: إذا كان $P(Z < z) = 0.9750$، فما قيمة $z$؟

• سؤال: كيف يؤثر تغير الانحراف المعياري على شكل منحنى الجرس؟

• سؤال: في أي حالة نستخدم القانون $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$؟