Practice with answers
Mathematics questions with worked answers, organised by unit and lesson. This is a quick preview — practise the full bank under a timer inside TawjihiAI.
Q: عرّف الاقتران المتشعب.
A: اقتران يُعرّف بقواعد مختلفة عند أجزاء مختلفة في مجاله.
Q: عرّف اقتران القيمة المطلقة.
A: اقتران يحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري.
Q: عرّف رأس الاقتران.
A: النقطة التي يصل عندها اقتران القيمة المطلقة إلى أعلى أو أقل قيمة، وإحداثياها (h, k).
Q: عرّف الاقتران الرئيس.
A: أبسط اقتران في عائلة الاقترانات التي تتشابه منحنياتها.
Q: عرّف الانسحاب الرأسي.
A: تحويل هندسي ينقل منحنى الاقتران إلى الأعلى عند إضافة ثابت موجب، وإلى الأسفل عند طرحه.
Q: عرّف الانسحاب الأفقي.
A: تحويل هندسي ينقل منحنى الاقتران إلى اليسار عند إضافة ثابت موجب لقيم x، وإلى اليمين عند طرحه.
Q: عرّف المتتالية المنتهية.
A: متتالية تحوي عدداً منتهياً من الحدود.
Q: عرّف المتتالية الحسابية.
A: متتالية يكون الفرق بين كل حدين متتاليين فيها قيمة ثابتة تسمى أساس المتتالية (d).
Q: عرّف المتسلسلة.
A: مجموع حدود المتتالية، ويتم التعبير عنها بوضع إشارة الجمع (+) بين الحدود.
Q: عرّف النهاية (limit).
A: العدد الذي تقترب منه قيم الاقتران عندما تقترب قيم x من عدد محدد c.
Q: عرّف الصيغة غير المحددة (indeterminate form).
A: الناتج (0)/(0) الذي يظهر عند التعويض المباشر، ويتطلب تبسيط الاقتران لإيجاد النهاية.
Q: عرّف الاقتران المتصل (continuous function).
A: الاقتران الذي لا يوجد في تمثيله البياني أي انقطاع أو قفزة أو فجوة عند نقطة ما.
Q: عرّف التعريف العام للمشتقة.
A: نهاية ميل القاطع عندما تقترب المسافة الأفقية h من الصفر.
Q: عرّف النقطة الحرجة.
A: النقطة التي يكون عندها المماس أفقياً (المشتقة تساوي صفراً) أو غير موجودة.
Q: عرّف العمودي على المماس.
A: المستقيم الذي يصنع زاوية قائمة مع المماس عند نقطة التماس.
Q: عرّف المشتقة الثانية.
A: هي الاقتران الناتج من اشتقاق اقتران المشتقة الأولى للاقتران الأصلي.
Q: عرّف اختبار المشتقة الثانية.
A: طريقة تستخدم لتصنيف النقاط الحرجة للاقتران وتحديد نوعها (عظمى أو صغرى).
Q: عرّف التسارع.
A: هو المشتقة الثانية لاقتران الموقع بالنسبة للزمن، ويُرمز له بـ a(t) = s''(t).
Q: عرّف المشتقة الثانية.
A: هي مشتقة المشتقة الأولى للاقتران، وتستخدم لتحديد تقعر المنحنى وتصنيف القيم القصوى.
Q: عرّف اختبار المشتقة الثانية.
A: طريقة لتصنيف النقاط الحرجة c التي يكون عندها f'(c)=0، وذلك بفحص إشارة f''(c).
Q: عرّف السرعة المتجهة.
A: معدل تغير موقع الجسم بالنسبة للزمن، ويرمز لها بـ v(t) = s'(t).
Q: عرّف اقتران التكلفة.
A: اقتران يمثل تكلفة إنتاج x قطعة من منتج معين، ويرمز له بالرمز C(x).
Q: عرّف التكلفة الحدية.
A: هي مشتقة اقتران التكلفة C'(x)، وتمثل معدل تغير التكلفة بالنسبة لعدد القطع.
Q: عرّف اقتران الإيراد.
A: اقتران يمثل إيراد بيع x وحدة من منتج معين، ويرمز له بالرمز R(x).
Q: عرّف قاعدة السلسلة.
A: قاعدة تُستخدم لإيجاد مشتقة الاقتران المركب، وتنص على أن (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) × g'(x).
Q: عرّف قاعدة سلسلة القوة.
A: حالة خاصة من قاعدة السلسلة لاشتقاق اقترانات القوة المركبة، حيث d/dx [g(x)]n = n[g(x)]^(n-1) × g'(x).
Q: عرّف الاقتران المركب.
A: اقتران يُسمى h(x) اقتراناً داخلياً للاقتران المركب، ويُسمى g(x) اقتراناً خارجياً له، حيث f(x) = (g ∘ h)(x).
Q: عرّف مبدأ العد الأساسي.
A: طريقة لإيجاد عدد الطرائق الممكنة لإجراء تجربة عشوائية مكونة من مراحل، بضرب عدد الطرائق الممكنة في كل مرحلة.
Q: عرّف المضروب.
A: حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n، ويرمز له بالرمز n!.
Q: عرّف التباديل.
A: الطرائق الممكنة لاختيار مجموعة من الأشياء مع مراعاة الترتيب.
Q: عرّف المتغير العشوائي.
A: متغير يأخذ قيماً عددية تعتمد على نواتج تجربة عشوائية.
Q: عرّف التوزيع الاحتمالي.
A: اقتران يربط قيم المتغير العشوائي باحتمالات وقوعها في التجربة.
Q: عرّف التوقع.
A: القيمة التي يؤول إليها المتغير العشوائي عند تكرار التجربة عدداً كبيراً من المرات.
Q: عرّف الراديان (radian).
A: وحدة قياس للزوايا تعتمد على طول قوس الدائرة، حيث 1 راديان هو قياس الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة.
Q: عرّف الزاوية في الوضع القياسي.
A: زاوية يقع رأسها عند نقطة الأصل (0,0) وضلع ابتدائها منطبق على المحور x الموجب.
Q: عرّف الزوايا المشتركة (coterminal angles).
A: زوايا في الوضع القياسي لها ضلع الانتهاء نفسه، لكن قياساتها مختلفة.
Q: عرّف الاقتران المثلثي.
A: قاعدة معطاة باستعمال النسبة المثلثية.
Q: عرّف الزاوية الربعية.
A: زاوية ينطبق ضلع انتهائها على أحد المحورين الإحداثيين.
Q: عرّف الزاوية المرجعية.
A: الزاوية الحادة ' المحصورة بين ضلع انتهاء الزاوية والمحور x .
Q: عرّف السعة (Amplitude).
A: نصف الفرق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى للاقتران الجيبي، وتساوي |a|.
Q: عرّف الاقتران الدوري (Periodic Function).
A: اقتران يكرر نمط تمثيله البياني بانتظام عبر فترات متساوية تسمى الدورة.
Q: عرّف طول الدورة (Period).
A: أقصر مسافة أفقية يكرر فيها الاقتران نمطه، وتحسب بالقانون (2)/(|b|).
Q: عرّف الاقتران الأصلي.
A: اقتران F(x) بحيث تكون مشتقته F'(x) = f(x).
Q: عرّف التكامل غير المحدود.
A: العملية العكسية للاشتقاق، ويُعبر عنه بـ f(x) dx.
Q: عرّف المُكامل.
A: الاقتران f(x) الذي يتم إيجاد تكامله.
Q: عرّف الشرط الأولي.
A: قيمة أو نقطة معطاة في المسألة تُستخدم لتحديد قيمة ثابت التكامل (C) وإيجاد الاقتران الأصلي الوحيد.
Q: عرّف الاقتران الأصلي.
A: الاقتران الذي مشتقته تساوي الاقتران المعطى، ويُعبر عنه بـ F(x) + C.
Q: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال 1: إيجاد قاعدة اقتران.
A: 1. نجد تكامل المشتقة: f(x) = (3x2 + 4x - 3) dx = x3 + 2x2 - 3x + C. 2. نعوض الشرط الأولي (2, 4) في القاعدة: 4 = (2)3 + 2(2)2 - 3(2) + C. 3. نبسط المعادلة: 4 = 8 + 8 - 6 + C → 4 = 10 + C → C = -6. القاعدة هي f(x) = x3 + 2x2 - 3x - 6.
Q: عرّف التكامل المحدود.
A: عملية حسابية تعطي قيمة عددية تمثل الفرق بين قيمتي الاقتران الأصلي عند حدي التكامل.
Q: عرّف الاقتران الأصلي.
A: الاقتران F(x) الذي مشتقته هي f(x).
Q: عرّف حدود التكامل.
A: القيمتان a و b اللتان تحددان الفترة التي يتم التكامل عليها.
Q: عرّف المجسم الدوراني.
A: هو المجسم الناتج عن دوران منطقة محصورة بين منحنى اقتران والمحور x دورة كاملة حول المحور x.
Q: عرّف التكامل المحدود.
A: أداة رياضية تُستخدم لحساب المساحات تحت المنحنيات وحجوم المجسمات الدورانية ضمن حدود معينة.
Q: عرّف الاقتران الأسي.
A: الاقتران الذي يتضمن أسّاً متغيراً لأساس ثابت b حيث b > 0 و b 1.
Q: عرّف خط التقارب الأفقي.
A: خط مستقيم يقترب منه منحنى الاقتران دون أن يقطعه أو يمسه في المدى البعيد.
Q: عرّف اقتران واحد لواحد.
A: الاقتران الذي يرتبط فيه كل عنصر في مداه بعنصر واحد فقط في مجاله، ويمكن التحقق منه باختبار الخط الأفقي.
Q: عرّف عامل النمو.
A: المقدار (1 + r) الذي يضرب في الكمية الابتدائية لزيادتها بنسبة مئوية ثابتة.
Q: عرّف عامل الاضمحلال.
A: المقدار (1 - r) الذي يضرب في الكمية الابتدائية لتقليلها بنسبة مئوية ثابتة.
Q: عرّف الربح المركب.
A: الفائدة المستحقة على مبلغ الاستثمار الأصلي والفوائد المستحقة سابقاً.
Q: عرّف الاقتران اللوغاريتمي.
A: الاقتران العكسي للاقتران الأسي، ويُكتب على الصورة f(x) = x.
Q: عرّف خط التقارب الرأسي.
A: المستقيم الذي يقترب منه منحنى الاقتران دون أن يقطعه، وهو المحور y في الاقتران اللوغاريتمي الرئيس.
Q: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال 1: تحويل الصورة اللوغاريتمية إلى أسية.
A: 1. نحدد الأساس b=2، والناتج y=3، والقيمة x=8. 2. نطبق تعريف اللوغاريتم by = x. 3. تكون الصورة الأسية: 23 = 8.
Q: عرّف قوانين اللوغاريتمات.
A: مجموعة من القواعد الرياضية التي تربط بين عمليات الضرب والقسمة والقوة داخل اللوغاريتمات.
Q: عرّف الصورة المطولة.
A: كتابة المقدار اللوغاريتمي بحيث يتم تفكيكه إلى عدة مقادير لوغاريتمية بسيطة باستخدام القوانين.
Q: عرّف الصورة المختصرة.
A: كتابة المقدار اللوغاريتمي في صورة لوغاريتم واحد فقط.
Q: عرّف اللوغاريتم الاعتيادي.
A: اللوغاريتم للأساس 10، ويُكتب عادةً log x من دون أساس.
Q: عرّف اللوغاريتم الطبيعي.
A: اللوغاريتم للأساس e، ويُرمز إليه بالرمز ln.
Q: عرّف خاصية المساواة اللوغاريتمية.
A: إذا كان b, y, x أعداداً حقيقية موجبة، حيث b ≠ 1، فإن logb(x) = logb(y) إذا وفقط إذا كان x = y.
