Practice with answers
Mathematics (Scientific) questions with worked answers, organised by unit and lesson. This is a quick preview — practise the full bank under a timer inside TawjihiAI.
Q: عرّف متوسط التغير، واكتب صيغته من س₁ إلى س₂.
A: هو نسبة تغير الاقتران إلى تغير المدخل: [ق(س₂)−ق(س₁)]/(س₂−س₁)، مع س₂≠س₁.
Q: اشرح لماذا يشترط س₂≠س₁ في قانون متوسط التغير.
A: لأن المقام س₂−س₁ يمثل التغير في المدخل، وإذا تساوى الطرفان صار المقام صفراً ولا تصح القسمة.
Q: أوجد متوسط التغير لاقتران يحقق ق(2)=7 وق(5)=−2.
A: [ق(5)−ق(2)]/(5−2)=(−2−7)/3=−3.
Q: اكتب تعريف المشتقة باستخدام نهاية متوسط التغير، وفسر معنى هـ.
A: ق'(س)=نها [ق(س+هـ)−ق(س)]/هـ عندما هـ→0، ويمثل هـ تغيراً في س ويكون غير صفري أثناء تكوين الكسر.
Q: أوجد مشتقة ق(س)=4س³−7س+9، واذكر القاعدة المستخدمة للثابت.
A: ق'(س)=12س²−7؛ لأن مشتقة الثابت 9 تساوي صفراً.
Q: فسر لماذا تساوي مشتقة الثابت صفراً ومشتقة س واحداً.
A: الاقتران الثابت لا يتغير فميله صفر، أما ص=س فخط مستقيم ميله واحد.
Q: اكتب قاعدة القسمة، واذكر شرطاً على المقام.
A: إذا كان ق=ب/م فإن ق'=(ب'م−بم')/م2، مع م≠0. يجب استبعاد قيم س التي تجعل المقام صفراً.
Q: اشرح معنى المشتقات العليا، ثم ميّز بين المشتقة الثانية ومربع المشتقة الأولى.
A: المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى، وتستمر الرتب العليا باشتقاق الرتبة السابقة. أما d2ص/dس2 فهو اشتقاق ثان، في حين أن (dص/dس)2 هو تربيع ناتج الاشتقاق الأول.
Q: لماذا لا يجوز قبول قيمة تجعل المقام صفراً حتى لو ظهرت أثناء حل معادلة مشتقة؟
A: لأن الاقتران الكسري غير معرّف عند تلك القيمة، وقاعدة القسمة تفترض مقاماً غير صفري. لذلك يفحص الحل مجال الاقتران بعد الجبر.
Q: اذكر الخطوة الأولى قبل تطبيق قاعدة لوبيتال، ثم وضّح لماذا لا تمثل 0/0 قيمة نهائية.
A: نبدأ بالتعويض المباشر في البسط والمقام. إذا ظهرت 0/0 فهي صورة غير معينة لا تعطي قيمة النهاية، ولذلك نحتاج إلى طريقة إضافية مثل قاعدة لوبيتال.
Q: اكتب قاعدة لوبيتال بالصورة التي يشرحها المصدر، واذكر شرط قابلية الاشتقاق.
A: إذا كان ق(س) و هـ(س) قابلين للاشتقاق عند س=أ، وكانت النهاية تعطي 0/0، فإن س→أ(ق(س))/(هـ(س))=س→أ(ق'(س))/(هـ'(س)) عندما تكون النهاية الجديدة موجودة.
Q: ما الفرق بين تطبيق لوبيتال واشتقاق حاصل القسمة؟
A: في لوبيتال نشتق البسط وحده والمقام وحده ثم نكوّن خارج قسمة المشتقتين. لا نستخدم صيغة مشتقة حاصل القسمة ذات البسط المركب.
Q: اشرح المعنى الهندسي للقيمة ق′(س₁).
A: تمثل ق′(س₁) ميل المماس لمنحنى ق(س) عند النقطة (س₁، ق(س₁))، أي معدل التغير اللحظي للمنحنى عندها.
Q: عرّف نقطة التماس والعمودي على المنحنى.
A: نقطة التماس هي (س₁، ق(س₁)) التي يمر بها المماس. والعمودي هو المستقيم العمودي على المماس عند نقطة التماس.
Q: لماذا يكون ميل العمودي السالب المقلوب لميل المماس؟
A: لأن المستقيمين متعامدان، وحاصل ضرب ميلي مستقيمين متعامدين يساوي −١؛ لذلك إذا كان ميل المماس م≠٠ فميل العمودي −١/م.
Q: فرّق بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية، واكتب صيغة كل منهما.
A: السرعة المتوسطة تغير الموضع على طول فترة: [ف(ن2)−ف(ن1)]/(ن2−ن1). السرعة اللحظية عند زمن محدد هي المشتقة ف'(ن).
Q: كيف يرتبط التسارع بدالة الموضع؟
A: السرعة ع=ف'(ن)، والتسارع هو مشتقة السرعة ت=ع'=ف''(ن). لذلك نشتق الموضع مرتين بالنسبة للزمن.
Q: لماذا لا تكفي إشارة المسافة وحدها لتحديد اتجاه الحركة؟
A: المسافة كمية غير سالبة تجمع أطوال المسار، بينما اتجاه الحركة يقرأ من إشارة السرعة اللحظية. قد تعود المسافة موجبة بعد تغيّر السرعة من موجبة إلى سالبة.
Q: عرّف الاقتران المركب، واكتب قاعدة السلسلة بصيغة ص=ق(هـ(س)).
A: الاقتران المركب هو ق(هـ(س)) حيث هـ الداخل وق الخارج. وقاعدة السلسلة دص/دس=ق'(هـ(س))هـ'(س)، أي مشتقة الخارج عند الداخل مضروبة في مشتقة الداخل.
Q: لماذا يظهر العامل دص/دس عند اشتقاق حد مثل ص2 بالنسبة إلى س؟
A: لأن ص تعتمد على س، فهي متغير داخلي. بتطبيق قاعدة السلسلة تصبح مشتقة ص2 هي 2ص دص/دس، وليس 2ص فقط.
Q: اكتب خطوات الاشتقاق الضمني عند طلب دص/دس عند نقطة.
A: نتحقق من النقطة في العلاقة، نشتق الطرفين بالنسبة إلى س، نجمع كل عوامل دص/دس، نخرجها عاملاً مشتركاً ونعزلها، ثم نعوض إحداثيي النقطة.
Q: اكتب نظرية رول كاملة، واذكر الفترة التي يجب أن تقع فيها ج.
A: إذا كان ق متصلاً على [أ، ب] وقابلاً للاشتقاق على (أ، ب) وكان ق(أ)=ق(ب)، فإنه يوجد عدد حقيقي واحد على الأقل ج∈(أ، ب) بحيث ق'(ج)=٠.
Q: تحقق من شروط نظرية رول للاقتران ق(س)=س²−س على [٠،١]، ثم أوجد ج.
A: أ: ق كثير حدود، فهو متصل وقابل للاشتقاق على الفترتين المطلوبتين. ب: ق(٠)=٠ وق(١)=٠. ج: ق'(س)=٢س−١، ومن ٢ج−١=٠ نحصل على ج=١/٢، وهي داخل (٠،١).
Q: فسّر لماذا لا يجوز تطبيق نظرية رول إذا كان الاقتران غير متصل عند نقطة داخل الفترة المغلقة.
A: لأن الاتصال على [أ، ب] شرط أساسي في رول، وفشله يمنع استنتاج وجود ج∈(أ، ب) بحيث ق'(ج)=٠، حتى لو أمكن حل معادلة المشتقة.
Q: اكتب تعريف الاقتران المتزايد والمتناقص على فترة باستخدام س₁ وس₂.
A: إذا س₁<س₂، فالمتزايد يحقق ق(س₁)<ق(س₂)، والمتناقص يحقق ق(س₁)>ق(س₂).
Q: اذكر اختبار المشتقة الأولى للتزايد والتناقص والثبات.
A: ق'>0 يعني متزايداً، وق'<0 يعني متناقصاً، وق'=0 على فترة كاملة يعني ثابتاً، مع تحقق شروط المجال والاشتقاق.
Q: اشرح لماذا لا تكفي معرفة أن ق'(a)=0 لتحديد سلوك الاقتران حول a.
A: لأن ق'(a)=0 قيمة عند نقطة واحدة، وقد تتغير إشارة المشتقة قبلها وبعدها؛ يجب اختبار الفترات المحيطة.
Q: قارن بين القيمة القصوى المحلية والقيمة القصوى المطلقة، ثم فسّر مثال الاقتران الثابت ق(س)=4 على [0،3].
A: المحلية جوار مفتوح، والمطلقة المجال كله؛ والاقتران الثابت يحقق المحليتين بالقيمة نفسها.
Q: اشرح كيف تحدد النقاط الحرجة لاقتران قد تكون مشتقته غير موجودة عند بعض القيم.
A: أحل ق′=0 وأفحص عدم وجودها، مع إبقاء قيم المجال فقط، ثم أصنف المرشحين باختبار آخر.
Q: للاقتـران ق(س)=س³+س²−5س−5، أوجد النقاط الحرجة وصنّف القيم المحلية واحسبها.
A: العظمى المحلية 40/27 عند س=−5/3، والصغرى المحلية −8 عند س=1.
Q: اشرح اختبار التقعر بالمشتقة الثانية، وبيّن لماذا لا يكفي f′′(ج)=0.
A: الإشارة على الفترات تصف التقعر، والصفر يحدد مرشحاً فقط حتى يثبت تغير الإشارة والاتصال.
Q: للاقتران ق(س)=(س²+1)/س، حدد فترات التقعر وناقش الصفر.
A: التقعر للأسفل قبل الصفر وللأعلى بعده، ولا انعطاف عند صفر خارج المجال.
Q: حلل تقعر ق(س)=ln(cos س) على [0،π/3].
A: التقعر للأسفل على الفترة لأن −sec² س سالبة حيث تكون الدالة معرفة.
Q: اكتب خوارزمية عامة لمسألة قيم قصوى عملية من نشاط الشرائط أو زاوية الشارع.
A: الرسم والمتغيرات ثم القيد ثم دالة الهدف والمجال ثم الاشتقاق والفحص والتفسير.
Q: عددان موجبان مجموعهما 60. أوجد العددين اللذين يعطيان أكبر حاصل ضرب.
A: أفضل تقسيم هو 30 و30.
Q: كوّن نموذج الصندوق المفتوح ذي القاعدة المربعة والحجم 8 دسم³ لتقليل مساحة المادة.
A: النموذج T(س)=س²+32/س، وتحدد النقطة الحرجة من 2س−32/س²=0.
Q: عرّف المصفوفة.
A: تنظيم مستطيل لمجموعة من الأعداد في صفوف وأعمدة محصور بين قوسين.
Q: ما رتبة مصفوفة لها m صفوف وn أعمدة؟ وكم عدد مدخلاتها؟
A: رتبتها m × n، وعدد مدخلاتها m × n.
Q: ما معنى العنصر aij؟
A: المدخل الواقع في الصف i والعمود j.
Q: ما شرط جمع مصفوفتين؟ وكيف يتم الجمع؟
A: أن تكونا من الرتبة نفسها، ثم تجمع المدخلات المتناظرة.
Q: اكتب الطرح A − B باستعمال الجمع.
A: A − B = A + (−B)، حيث −B هو النظير الجمعي لـ B.
Q: ما أثر ضرب A في عدد حقيقي k على رتبتها ومدخلاتها؟
A: تبقى الرتبة نفسها، وتضرب كل مدخلة في k.
Q: عرّف محدد المصفوفة.
A: عدد مرتبط بمصفوفة مربعة ويرمز له بـ |A| أو det(A).
Q: اكتب قاعدة محدد 2 × 2.
A: إذا كانت المصفوفة [[a,b],[c,d]] فالمحدد ad − bc.
Q: ما خطوات توسيع محدد 3 × 3؟
A: اختيار صف أو عمود، ثم المحددات الأصغر والإشارات، ثم جمع الحدود.
Q: عرّف النظير الضربي للمصفوفة A.
A: مصفوفة A⁻¹ تحقق A A⁻¹ = A⁻¹ A = I.
Q: متى تكون المصفوفة منفردة؟
A: عندما يكون محددها صفراً ولا يوجد لها نظير ضربي.
Q: ما خطوات اختبار وجود النظير؟
A: احسب المحدد، ثم قرر من كونه صفراً أو غير صفري.
Q: ما معنى AX=B؟
A: A مصفوفة المعاملات، وX مصفوفة المتغيرات، وB مصفوفة الثوابت.
Q: ما الشرط اللازم لإيجاد A^-1؟
A: أن تكون A مربعة وغير منفردة، أي det(A) غير صفري.
Q: رتب خطوات الحل بالنظير الضربي.
A: أفحص المحدد، أوجد المعكوس، أحسب X=A^-1B، ثم أتحقق بالتعويض.
Q: عرّف الاقتران الأصلي للاقتـران ق(س).
A: م(س) اقتران أصلي لـ ق(س) إذا كان م′(س) = ق(س).
Q: فسّر لماذا يختلف أي أصلين للاقتـران المتصل نفسه بثابت.
A: إذا كان م′(س) = هـ′(س)، فإن (م(س) − هـ(س))′ = ٠، ولذلك م(س) − هـ(س) = ج.
Q: اكتب معنى الرمز ∫ ق(س) دس.
A: هو مجموعة جميع الاقترانات الأصلية للاقتـران ق(س)، وتكتب على صورة م(س) + ج.
Q: لماذا نضيف ثابت التكامل ج؟
A: لأن الاقترانات الأصلية التي لها المشتقة نفسها تختلف بمقدار ثابت.
Q: اكتب خاصيتي خطية التكامل.
A: ∫أق(س) دس=أ∫ق(س) دس، أ≠٠، و∫(ق(س)±هـ(س)) دس=∫ق(س) دس±∫هـ(س) دس.
Q: متى لا تستخدم قاعدة القوة؟ وما القاعدة البديلة؟
A: عندما ن=-1؛ نستخدم ∫(1/س) دس=لو₍هـ₎|س|+ج.
Q: إذا كان ق′(س)=٦س ويمر المنحنى بالنقطة (٠،١)، فأوجد ق(س).
A: ق(س)=٣س²+١.
Q: إذا كان ق′(س)=٢س+٣ ويمر المنحنى بالنقطة (١،٥)، فأوجد ق(س).
A: ق(س)=س²+٣س+١.
Q: اشرح دور النقطة المعلومة في سؤال ميل المماس.
A: تستخدم النقطة بعد التكامل لتحديد ثابت ج، وبدونه تبقى عائلة منحنيات لها الميل نفسه.
Q: اذكر العلامة التي تجعلك تجرب التكامل بالتعويض.
A: ظهور تعبير داخلي هـ(س) ومعه مشتقته أو مضاعف مشتقته داخل التكامل.
Q: أوجد ∫٢س√(س²+٤) دس موضحاً المتغير الجديد.
A: ضع ع=س²+٤، د ع=٢س دس. إذن التكامل ∫√ع دع=٢ع^(٣/٢)/٣+ج=٢/٣(س²+٤)^(٣/٢)+ج.
Q: أوجد ∫(٢س+١)^٥ دس.
A: ع=٢س+١، دس=دع/٢، والناتج ع⁶/١٢+ج=(٢س+١)^٦/١٢+ج.
Q: عرّف التجزئة النونية للفترة المغلقة [أ،ب]، واذكر شروطها.
A: هي σ=س₀،س₁،…،سₙ بحيث س₀=أ<س₁<…<سₙ=ب؛ أي تبدأ عند أ، وتنتهي عند ب، وعناصرها مرتبة تصاعدياً.
Q: اكتب الفترة الجزئية الرائية وطولها، ثم بيّن مجموع أطوال الفترات الجزئية.
A: [سᵣ₋₁،سᵣ]، Δسᵣ=سᵣ−سᵣ₋₁، ومجموع الأطوال ب−أ.
Q: ما الفرق بين التجزئة والتجزئة المنتظمة؟
A: التجزئة تحقق الطرفين والترتيب، أما التجزئة المنتظمة فتضيف شرط تساوي أطوال جميع الفترات الجزئية، بحيث Δس=(ب−أ)/ن.
Q: عرّف التكامل المحدود كما في الدرس.
A: إذا كان ق(س) معرفاً ومحدوداً في [أ،ب] وكانت نهاية م(σₙ،ق)=ل عندما ن→∞ لجميع قيم سᵣ* المناسبة، فإن ∫ من أ إلى ب ق(س) د س=ل.
Q: اكتب صيغة مجموع ريمان في تجزئة نونية منتظمة.
A: م(σₙ،ق)=∑ من ر=1 إلى ن ق(سᵣ*) (ب−أ)/ن.
Q: ما المقصود بأن ق(س) محدود؟
A: أن يوجد عددان حقيقيان أ،ب بحيث أ≤ق(س)≤ب لكل س في مجال الاقتران.
Q: اكتب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، واذكر شرطاً على ق.
A: إذا كان ق متصلاً على [أ،ب] وكان م'(س)=ق(س)، فإن ∫ من أ إلى ب ق(س) دس = م(ب)−م(أ).
Q: اشرح لماذا لا يؤثر ثابت التكامل في قيمة التكامل المحدود.
A: إذا كان الأصلي م+ج، فإن (م(ب)+ج)−(م(أ)+ج)=م(ب)−م(أ)، فيلغي الطرح الثابت.
Q: إذا كان م'(س)=ق(س)، وم(7)=12 وم(−3)=4، أوجد التكامل من −3 إلى 7.
A: م(7)−م(−3)=12−4=8.
Q: ما الخطوات العامة للتعامل مع اقتران معرف على أجزاء داخل تكامل محدود؟
A: حدّد نقطة أو نقاط الفصل، جزّئ الفترة عندها بخاصية الإضافة، ثم استعمل صيغة الاقتران المناسبة في كل جزء وطبّق الخصائص الأساسية.
Q: ماذا يطلب التدريب الخاص بالاقتران ق(س)=|٢-س| على [٠،٥]؟
A: إيجاد الاقتران المكامل ت(س)، مع الانتباه إلى نقطة التغيّر عند س=٢.
Q: ما أثر عكس حدّي التكامل؟
A: تتغير إشارة الناتج.
Q: أوجد المساحة المحصورة بين ق(س)=س²−٩ ومحور السينات، وفسّر سبب تغيير إشارة الاقتران.
A: نحل س²−٩=٠ فنحصل على س=−٣ و٣. بين هاتين القيمتين يكون س²−٩≤٠، لذلك المساحة الموجبة هي م=∫ من −٣ إلى ٣ (٩−س²) د س. بالتناظر م=٢[٩س−س³/٣] من ٠ إلى ٣=٣٦ وحدة مربعة.
Q: للاقتران ق(س)=س+١، أوجد المساحة بين المنحنى ومحور السينات والمستقيمين س=٢ وس=٣.
A: الإجابة الكاملة: القيم موجبة، م=∫ من ٢ إلى ٣ (س+١) د س، والناتج ٧/٢ وحدة مربعة.
Q: أوجد المساحة بين ق(س)=جا س ومحور السينات على [٠،π]، واذكر لماذا لا نجزّئ الفترة.
A: جا س غير سالب على [٠،π]، لذلك م=∫ من ٠ إلى π جا س د س=[−جتا س] من ٠ إلى π=٢ وحدة مربعة. لا نجزّئ الفترة لأن الإشارة لا تتغير داخلها.
Q: عرّف العدد المركب واكتب صورته القياسية.
A: العدد المركب مقدار جبري على الشكل ع = س + ص ت حيث س، ص ∈ ح و ت = √(-١).
Q: ما الوحدة التخيلية؟ وما العلاقة الأساسية التي تحققها؟
A: ت = √(-١)، ولذلك ت² = -١.
Q: ما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في ع = س + ص ت؟
A: الجزء الحقيقي هو س، والجزء التخيلي هو ص.
Q: اكتب شرط تساوي العددين ع_1=س_1+ص_1ت وع_2=س_2+ص_2ت.
A: س_1=س_2 وص_1=ص_2.
Q: اذكر خصائص عملية الجمع للأعداد المركبة الظاهرة في الصفحة 211.
A: الانغلاق، التجميعية، وجود العنصر المحايد 0، وجود النظير الجمعي، والتبديلية.
Q: اذكر خصائص عملية الضرب الظاهرة في الصفحتين 212-213.
A: الانغلاق، التجميعية، وجود العنصر المحايد 1، وجود النظير الضربي لكل عدد غير صفري، والتبديلية.
Q: إذا ع=3+4ت، أوجد مرافقه ومقياسه وحاصل ضربه في مرافقه.
A: ع̄=3−4ت، |ع|=5، وع ع̄=25.
Q: أثبت أن مقياس العدد ومقياس مرافقه متساويان.
A: إذا ع=س+صت، فـ|ع|=√(س²+ص²)، بينما ع̄=س−صت يعطي |ع̄|=√(س²+(−ص)²)=√(س²+ص²)=|ع|.
Q: اكتب خصيصتين للمرافق، واذكر كيف تفيد إحداهما في القسمة.
A: مرافق المجموع يساوي مجموع المرافقين، ومرافق الحاصل يساوي حاصل المرافقين، كما أن ع ع̄=|ع|². الخاصية الأخيرة تجعل المقام حقيقياً.
Q: ماذا يمثل المحور الأفقي في مستوى أرجاند؟
A: الجزء الحقيقي.
Q: ماذا يمثل المحور الرأسي؟
A: الجزء التخيلي.
Q: اكتب الصورة القطبية العامة لـ ع = س + ص ت.
A: ع = ر(جتا هـ + ت جا هـ)، ر = |ع|.
Sign up now and plan your post-results step with Zaki — no invented ministry dates.
