الاقترانات المتشعبة

• تعرّف الاقتران المتشعب واقتران القيمة المطلقة وتمثيلهما بيانيًّا، وتحديد مجال كلّ منهما ومداه.

لماذا لا تكفي معادلة واحدة لثمن المياه؟

يبيّن الجدول المجاور تعرفة ثمن المياه للاستهلاك المنزلي في الدورة الواحدة لبعض شرائح الاستهلاك.

• لا يُمكن كتابة معادلة واحدة بدلالة كمية المياه المستهلكة $x$ يمكن من خلالها حساب ثمن المياه لأي قِيَم $x$.
• نحتاج إلى معادلة خاصّة بكلّ واحدة من شرائح الاستهلاك.

فكيف نحسب قيمة اقتران متشعب ونرسمه؟

كيف نحسب قيمة اقتران متشعب ونرسمه؟

إذا كان: $f(x) = \begin{cases} 3x+2 & , x < 2 \\ 5 & , x = 2 \\ 2x-1 & , x > 2 \end{cases}$ (a) أُحدّد مجال $f(x)$ (b) أجد قيمة كلّ من $f(5)$ ، $f(2)$ (c) أُمثّل الاقتران $f(x)$ بيانيًّا، وأُحدّد مداه.

من الرسم إلى القاعدة: ثلاثة أجزاء

• يُمكنني أيضًا أن أجد قاعدة الاقتران المتشعّب؛ إذا أُعطيتُ تمثيله البياني.

أكتبُ قاعدة الاقتران $f(x)$ الممثّل بيانيًّا في الشكل المجاور.

كيف نكتب اقتران أجرة العامل؟

• يُمكن نمذجة كثير من المواقف الحياتية باستعمال الاقترانات المتشعّبة.

زادت شركة رواتب موظفيها الشهرية وفق الأسس الآتية: الرواتب التي تقلّ عن 400 دينار زيدت بنسبة 15%، والرواتب من 400 دينار إلى أقلّ من 600 دينار زيدت بنسبة 10%، مع علاوة ثابتة بقيمة 20 دينارًا، والرواتب من 600 دينار وأكثر زيدت 80 دينارًا. أكتبُ اقترانًا متشعّبًا لحساب الراتب الجديد لموظفي الشركة.

كيف نكتب القيمة المطلقة بدون رمزها؟

• ومن أمثلته:
• $f(x) = 2|x| + 3$ ، $f(x) = |x^2 - 2x - 3|$ ، $f(x) = \left|\frac{x+2}{2x-6}\right|$
• من أبسط اقترانات القيمة المطلقة الاقتران $f(x) = |x|$ ، ويُمكن كتابته بصورة اقتران متشعّب.

1. الصفر: ساوِ ما داخل رمز القيمة المطلقة بالصفر، ثم حلّ المعادلة.
2. الإشارة: عيّن الصفر على خط الأعداد، وحدّد الإشارة على جانبيه.
3. القاعدتان: اكتب ما بالداخل كما هو عند الإشارة الموجبة، ومضروباً في سالب واحد عند السالبة.
4. الاقتران: اكتب قاعدة الاقتران المتشعب.

أُعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة: $f(x) = |3x - 9|$

الرأس ومحور التماثل: ارسم ⁦V⁩ بسرعة

• التمثيل البياني لاقتران القيمة المطلقة $f(x) = a|x{-}h| + k$، حيث $a \neq 0$، شعاعان على شكل حرف ⁦V⁩ متماثلان حول المحور $x = h$.
• يُمكن تمثيل اقتران القيمة المطلقة بيانيًّا باستعمال محور التماثل والرأس.

1. الرأس: أجد إحداثيي الرأس ومعادلة محور التماثل.
2. نقطتان: أختار قيمة أكبر وقيمة أقل من محور التماثل، وأجد صورتيهما.
3. التمثيل: أمثّل النقطتين والرأس، ثم أصل بين النقاط الثلاث بشكل حرف ⁦V⁩.

أُمثّل بيانيًّا كلّ اقتران ممّا يأتي، وأحدّد مجاله ومداه:

a) $f(x) = 2|x|$ b) $f(x) = -2|x - 4| + 3$ c) $f(x) = |x - 3| - 2$

نكتب قاعدة القيمة المطلقة من الرسم

• يُمكن إيجاد قاعدة اقتران القيمة المطلقة لمقدار خطّي؛ إذا أُعطي تمثيله البياني.

أكتبُ قاعدة اقتران القيمة المطلقة $f(x)$ الممثّل بيانيًّا في الشكل المجاور.

تدرّب: قيَم الاقتران، إعادة التعريف، التمثيل

إذا كان $f(x) = \begin{cases}3x^2 & , x<-1\\ 4x-3 & , -1\le x\le 4\\ 2 & , x>4\end{cases}$ ، فأجد كلًّا من:

1) $f(-2)$ 2) $f(-1)$ 3) $f(0)$ 4) $f(4)$ 5) $f(8)$ 6) $f(5)$

أُعيد تعريف كلّ من الاقترانين الآتيين:

7) $f(x) = |3x - 6|$ 8) $f(x) = |7x - 5| + 3$

أُمثّل كلاًّ من الاقترانات الآتية بيانيًّا، وأُحدّد مجالها ومداها:

9) $f(x) = \begin{cases}3-2x & , x<-1\\ 6 & , -1\le x\le 3\\ x^2 & , x>3\end{cases}$ 10) $f(x) = \begin{cases}3 & , x=1\\ -x+2 & , x\ne 1\end{cases}$ 11) $f(x) = \begin{cases}x+5 & , x\ne 2\\ 6 & , x=2\end{cases}$ 12) $f(x) = \begin{cases}2 & , x\le 3\\ -2 & , x>3\end{cases}$ 13) $f(x) = 2|x + 3|$ 14) $f(x) = -|x - 4| + 1$

أكتبُ قاعدة الاقتران المتشعّب الممثّل بيانيًّا في كلّ من الأشكال الآتية:

15) شكل التمرين 15 16) شكل التمرين 16 17) شكل التمرين 17

أكتبُ قاعدة اقتران القيمة المطلقة الممثّل بيانيًّا في كلّ من الأشكال الآتية:

18) شكل التمرين 18 19) شكل التمرين 19 20) شكل التمرين 20

خيمة: يُمثّل منحنى الاقتران $f(x) = -1.4\,|x - 2.5| + 3.5$ حافتَي الوجه الأمامي لخيمة، ويُمثّل العمود الذي يتوسّط الوجه الأمامي للخيمة محور التماثل، أمّا المحور $x$ فيُمثّله سطح الأرض.

21) أُمثّل الاقتران بيانيًّا.

22) أجد مجال الاقتران ومداه.

23) أعود إلى مسألة اليوم، وأكتبُ الاقتران المتشعّب الذي يُمكنني استعماله لحساب ثمن المياه لأيّ كمّية مستهلكة.

24) تبرير: أيّ الآتية تُمثّل منحنى الاقتران $f(x) = |2x{-}5|$؟ أُبرّر إجابتي:

25) تحدٍّ: أُمثّل الاقتران: $g(x) = -|4 - 2x| - 3$ بيانيًّا.