تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

الاقترانات المثلثية

الاقترانات المثلثية · الرياضيات

آخر تحديث:

محتويات الموضوع (٢٠)

شرح الموضوع

فكرة الدرس: إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية لأيّ زاوية.

الاقترانات المثلثية

  • إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية لأيّ زاوية.

الاقتران المثلثي: ست نسب لزاوية حادّة

الاقترانات المثلثية

  • وتُستعمل قياسات أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية وقياس زاوية حادّة فيه لإيجاد النسب المثلثية الست التي تُحدّد ستة اقترانات مثلثية.

مفهوم أساسي: جميع الاقترانات المثلثية في مثلث قائم الزاوية

  • sin⁡θ=المقابلالوتر\sin \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} (الجيب - ⁦sine⁩)
  • cos⁡θ=المجاورالوتر\cos \theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} (جيب التمام - ⁦cosine⁩)
  • tan⁡θ=المقابلالمجاور\tan \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} (الظل - ⁦tangent⁩)
  • csc⁡θ=الوترالمقابل\csc \theta = \frac{\text{الوتر}}{\text{المقابل}} (قاطع التمام - ⁦cosecant⁩)
  • sec⁡θ=الوترالمجاور\sec \theta = \frac{\text{الوتر}}{\text{المجاور}} (القاطع - ⁦secant⁩)
  • cot⁡θ=المجاورالمقابل\cot \theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{المقابل}} (ظل التمام - ⁦cotangent⁩)
  • csc⁡θ=1sin⁡θ\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}
  • sec⁡θ=1cos⁡θ\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}
  • cot⁡θ=1tan⁡θ\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}

مثال 1

وماذا لو كانت الزاوية غير حادّة؟

مفهوم أساسي: الاقترانات المثلثية لأيّ زاوية

أيّ زاوية: نقطة على ضلع الانتهاء تكفي

  • sin⁡θ=yr\sin \theta = \frac{y}{r}
  • cos⁡θ=xr\cos \theta = \frac{x}{r}
  • tan⁡θ=yx(x≠0)\tan \theta = \frac{y}{x} (x \neq 0)
  • csc⁡θ=ry(y≠0)\csc \theta = \frac{r}{y} (y \neq 0)
  • sec⁡θ=rx(x≠0)\sec \theta = \frac{r}{x} (x \neq 0)
  • cot⁡θ=xy(y≠0)\cot \theta = \frac{x}{y} (y \neq 0)

مثال 2

تقع النقطة (1,−3)(1, -3) على ضلع انتهاء الزاوية θ\theta المرسومة في الوضع القياسي. أجد قِيَم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية θ\theta.

تقع النقطة المعطاة في كلّ ممّا يأتي على ضلع انتهاء الزاوية θ\theta المرسومة في الوضع القياسي. أجد قيم الاقترانات الستة للزاوية θ\theta:

  1. (−12,5)(-12, 5)
  1. (3,−3)(3, -3)
  1. (−2,−5)(-2, -5)
  1. (3,7)(3, 7)

وإذا عُلم قياس الزاوية فقط، فماذا نفعل؟

الزوايا الربعية: ضلع الانتهاء على أحد المحورين

تعلّمتُ في الأمثلة السابقة إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية للزاوية θ\theta من دون معرفة قياسها.

إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية للزوايا الربعية

مفهوم أساسي: الزوايا الربعية

  • يُمكن إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية للزوايا الربعية باختيار نقطة تقع على ضلع انتهاء الزاوية، ثم إيجاد الاقتران المثلثي عند تلك النقطة.

مثال 3

أجد قيمة كل اقتران مثلثي ممّا يأتي إذا كان مُعرّفًا، وإلّا أكتب عبارة (غير مُعرّف):

a) sin⁡3π\sin 3\pi

b) tan⁡90∘\tan 90^{\circ}

c) sec⁡(−3π2)\sec \left(-\frac{3\pi}{2}\right)

وماذا عن الزوايا غير الربعية؟

إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية باستعمال الزوايا المرجعية

الزاوية المرجعية: نعود بكل زاوية إلى الربع الأول

مفهوم أساسي: الزوايا المرجعية

  • الربع الأول: θ′=θ\theta' = \theta
  • الربع الثاني: θ′=180∘−θ\theta' = 180^{\circ} - \theta أو θ′=π−θ\theta' = \pi - \theta
  • الربع الثالث: θ′=θ−180∘\theta' = \theta - 180^{\circ} أو θ′=θ−π\theta' = \theta - \pi
  • الربع الرابع: θ′=360∘−θ\theta' = 360^{\circ} - \theta أو θ′=2π−θ\theta' = 2\pi - \theta
  • تُستعمل الزوايا المرجعية لإيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية لأيّ زاوية θ\theta، وتعتمد إشارة قيمة الاقتران المثلثي على الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية θ\theta.
  • أتبع الخطوات الآتية لإيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية لأيّ زاوية θ\theta:
  • الخطوة 1: أجد قياس الزاوية المرجعية θ′\theta'.
  • الخطوة 2: أجد قيمة الاقتران المثلثي للزاوية المرجعية θ′\theta'.
  • الخطوة 3: أستعمل الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية θ\theta، لتحديد إشارة قيمة الاقتران المثلثي للزاوية θ\theta، بالاستعانة بالمخطط المجاور.
الربعsin⁡θ\sin \theta, csc⁡θ\csc \thetacos⁡θ\cos \theta, sec⁡θ\sec \thetatan⁡θ\tan \theta, cot⁡θ\cot \theta
الربع الأولموجبةموجبةموجبة
الربع الثانيموجبةسالبةسالبة
الربع الثالثسالبةسالبةموجبة
الربع الرابعسالبةموجبةسالبة
θ\theta30∘=π630^{\circ} = \frac{\pi}{6}45∘=π445^{\circ} = \frac{\pi}{4}60∘=π360^{\circ} = \frac{\pi}{3}
sin⁡θ\sin \theta12\frac{1}{2}12\frac{1}{\sqrt{2}}32\frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ\cos \theta32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{\sqrt{2}}12\frac{1}{2}
tan⁡θ\tan \theta13\frac{1}{\sqrt{3}}113\sqrt{3}

بالطرح

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي:

a) sin⁡210∘\sin 210^{\circ}

b) cos⁡510∘\cos 510^{\circ}

c) sec⁡11π4\sec \frac{11\pi}{4}

d) tan⁡(−2π3)\tan \left(-\frac{2\pi}{3}\right)

  1. sec⁡135∘\sec 135^{\circ}
  1. tan⁡(−3π4)\tan \left(-\frac{3\pi}{4}\right)
  1. cot⁡(8π3)\cot \left(\frac{8\pi}{3}\right)
  1. cos⁡7π4\cos \frac{7\pi}{4}
  1. sec⁡15π4\sec \frac{15\pi}{4}
  1. csc⁡(−630∘)\csc (-630^{\circ})
  1. tan⁡7π\tan 7\pi
  1. sin⁡(−2π3)\sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right)

إيجاد قيم الاقترانات المثلثية لزاوية عُلم الربع الذي يقع فيه انتهائها، وقيمة اقتران مثلثي أو أكثر لها

نعرف اقترانًا وربعًا: نبني النقطة بأنفسنا

وسأتعلم في المثال الآتي إيجاد قيم الاقترانات المثلثية إذا عُلمت قيمة اقتران مثلثي أو أكثر للزاوية θ\theta، والربع الذي يقع فيه انتهائها.

نظرية فيثاغورس

إذا كان sec⁡θ=2\sec \theta = 2، حيث sin⁡θ<0\sin \theta < 0، فأجد قيمة كلّ من الاقترانات المثلثية الخمسة المتبقية للزاوية θ\theta.

أجد قيمة كلّ من الاقترانات المثلثية المتبقية للزاوية θ\theta في كلّ ممّا يأتي:

  1. cos⁡θ=−712,tan⁡θ>0\cos \theta = -\frac{7}{12}, \tan \theta > 0
  1. sec⁡θ=5,sin⁡θ<0\sec \theta = 5, \sin \theta < 0
  1. cot⁡θ=14,sin⁡θ<0\cot \theta = \frac{1}{4}, \sin \theta < 0
  1. csc⁡θ=2,cos⁡θ>0\csc \theta = 2, \cos \theta > 0

وكيف نعكس الاقتران لنجد الزاوية؟

معكوس اقتران الجيب، وجيب التمام، والظل

الاقتران العكسي: نقيّد المجال ثم نعكس

تعلمتُ سابقًا أنّه يُمكن إيجاد الاقتران العكسي لاقتران إذا وفقط إذا كان الاقتران واحدًا لواحد، وهذا يعني أنَّ كل عنصر في مداه يرتبط بعنصر واحد فقط في مجاله، ويُمكن التحقق من ذلك باستعمال اختبار الخط الأفقي.

  • ألاحظ من الشكل المجاور أنَّ اقتران الجيب y=sin⁡xy = \sin x فشل في اختبار الخط الأفقي؛ ما يعني أنّه ليس اقتران واحد لواحد؛ لذا لا يُمكن إيجاد اقتران عكسي له.
- ولكن، لو اقتصر مجال اقتران الجيب على الفترة [-π/2, π/2] كما في الشكل الآتي، فإنّه يصبح اقتران واحد لواحد لجميع قيم المدى [-1, 1]، - عندئذٍ يُمكن إيجاد اقتران عكسي لاقتران الجيب في المجال المُحدّد، ويُسمى معكوس اقتران الجيب y = sin ⁻¹ x.
- ولكن، لو اقتصر مجال اقتران الجيب على الفترة [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] كما في الشكل الآتي، فإنّه يصبح اقتران واحد لواحد لجميع قيم المدى [−1,1][-1, 1]، - عندئذٍ يُمكن إيجاد اقتران عكسي لاقتران الجيب في المجال المُحدّد، ويُسمى معكوس اقتران الجيب y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x.

مفهوم أساسي: معكوس اقتران الجيب، وجيب التمام، والظل

معكوس اقتران الجيبمعكوس اقتران جيب التماممعكوس اقتران الظل
y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x إذا وفقط إذا sin⁡y=x\sin y = x، حيث: −1≤x≤1-1 \le x \le 1، و −π2≤y≤π2-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x إذا وفقط إذا cos⁡y=x\cos y = x، حيث: −1≤x≤1-1 \le x \le 1، و 0≤y≤π0 \le y \le \piy=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x إذا وفقط إذا tan⁡y=x\tan y = x، حيث: −∞<x<∞-\infty < x < \infty، و −π2<y<π2-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}
المجال: [−1,1][-1, 1]، المدى: [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]المجال: [−1,1][-1, 1]، المدى: [0,π][0, \pi]المجال: (−∞,∞)(-\infty, \infty)، المدى: (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
  • لإيجاد قيمة اقتران عكسي عند نقطة ما، تُعكس قاعدة الاقتران الأصلي.
  • فمثلاً، بما أنَّ sin⁡π2=1\sin \frac{\pi}{2} = 1، فإنَّ sin⁡−11=π2\sin^{-1} 1 = \frac{\pi}{2}.

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي (إن وُجدت)

a) sin⁡−112\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}، [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

b) cos⁡−10\cos^{-1} 0، [0,π][0, \pi]

c) tan⁡−1(−13)\tan^{-1} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)، (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي (إن وُجدت):

  1. sin⁡−1(−32),[−π2,π2]\sin^{-1} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]
  1. tan⁡−1(3),[−π2,π2]\tan^{-1} (\sqrt{3}), [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]
  1. cos⁡−1(22),[0,π]\cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right), [0, \pi]

وماذا نفعل لزاوية ليست خاصة؟

الآلة الحاسبة: زوايا غير خاصة وقطاعات دائرية

ولكن، إذا أردتُ إيجاد قيم الاقترانات المثلثية لغير هذه الزوايا، فإنني أستعمل الآلة الحاسبة، وكذلك الحال إذا أردتُ إيجاد الاقتران العكسي لقيم غير معروفة.

مثال 7

يمثل الشكل المجاور قطاعًا دائريًا مركزه O، وقياس زاويته θ، وطول نصف قطره 16 cm. إذا كان طول القوس AB هو 9.6 cm، فأجد كلًا ممّا يأتي: a) قياس زاوية القطاع θ بالراديان. b) مساحة القطاع. c) مساحة المنطقة المظللة.
يمثل الشكل المجاور قطاعًا دائريًا مركزه OO، وقياس زاويته θ\theta، وطول نصف قطره 16 cm16 \text{ cm}. إذا كان طول القوس ABAB هو 9.6 cm9.6 \text{ cm}، فأجد كلًا ممّا يأتي: ⁦a)⁩ قياس زاوية القطاع θ\theta بالراديان. ⁦b)⁩ مساحة القطاع. ⁦c)⁩ مساحة المنطقة المظللة.

أتدرب وأحل المسائل

إذا كان cos⁡π12=0.966\cos \frac{\pi}{12} = 0.966 لأقرب ثلاث منازل عشرية، فاستعمل هذه الحقيقة لإيجاد قيمة كلّ ممّا يأتي:

  1. cos⁡13π12\cos \frac{13\pi}{12}
  1. cos⁡11π12\cos \frac{11\pi}{12}
  1. cos⁡−π12\cos \frac{-\pi}{12}
  1. cos⁡23π12\cos \frac{23\pi}{12}
  1. (cos⁡3π4)2+(sin⁡4π3)2+(cos⁡5π4)2(\cos \frac{3\pi}{4})^2 + (\sin \frac{4\pi}{3})^2 + (\cos \frac{5\pi}{4})^2
  1. sin⁡π3−sin⁡2π3+sin⁡π−sin⁡4π3+sin⁡5π3−sin⁡2π\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{2\pi}{3} + \sin \pi - \sin \frac{4\pi}{3} + \sin \frac{5\pi}{3} - \sin 2\pi

وإذا عرفنا اقترانًا وربعًا، فكيف نجد الباقي؟

*والآن: تحدّيات تجمع ما سبق.*
والآن: تحدّيات تجمع ما سبق.

مهارات التفكير العليا

تحدٍّ وتبرير: نجمع ما تعلّمناه

تبرير: أثبت كلًّا ممّا يأتي، وأبرّر إجابتي: 32. tan 210° + tan 240° = (4√3)/3 33. (sin 30° + sin 60°)/(sin 45°) = 1/2(√2 + √6)
تبرير: أثبت كلًّا ممّا يأتي، وأبرّر إجابتي: 32. tan⁡210∘+tan⁡240∘=433\tan 210^{\circ} + \tan 240^{\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{3} 33. sin⁡30∘+sin⁡60∘sin⁡45∘=12(2+6)\frac{\sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{6})

تعريفات أساسية

الاقترانات المثلثية لأيّ زاوية

إذا كانت θ\theta زاوية مرسومة في الوضع القياسي، والنقطة P(x,y)P(x, y) تقع على ضلع الانتهاء للزاوية θ\theta، و rr يُمثّل البُعد بين النقطة PP ونقطة الأصل، حيث r=x2+y2,r≠0r = \sqrt{x^2 + y^2}, r \neq 0، فإنَّ الاقترانات المثلثية للزاوية θ\theta تُعرّف كما يأتي: sin⁡θ=yr,cos⁡θ=xr,tan⁡θ=yx(x≠0)\sin \theta = \frac{y}{r}, \cos \theta = \frac{x}{r}, \tan \theta = \frac{y}{x} (x \neq 0) csc⁡θ=ry(y≠0),sec⁡θ=rx(x≠0),cot⁡θ=xy(y≠0)\csc \theta = \frac{r}{y} (y \neq 0), \sec \theta = \frac{r}{x} (x \neq 0), \cot \theta = \frac{x}{y} (y \neq 0)

الزوايا الربعية

θ=0∘\theta = 0^{\circ} أو 0 rad0 \text{ rad} θ=90∘\theta = 90^{\circ} أو π2 rad\frac{\pi}{2} \text{ rad} θ=180∘\theta = 180^{\circ} أو π rad\pi \text{ rad} θ=270∘\theta = 270^{\circ} أو 3π2 rad\frac{3\pi}{2} \text{ rad} يُمكن إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية للزوايا الربعية باختيار نقطة تقع على ضلع انتهاء الزاوية، ثم إيجاد الاقتران المثلثي عند تلك النقطة.

معكوس اقتران الجيب، وجيب التمام، والظل
معكوس اقتران الجيبمعكوس اقتران جيب التماممعكوس اقتران الظل:---:---:---y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x إذا وفقط إذا sin⁡y=x\sin y = x، حيث: −1≤x≤1-1 \le x \le 1، و −π2≤y≤π2-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x إذا وفقط إذا cos⁡y=x\cos y = x، حيث: −1≤x≤1-1 \le x \le 1، و 0≤y≤π0 \le y \le \piy=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x إذا وفقط إذا tan⁡y=x\tan y = x، حيث: −∞<x<∞-\infty < x < \infty، و −π2<y<π2-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}المجال: [−1,1][-1, 1]، المدى: [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]المجال: [−1,1][-1, 1]، المدى: [0,π][0, \pi]المجال: (−∞,∞)(-\infty, \infty)، المدى: (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
اقترانات المقلوب

يُطلق على اقترانات قاطع التمام، والقاطع، وظل التمام، اسم اقترانات المقلوب ⁦(reciprocal functions)⁩

اقتران واحد لواحد

اقتران واحد لواحد هو اقتران لا يوجد في مجاله قيمتان مرتبطتان بالقيمة نفسها في المدى

بطاقات مهمة

فيثاغورس

بتعويض x=1,y=−4x=1, y=-4 بأخذ الجذر التربيعي الموجب > أتعلّم > يُمكنني اختيار أيّ قيمة لـ xx و yy بحيث يكون ناتج القسمة مساويًا لـ 4−4-.

معاينة موضوع «الاقترانات المثلثية» من وحدة «الاقترانات المثلثية» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ٢٠، التعريفات: ٥.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، الاقترانات المثلثية (ص ١٩–٣٢)

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة