قياس الزاوية بالراديان

آخر تحديث: ٢٤ تشرين الأول 2026

محتويات الموضوع (١٧)

شرح الموضوع

فكرة الدرس: رسم الزوايا في الوضع القياسي. التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان، والعكس.

رسم الزوايا في الوضع القياسي.
التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان، والعكس.

كيف نرسم زاوية من قياسها؟

رسم الزاوية في الوضع القياسي

قياس الزاوية يصف مقدار الدوران واتجاهه اللازمين للانتقال من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء.
موجب: إذا كان دوران ضلع الانتهاء عكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
سالب: إذا كان دوران ضلع الانتهاء مع اتجاه حركة عقارب الساعة.

مثال 1

أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلم قياسها في كلّ ممّا يأتي:

a) $170^{\circ}$

b) $650^{\circ}$

c) $-130^{\circ}$

والآن: كيف نقيس الزاوية بوحدة غير الدرجة؟

الراديان

الراديان: قياس الزاوية بطول قوس

يُمكن قياس الزوايا بالدرجات، ويُمكن أيضًا قياسها بوحدة تعتمد على طول قوس الدائرة، وتُسمّى الراديان ⁦(radian)⁩.

محيط الدائرة يساوي $2\pi r$ .
الدورة الكاملة: قياسها $2\pi$ راديان (عدد مرات تكرار $r$ في $2\pi r$ ).
القياس بالدرجات والراديان مرتبطان بالمعادلة الآتية:

$360^{\circ} = 2\pi \text{ rad}$ أو $180^{\circ} = \pi \text{ rad}$

الزاوية المستقيمة: قياسها $\pi\ \text{rad}$ .
الزاوية القائمة: قياسها $\frac{\pi}{2}\ \text{rad}$ .
زاوية يقابلها قوس طوله وحدتان: قياسها $2\ \text{rad}$ .

1 \text{ rad} = (\frac{180}{\pi})^{\circ}

1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ rad}

مفهوم أساسي: التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان، والعكس

مثال 2

أحوّل قياس الزاوية المكتوب بالدرجات إلى الراديان، وقياس الزاوية المكتوب بالراديان إلى الدرجات في كلّ ممّا يأتي:

a) $165^{\circ}$

b) $\frac{5\pi}{4}$

c) $-80^{\circ}$

d) $-6$

ولماذا نحفظ بعض الزوايا الخاصة بالدرجات والراديان معًا؟

قياس الزوايا الخاصة بالدرجات والراديان

الزوايا الخاصة: جدول تحويل للحفظ

يُبيّن الشكل المجاور القياسات المتكافئة بالدرجات والراديان للزوايا الخاصة من $0^{\circ}$ إلى $360^{\circ}$ (من $0 \text{ rad}$ إلى $2\pi \text{ rad}$ ).

الزوايا المشتركة

زوايا مختلفة تشترك في ضلع انتهاء واحد

- مثال: الزاويتان A و B في الشكل المجاور هما زاويتان مشتركتان. — - **مثال:** الزاويتان $A$ و $B$ في الشكل المجاور هما زاويتان مشتركتان.

مفهوم أساسي: الزوايا المشتركة

إيجاد زاوية مشتركة: أجمع أو أطرح أحد مضاعفات الزاوية $360^{\circ}$ أو $2\pi$ .

بالدرجات	بالراديان
إذا كانت $\theta$ تُمثّل القياس بالدرجات لزاوية ما، فإنّ جميع الزوايا ذات القياس $360^{\circ} n + \theta$ هي زوايا مشتركة مع $\theta$ ، حيث $n$ عدد صحيح.	إذا كانت $\theta$ تُمثّل القياس بالراديان لزاوية ما، فإنّ جميع الزوايا ذات القياس $2\pi n + \theta$ هي زوايا مشتركة مع $\theta$ ، حيث $n$ عدد صحيح.

مثال 3

أجد زاويتين إحداهما قياسها موجب، والأخرى قياسها سالب، وكلتاهما مشتركة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة ممّا يأتي، ثم أرسمهما:

a) $88^{\circ}$

b) $-920^{\circ}$

c) $\frac{2\pi}{3}$

d) $-\frac{3\pi}{4}$

والآن: ماذا نفعل بالراديان في الدائرة نفسها؟

تطبيقات: طول القوس ومساحة القطاع

طول القوس ومساحة القطاع بالراديان

تعلّمتُ سابقًا أنَّ القوس جزء من الدائرة مُحدَّد بنقطتين عليها، وأنَّ القطاع هو الجزء المحصور بين قوس منها ونصفي القُطرين اللذين يمرّان بطرفي القوس.

الآن: نجد طول القوس ومساحة القطاع عندما يكون قياس الزاوية المركزية بالراديان.

مفهوم أساسي: طول القوس ومساحة القطاع

طول القوس ${s}$ من الدائرة المقابل لزاوية مركزية قياسها $\theta$ بالراديان يساوي ناتج ضرب طول نصف القطر $r$ في $\theta$ .
بالرموز: $ {s} = r\theta$

مثال 4

يُبيّن الشكل المجاور قطاعًا دائريًّا زاويته المركزية $50^{\circ}$ في دائرة طول نصف قُطرها $9\ \text{cm}$ . أجد طول القوس ومساحة القطاع، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة.

والآن: كيف نصف سرعة نقطة تتحرك على الدائرة؟

الحركة الدائرية: السرعة الخطية والزاوية

مفهوم أساسي: السرعة الخطية والسرعة الزاوية

بافتراض سرعة ثابتة لنقطة على محيط دائرة، طول نصف قُطرها $r$ :
السرعة الخطية $v$ : ${s}$ طول القوس في مدّة زمنية مقدارها $t$ .

v = \frac{s}{t}

السرعة الزاوية $\omega$ : $\theta$ زاوية الدوران (بالراديان) في مدّة زمنية مقدارها $t$ .

\omega = \frac{\theta}{t}

مثال 5: من الحياة

منارة: تتوسّط منارة قناة ماء، ويتحرّك ضوؤها حركة دائرية بسرعة ثابتة. إذا أكمل ضوء المنارة دورة كاملة كل 10 ثوانٍ، فأجد السرعة الزاوية لضوئها في الدقيقة.

أتدرب وأحل المسائل

تدرّب: ارسم وحوّل واحسب

$450^{\circ}$

$-900^{\circ}$

$540^{\circ}$

$-700^{\circ}$

$-\frac{\pi}{6}$

$\frac{21\pi}{4}$

$\frac{7\pi}{6}$

$\frac{\pi}{9}$

$-225^{\circ}$

$-135^{\circ}$

$75^{\circ}$

$500^{\circ}$

$-\frac{\pi}{7}$

$\frac{5\pi}{12}$

$1.2$

$50^{\circ}$

$135^{\circ}$

$1290^{\circ}$

$-150^{\circ}$

$\frac{11\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{6}$

أجد طول القوس ومساحة القطاع في كلّ ممّا يأتي، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة:

$15 \text{ cm}, 1.8$

$24 \text{ cm}, 2.7$

$6.5 \text{ cm}, 4$

قطاع دائري مساحته $500 \text{ cm}^2$ ، وطول قوسه $20 \text{ cm}$ ، أجد قياس زاويته بالراديان.

تيار ماء: استعمل العلماء عجلة مجداف لقياس سرعة التيارات المائية بناءً على مُعدّل الدوران. أجد سرعة تيار مائي بالمتر لكل ثانية إذا دارت العجلة 100 دورة في الدقيقة، علمًا بأنَّ طول عجلة المجداف (المسافة من مركز الدائرة إلى طرف المجداف) هو $0.20 \text{ m}$ .

يدوّر طفل حجرًا مربوطًا بطرف حبل طوله $3 \text{ ft}$ بمعدّل 15 دورة في 10 ثوانٍ. أجد السرعة الزاوية والسرعة الخطية للحجر.

قُطر شفرة منشار ماسية دائرية الشكل $7.5\ \text{in}$ ، وهي تدور 2400 دورة في الدقيقة:

أجد السرعة الزاوية لهذه الشفرة بالراديان لكل ثانية.

أجد السرعة الخطية لأسنان المنشار عند ملامستها الرخام المراد قطعه.

مهارات التفكير العليا

تحدّ: برّر وأثبت

تبرير: قطاع دائري طول قوسه بالسنتيمترات يساوي عدديًا مساحته بالأمتار المربعة:

أجد نصف قُطر القطاع الدائري، وأبرّر إجابتي.

أجد قياس زاوية القطاع، وأبرّر إجابتي.

37) تبرير: أجد قياس الزاوية θ في الشكل المجاور، وأبرّر إجابتي. — 37) تبرير: أجد قياس الزاوية $\theta$ في الشكل المجاور، وأبرّر إجابتي.

تحدّ: في الشكل المجاور، ACD زاوية مستقيمة، و ABE قطاع دائري مركزه B، ونصف قُطره r، و CED قطاع دائري مركزه C، و ∠ABE قائمة، و m∠ACE = π/4: 38) أثبت أنَّ طول CD هو √2 r 39) أجد قياس ∠ECD بالراديان. 40) أجد محيط الشكل ومساحته، علمًا بأنَّ r = 10 cm. — تحدّ: في الشكل المجاور، $ACD$ زاوية مستقيمة، و $ABE$ قطاع دائري مركزه $B$ ، ونصف قُطره $r$ ، و $CED$ قطاع دائري مركزه $C$ ، و $\angle ABE$ قائمة، و $m\angle ACE = \frac{\pi}{4}$ : 38) أثبت أنَّ طول $CD$ هو $\sqrt{2} r$ 39) أجد قياس $\angle ECD$ بالراديان. 40) أجد محيط الشكل ومساحته، علمًا بأنَّ $r = 10 \text{ cm}$ .

تعريفات أساسية

التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان، والعكس: لتحويل قياس زاوية من الدرجات إلى الراديان أضرب في $\frac{\pi \text{ rad}}{180^{\circ}}$
لتحويل قياس زاوية من الراديان إلى الدرجات أضرب في $\frac{180^{\circ}}{\pi \text{ rad}}$
الزوايا المشتركة: يُمكن إيجاد زاوية مشتركة في ضلع الانتهاء مع زاوية أخرى عن طريق جمع أو طرح أحد مضاعفات الزاوية $360^{\circ}$ أو $2\pi$ . - بالدرجات: إذا كانت $\theta$ تُمثّل القياس بالدرجات لزاوية ما، فإنّ جميع الزوايا ذات القياس $360^{\circ} n + \theta$ هي زوايا مشتركة مع $\theta$ ، حيث $n$ عدد صحيح. - بالراديان: إذا كانت $\theta$ تُمثّل القياس بالراديان لزاوية ما، فإنّ جميع الزوايا ذات القياس $2\pi n + \theta$ هي زوايا مشتركة مع $\theta$ ، حيث $n$ عدد صحيح.
طول القوس ومساحة القطاع: طول القوس: بالكلمات: طول القوس $s$ من الدائرة المقابل لزاوية مركزية قياسها $\theta$ بالراديان يساوي ناتج ضرب طول نصف القطر $r$ في $\theta$ . بالرموز: $s = r\theta$ - مساحة القطاع: بالكلمات: مساحة القطاع $A$ الذي قياس زاويته المركزية $\theta$ بالراديان في دائرة طول نصف قطرها $r$ تساوي ناتج نصف ضرب مربع طول نصف القطر $r$ في $\theta$ . بالرموز: $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$
الراديان: ويُمكن أيضًا قياسها بوحدة تعتمد على طول قوس الدائرة، وتُسمّى الراديان ⁦(radian)⁩
السرعة الخطية: المسافة المقطوعة مقسومة على المدّة الزمنية المنقضية
السرعة الزاوية: قيمة التغيّر في قياس الزاوية بالراديان مقسومة على الزمن المنقضي

معاينة موضوع «قياس الزاوية بالراديان» من وحدة «الاقترانات المثلثية» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١٧، التعريفات: ٦.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، قياس الزاوية بالراديان (ص ٨–١٨)

شرح الموضوع