التداخل والموجات الموقوفة

• أوظّف مفهوم فرق الطور لوصف الأثر الناتج من تراكب موجتين.
• أعرف الموجات الموقوفة على وتر مشدود.
• أحدّد شروط تكوّن الموجات الموقوفة.
• أحسب تردد النغمات الأساسية والنغمات الأخرى التي يهتز بها وسط ما (وتر مشدود، عمود هواء في أنبوب مفتوح الطرفين، عمود هواء في أنبوب مغلق الطرف الواحد).

الحركة الموجية: كيف تنتقل النبضة عبر النابض؟

تُعدّ الحركة الموجية من الظواهر الطبيعية التي نشاهدها كثيرًا في الحياة.

• توليد الموجات: بتثبيت نابض من أحد طرفيه وتحريك طرفه الآخر إلى الأعلى وإلى الأسفل، كما يبين الشكل (15/أ).
• موجات دورية تتكرر بانتظام تتولّد في النابض إذا كان طرفه متصلًا بمولّد ذبذبات يهتز بانتظام بحركة توافقية بسيطة.

• يهتز الجسيم إلى الأعلى وإلى الأسفل حول موقع اتزانه عند انتقال نبضة موجية من اليمين إلى اليسار، كما يبين الشكل (15/ب).
• اهتزاز الجسيم بحركة توافقية بسيطة لأن مصدر الموجات يهتز بحركة توافقية بسيطة.
• يمكن تمثيل الموجة بيانيًا باقتران الجيب ⁦Sine Wave⁩، وتُسمّى في هذه الحالة موجة جيبية.

• يمكن تمثيل التغير في الإزاحة الرأسية لجسيم من جسيمات الوسط مع الزمن بيانيًا كما يبين الشكل (16).
• يصل الجسيم الواحد إلى أقصى موقع رأسي له عن موقع الاتزان، ثم ينخفض إلى أسفل موقع، ثم يعود إلى موقع اتزانه خلال دورة واحدة.

• توصف الحركة الموجية باستخدام المفاهيم نفسها المستخدمة لوصف الحركة التوافقية البسيطة.

• يتناسب الزمن الدوري للموجة عكسيًا مع تردّدها ⁦(f)⁩ حسب العلاقة:

أوضح المقصود بكل من التردّد والزمن الدوري، ثم أصف العلاقة بينهما.

وكيف تُصنَّف الموجات التي تنتقل عبر نابض؟

الموجات الميكانيكية: ما الفرق بين المستعرضة والطولية؟

• تُصنّف الموجات المنتقلة عبر النابض بأنها موجات ميكانيكية.

• تُقسم الموجات الميكانيكية من حيث طريقة اهتزاز جسيمات الوسط إلى نوعين: الموجات المستعرضة، والموجات الطولية، ألاحظ الشكل (17).

• يُعد الطول الموجي من المفاهيم المهمة المستخدمة لوصف الحركة الموجية، ويُرمز إليه بالرمز ⁦λ⁩.

• سرعة الموجة في الوسط الواحد ثابتة، ويعتمد مقدارها على نوع الوسط وصفاته.
• ترتبط سرعة الموجة ⁦(v)⁩ بكل من التردّد والطول الموجي بالعلاقة الآتية:

يولد مصدر مهتز موجة جيبية تنتقل عبر نابض. عند مضاعفة تردد المصدر، ماذا يحدث لكل من: الطول الموجي للموجة، وسرعة الموجة؟

وماذا يحدث حين تلتقي موجتان في النقطة نفسها؟

تداخل الموجات: ماذا يحدث عند التقاء موجتين؟

• درست في صفوف سابقة ظواهر موجية، مثل: الانكسار، والانعكاس.
• تحدث ظاهرة التداخل عند التقاء موجتين أو أكثر عند النقطة نفسها، وهي ظاهرة تميز الموجات عن الجسيمات المادية.
• تتشكّل موجة محصلة لحظة التقاء الموجتين، وتساوي الإزاحة الكلية عند أي نقطة ناتج جمع الإزاحتين الناتجتين من الموجتين.

• تستعيد كل من الموجتين المتراكبتين شكلها الأصلي الذي كانت عليه بعد التراكب.

• يبين الشكل (19) مثالًا على تداخل نبضتين (موجتين) تنتقلان عبر حبل، وتتحركان نحو بعضهما.

نبضتان موجيتان متساويتان في السعة تنتقلان في نابض، كما هو مُبيّن في الشكل (20). أصف ما يحدث لحظة التقاء النبضتين وبعد التقائهما.

فرق الطور: متى يتقوّى التداخل ومتى ينعدم؟

• تحدّد زاوية الطور ($\varnothing$) موقع الجسم المهتز لحظة بداية الحركة.
• يعتمد نمط التداخل الناتج من تراكب موجتين جيبيتين متساويتين في السعة والتردد والطول الموجي على مقدار الفرق في الطور بينهما.
• يبيّن الشكل (21) نمطي تداخل خاصّين لموجتين جيبيتين وتتحركان بالاتجاه نفسه عبر وتر مشدود.

• الشكل (21/أ): يكون فرق الطور بين الموجتين صفرًا: $\varnothing = 0^{\circ}$.
• تكون سعة الموجة الناتجة من التداخل البناء ضعف سعة أي من الموجتين.
• يُسمّى التداخل في هذه الحالة تداخلًا بناءً تامًا.

• الشكل (21/ب): يساوي فرق الطور بينهما $\pi\ \text{rad}$ أو ($180^{\circ}$).
• تكون الإزاحة المحصلة صفرًا وتلغي الموجتان بعضهما.
• يُسمّى التداخل في هذه الحالة تداخلًا هدامًا تامًا.

موجتان متساويتان في السعة والتردد والطول الموجي، وتتحركان بالاتجاه نفسه عبر نابض. ما الشرط اللازم للحصول على نمط: تداخل بناء تام، تداخل هدام تام؟

وماذا لو تحركت الموجتان باتجاهين متعاكسين؟

الموجة الموقوفة: لماذا تبدو ثابتة؟

• نتساءل عن حالة تحرك الموجتين باتجاهين متعاكسين، ويمكننا إيجاد المحصلة بتطبيق مبدأ التراكب.
• يبين الشكل (22/أ) خمسة مشاهد متتالية لموجتين جيبيتين؛ الأولى تنتقل عبر وتر مشدود من اليمين إلى اليسار،
• والثانية تنتقل عبر الوتر نفسه من اليسار إلى اليمين.

• يبين الشكل (22/ب) المحصلة الناتجة من تراكب الموجتين.

• يُسمّى نمط التداخل في هذه الحالة الموجة الموقوفة؛ لأن الموجة الناتجة تبدو كأنها ثابتة على الوتر، ومواقع البطون والعقد لا تتغير أيضًا.

• تُعد هذه الظاهرة حدثًا يقع في الموجات المستعرضة والموجات الطولية.
• الموجات المستعرضة الموقوفة مثالها موجات الوتر، والموجات الطولية الموقوفة مثالها موجات الأعمدة الهوائية.

الوتر المشدود: أيّ التردّدات تصنع موجة موقوفة؟

• يُثبَّت وتر من طرفيه، وتتولد موجة جيبية عند أحد طرفيه تتحرك نحو اليمين.
• تنعكس الموجة عند وصولها إلى الطرف الآخر لتتحرك نحو اليسار، فيحدث تداخل بين الموجات الساقطة والمنعكسة.
• عند ترددات محددة يمكن الحصول على أنماط موجات موقوفة تتكون من عقد وبطون متتالية كما في الشكل (23).

• الشرط الأول: يجب أن يكون طرفا الوتر عقدتين.
• الشرط الثاني: يكافئ البعد بين كل عقدتين متتاليتين نصف الطول الموجي.
• تحقق الترددات المناسبة للحصول على موجات موقوفة هذين الشرطين.

• النمط الأول: يتكون من بطن وعقدتين، ويحدث عندما يكون طول الوتر مساويًا لنصف الطول الموجي.
• النمط الثاني: يتكون من بطنين وثلاث عقد، ويساوي الطول الموجي فيه طول الوتر.
• الأنماط الأخرى تتوالى وفق هذا النمط.

• وبما أن طول الوتر ⁦(L)⁩ في هذه الحالة يكون مساويًا لنصف الطول الموجي ($\lambda_1$)، فإن:

• وباستخدام العلاقة ($v = \lambda f$)؛ حيث ⁦(v)⁩ سرعة الموجات، فإن تردد التوافق الأول يعطى بالعلاقة:

• يمكن حساب تردد التوافق ذي الرقم ⁦(n)⁩ باستخدام العلاقة:

أصف النمط الأول، وأحدّد عدد العقد والبطون فيها، ثم أقارن بين طول الخيط وطول الموجة المتكوّنة.

أصف النمطين الثاني والثالث بالطريقة نفسها التي وصفت بها النمط الأول.

أستنتج علاقة بين طول الخيط وعدد العقد والطول الموجي للنمط الأول، ثم للأنماط المتكوّنة جميعها.

أتوقع أثر زيادة الكتلة المعلّقة في القياسات السابقة.

الأعمدة الهوائية: كيف يغيّر عازف البوق النغمة؟

• يُحدث عازف البوق اهتزازات عند طرف البوق، تنتقل خلال عمود الهواء إلى داخل البوق على شكل موجات صوتية.
• تنعكس هذه الموجات عن الطرف الثاني للبوق، سواء أكان مغلقًا أم مفتوحًا، فيحدث تداخل بين الموجات الصادرة والمنعكسة.
• تنشأ موجات طولية موقوفة في عمود الهواء، كتلك المستعرضة التي تحدث في وتر مشدود.
• يُغيّر العازف التردد بتغيير طول عمود الهواء، عندما يفتح الصمام بضغط الأصبع؛ فتتغيّر النغمة.

الأنبوب المفتوح: بطن عند كل طرف

• تتكوّن الموجات الموقوفة في الأعمدة الهوائية المفتوحة على أن تكون سعة الاهتزاز عظمى عند نهايتي الأنبوب.
• تظهر الموجات الموقوفة في الشكل (27) على هيئة بطون.
• تنشأ الموجات الموقوفة بترددات مختلفة بما يُحقّق مجموعة من التوافقات، كما في حالة الوتر تمامًا.
• يُحسب الطول الموجي للتوافق ⁦(n)⁩ في عمود الهواء المفتوح النهاية وفقًا للعلاقة المستخدمة في الموجات المستعرضة:

• يساوي التردد للتوافق رقم ⁦(n)⁩:

• يُمثّل ($f_1 = \frac{v}{2L}$) تردد التوافق الأول.

الأنبوب المغلق: عقدة عند الطرف المغلق

• تتكوّن الموجات الموقوفة في الأعمدة الهوائية المغلقة على أن تكون سعة الاهتزاز صفرًا عند النهاية المغلقة للأنبوب، وتظهر في الشكل (28) على هيئة عُقد.
• تتكوّن التوافقات الفردية فقط، وذلك كي يتحقق تكوّن العقد عند النهاية المغلقة للأنبوب.
• يُحسب الطول الموجي للتوافق ⁦(n)⁩، حيث ⁦(n)⁩ عدد صحيح فردي، وفقًا للعلاقة:

• وكذلك التردد للتوافق رقم ⁦(n)⁩ يساوي:

تنبيه: يسمّي الشكل النمط ذا الترقيم ثلاثة «التوافق الثاني»، ويسمّيه الملحق «الثالث».

ما الفرق بين التوافقات الناتجة في عمود الهواء المغلق وعمود الهواء المفتوح.

مراجعة الدرس: اختبر ما فهمته

أوضّح المقصود بالموجات الموقوفة، ثم أذكر شروط تكوّنها في وتر مشدود.

أقارن بين أنماط التوافقات المختلفة للموجات الموقوفة التي تنشأ في الأعمدة الهوائية المفتوحة، وتلك التي تنشأ في الأعمدة الهوائية المغلقة.

أستنتج: ما أهمّيّة تغيير طول الوتر عند العزف على آلة موسيقية وترية مثل العود؟

أستنتج: يهتزّ وتر مشدود محدثًا موجات موقوفة فيه، مشكّلة (3) عقد وبطنين. أُعبّر عن الطول الموجي والتردّد بدلالة كلّ من طول الوتر وسرعة الموجة.