شرح تكامل اقترانات خاصة – رياضيات توجيهي جيل 2009

آخر تحديث: ٢ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (٢٠)

شرح الموضوع

💡 فكرة الدرس: إيجاد تكاملات تتضمّن اقترانات أُسّية، ومثلثية، ولوغاريتمية طبيعية.

تكامل اقترانات خاصة

إيجاد تكاملات تتضمّن اقترانات أُسّية، ومثلثية، ولوغاريتمية طبيعية.

الاقتران الأُسّي: كيف نعكس مشتقته؟

مثال

مسألة اليوم: يُمثّل الاقتران $P(t)$ عدد الخلايا البكتيرية بعد ⁦t⁩ يومًا من بَدْء دراستها في مجتمع بكتيري. إذا كان عدد هذه الخلايا عند بَدْء الدراسة هو 200000 خلية، فأجد عددها في المجتمع البكتيري بعد 12 يومًا من بَدْء الدراسة، علمًا بأنّها تتغيّر بمُعدّل: $P'(t) = 200e^{0.1t} + 150e^{-0.03t}$ $P(t) = \int \left(200e^{0.1t} + 150e^{-0.03t}\right)dt$ $= \frac{200}{0.1}e^{0.1t} + \frac{150}{-0.03}e^{-0.03t} + C$ $= 2000e^{0.1t} - 5000e^{-0.03t} + C$ $P(0) = 2000 - 5000 + C = 200000$ $C = 203000$ $P(t) = 2000e^{0.1t} - 5000e^{-0.03t} + 203000$ $P(12) = 2000e^{1.2} - 5000e^{-0.36} + 203000$ $\approx 206152$ عدد الخلايا بعد 12 يومًا: $206152\ \text{خلية تقريبًا}$

تكامل الاقترانات الأُسّية

\int f(x)dx = F(x) + C

\int_{a}^{b} f(x)dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

حدود التكامل من ⁦a⁩ إلى ⁦b⁩.
أستعمل هذا الرمز بعد الانتهاء من عملية التكامل.
قيمة الاقتران الأصلي:
عند الحدّ العلوي.
عند الحدّ السفلي.
التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان؛ لذا نجد صيغًا مباشرة لتكامل اقترانات ناتجة من اشتقاق اقترانات مشهورة، مثل الاقترانات الأُسّية.

مفهوم أساسي


---
$\int e^x dx = e^x + C$
$\int k^x dx = \frac{k^x}{\ln k} + C$
$\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$
$\int k^{ax+b} dx = \frac{k^{ax+b}}{a \ln k} + C$

مثال 1

ملاحظة

أتذكّر $\int kf(x)dx = k \int f(x)dx$ حيث ⁦k⁩ ثابت. $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, n \neq -1$ إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين مُتّصلين على الفترة ⁦[a, b]⁩، فإنّ $\int_{a}^{b} (f(x) \pm g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx$ . تنطبق هذه القاعدة أيضًا على التكاملات غير المحدودة. يحتوي ناتج التكامل غير المحدود على الثابت $C$ ؛ لأنَّ مشتقة الثابت صفر. أمّا التكامل المحدود فلا يحتوي على الثابت $C$ ؛ لأنَّه يُحذَف عند تعويض الحدِّ العلوي والحدِّ السفلي.

مثال

المثال 1: أجد كُلًا من التكاملات الآتية: 1. $\int 2e^{4x+3} dx$ 2. $\int_{0}^{2} (6e^{-3x} + x^3) dx$ 3. $\int \sqrt{e^{x+1}} dx$ 4. $\int (5^x + 7) dx$ 1. $\int 2e^{4x+3} dx = 2 \times \frac{1}{4} e^{4x+3} + C$ تكامل الاقتران الأُسّي الطبيعي المضروب في ثابت $= \frac{1}{2} e^{4x+3} + C$ بالتبسيط 2. $\int_{0}^{2} (6e^{-3x} + x^3) dx$ $= (\frac{6}{-3} e^{-3x} + \frac{1}{4} x^4) \Big|_{0}^{2}$ تكامل الاقتران الأُسّي الطبيعي المضروب في ثابت، وتكامل اقتران القوّة $= (\frac{6}{-3} e^{-3(2)} + \frac{1}{4} (2)^4) - (\frac{6}{-3} e^{-3(0)} + \frac{1}{4} (0)^4)$ بالتعويض بتبسيط كل قوس: $= (-2e^{-6} + 4) - (-2 + 0)$ $= -2e^{-6} + 6$ بالتبسيط 3. $\int \sqrt{e^{x+1}} dx = \int (e^{x+1})^{1/2} dx$ بكتابة المُكامل في صورة أُسّية $= \int e^{(x+1)/2} dx$ باستعمال قوانين الأُسس بتطبيق القاعدة: $= \frac{1}{\frac{1}{2}} e^{(x+1)/2} + C$ $= 2e^{(x+1)/2} + C$ تكامل الاقتران الأُسّي الطبيعي 4. $\int (5^x + 7) dx = \frac{5^x}{\ln 5} + 7x + C$ تكامل الاقتران الأُسّي، وتكامل الثابت

أجد كُلًا من التكاملات الآتية:

a. $\int (5x^2 - 3e^{7x}) dx$

b. $\int_{0}^{\ln 3} 8e^{4x} dx$

c. $\int \sqrt{e^{1-x}} dx$

d. $\int (3^x + 2\sqrt{x}) dx$

ارجع إلى مسألة اليوم وجرّب حلّها بقاعدة الاقتران الأُسّي.

تكامل الاقترانات المثلثية

المثلثية: كيف نعكس مشتقاتها الست؟

تعلّمتُ سابقًا إيجاد مشتقات الاقترانات الست.
ومن ثمّ يُمكن إيجاد تكاملات الاقترانات المثلثية الناتجة من مشتقاتها بصورة مباشرة.

مفهوم أساسي: صيغ تكاملات مثلثية (1)


---
$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$
$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
$\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

علمًا بأنّه يُمكن إيجاد بقية صيغ تكاملات الاقترانات المثلثية بالطريقة نفسها.
الزوايا في صورة $ax + b$ ، حيث $a \neq 0$ : يُمكن إيجاد تكاملاتها على النحو الآتي.

مفهوم أساسي: صيغ تكاملات اقترانات مثلثية (2)


---
$\int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cos (ax + b) + C$
$\int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax + b) + C$
$\int \sec^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + C$
$\int \csc^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + C$
$\int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + C$
$\int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \csc (ax + b) + C$

مثال 2

مثال

المثال 2: أجد كُلًا من التكاملات الآتية: 1. $\int 2 \sin(4x + 3) dx$ 2. $\int (3 \cos x + \sqrt[3]{x}) dx$ 3. $\int_{0}^{\pi/12} \sec^2 3x dx$ 1. $\int 2 \sin(4x + 3) dx$ $= -2 \times \frac{1}{4} \cos(4x + 3) + C$ تكامل $\sin(ax+b)$ المضروب في ثابت $= -\frac{1}{2} \cos(4x + 3) + C$ بالتبسيط 2. $\int (3 \cos x + \sqrt[3]{x}) dx$ $= \int (3 \cos x + x^{1/3}) dx$ بكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة أُسّية تكامل $x^{1/3}$ : $\int x^{1/3} dx = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}$ $= 3 \sin x + \frac{3}{4} x^{4/3} + C$ تكامل $\cos x$ المضروب في ثابت، وتكامل اقتران القوّة $= 3 \sin x + \frac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} + C$ بتحويل القوّة النسبية إلى جذر 3. $\int_{0}^{\pi/12} \sec^2 3x dx = (\frac{1}{3} \tan 3x) \Big|_{0}^{\pi/12}$ تكامل $\sec^2(ax+b)$ $= (\frac{1}{3} \tan 3(\frac{\pi}{12})) - (\frac{1}{3} \tan 3(0))$ بالتعويض بقيم الظلّ: $= \frac{1}{3}\tan\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}\tan 0$ $= \frac{1}{3}(1) - 0$ $= \frac{1}{3}$ بالتبسيط

a. $\int \cos(3x - \pi) dx$

b. $\int (\csc^2 (5x) + e^{2x}) dx$

c. $\int_{0}^{\pi/3} (\sin 2x - \cos 4x) dx$

وماذا لو كان الاقتران المثلثي مرفوعًا إلى أُسّ أو في حاصل ضرب؟

المتطابقات المثلثية والتكامل

المتطابقات: كيف نُبسّط المُكامل قبل أن نكامله؟

المتطابقات المثلثية تُعيد كتابة المقادير المثلثية بصورة مكافئة.
وهذا يساعد على إيجاد تكاملات اقترانات مثلثية لا يُمكن إيجادها مباشرة.
مثل:
اقترانات الجيب، وجيب التمام، والظلّ، وظلّ التمام المرفوعة إلى أُسّ.
حاصل ضرب اقتراني جيب، أو اقتراني جيب تمام، أو جيب مضروب في جيب تمام.

مثال 3

مثال

المثال 3: أجد كُلًا من التكاملات الآتية: 1. $\int \tan^2 2x dx$ 2. $\int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx$ 3. $\int \sin 4x \cos 5x dx$ 4. $\int \frac{dx}{1 - \cos x}$ 1. $\int \tan^2 2x dx = \int (\sec^2 2x - 1) dx$ متطابقات فيثاغورس $= \frac{1}{2} \tan 2x - x + C$ تكامل $\sec^2(ax+b)$ ، وتكامل الثابت 2. $\int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} (1 - \cos 2x) dx$ متطابقات تقليص القوّة $= \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin 2x) \Big|_{0}^{\pi}$ تكامل $\cos(ax+b)$ ، وتكامل الثابت $= (\frac{1}{2} (\pi - \frac{1}{2} \sin 2(\pi))) - (\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{2} \sin 2(0)))$ بالتعويض بقيم الجيب: $= \frac{1}{2}(\pi - 0) - \frac{1}{2}(0 - 0)$ $= \frac{1}{2} \pi$ بالتبسيط 3. $\int \sin 4x \cos 5x dx$ $= \int \frac{1}{2} (\sin(4x-5x) + \sin(4x+5x)) dx$ متطابقات تحويل الضرب إلى جمع بالزاوية السالبة: $\sin(4x - 5x) = \sin(-x) = -\sin x$ $= \int \frac{1}{2} (-\sin (x) + \sin (9x)) dx$ بالتبسيط $= \frac{1}{2} (\cos (x) - \frac{1}{9} \cos (9x)) + C$ تكامل $\sin(ax+b)$ المضروب في ثابت 4. $\int \frac{dx}{1 - \cos x}$ $= \int (\frac{1}{1 - \cos x} \times \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}) dx$ بضرب البسط والمقام في مُرافق $1 - \cos x$ ، وهو $1 + \cos x$ $= \int \frac{1 + \cos x}{1 - \cos^2 x} dx$ بالتبسيط $= \int \frac{1 + \cos x}{\sin^2 x} dx$ متطابقات فيثاغورس $= \int (\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x}) dx$ بتوزيع المقام على البسط $= \int (\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin x} \times \frac{\cos x}{\sin x}) dx$ بتوزيع المقام على البسط $= \int (\csc^2 x + \csc x \cot x) dx$ متطابقة المقلوب، والمتطابقات النسبية $= - x - x + C$ تكامل $2 x$ ، وتكامل $x x$

المتطابقات وحدها لا تكفي لإيجاد تكامل اقتران مثلثي مرفوع إلى أُسّ فردي؛ نحتاج إلى طرائق أخرى سأتعلّمها في الدرس التالي.

a. $4 x dx$

b. $0π/6 3x x dx$

c. $(dx)/(1 + x)$

وماذا عن الكسور التي بسطها مشتقة مقامها؟

تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

اللوغاريتم الطبيعي: متى يكون ناتج التكامل لوغاريتمًا؟

تعلّمتُ سابقًا أنّ: $(d)/(dx) ( x) = (1)/(x)$ ، وهذا يعني أنّ $(1)/(x) dx = x + C$ .

القاعدة تشمل اقترانات أوسع، مثل $(1)/(ax+b)$ أو $k (f'(x))/(f(x))$ .
الاقتران الذي البسط فيه أحد مضاعفات مشتقة المقام يُكتب في صورة $k (f'(x))/(f(x))$ .
السبب: بملاحظة أنّ:

(d)/(dx) ( |f(x)|) = (f'(x))/(f(x))

مفهوم أساسي: تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي


---
$(1)/(x) dx = \\|x\\| + C, x 0$
$(1)/(ax+b) dx = (1)/(a) \\|ax+b\\| + C, x -(b)/(a)$
$(f'(x))/(f(x)) dx = \\|f(x)\\| + C, f(x) 0$

مثال 4

مثال

المثال 4: أجد كُلًا من التكاملات الآتية: 1. $(2ex + (3)/(x)) dx$ 2. $(1)/(4x-1) dx$ 3. $(2x5 - 4)/(x) dx$ 4. $(2x)/(x2 - 1) dx$ 5. $(6x)/(x2 + 9) dx$ 6. $( x)/(3 + 2 x) dx$ 7. $x dx$ 8. $x dx$ 1. $(2ex + (3)/(x)) dx = 2ex + 3 |x| + C$ تكامل $ex$ المضروب في ثابت، وتكامل $(1)/(x)$ المضروب في ثابت 2. $(1)/(4x-1) dx = (1)/(4) |4x-1| + C$ تكامل $(1)/(ax+b)$ 3. $(2x5 - 4)/(x) dx = ((2x5)/(x) - (4)/(x)) dx$ بقسمة كل حدّ في البسط على المقام $= (2x4 - (4)/(x)) dx$ بالتبسيط $= (2)/(5) x5 - 4 |x| + C$ تكامل اقتران القوّة المضروب في ثابت، وتكامل $(1)/(x)$ المضروب في ثابت 4. ألاحظ أنّ البسط $(2x)$ هو مشتقة المقام: $(d)/(dx) (x2 - 1) = 2x$ . $(2x)/(x2 - 1) dx = |x2 - 1| + C$ تكامل $(f'(x))/(f(x))$ 5. بما أنّ البسط $(6x)$ هو أحد مضاعفات مشتقة المقام: $((d)/(dx) (x2 + 9) = 2x)$ ، فإنّني أُعيد كتابة $(6x)/(x2 + 9)$ في صورة: $k (f'(x))/(f(x))$ . $(6x)/(x2 + 9) dx = 3 (2x)/(x2 + 9) dx$ بإعادة كتابة الاقتران في صورة $k (f'(x))/(f(x))$ $= 3 |x2 + 9| + C$ تكامل $(f'(x))/(f(x))$ $= 3 (x2 + 9) + C$ بما أنّ $|x2 + 9| = x2 + 9$ 6. مشتقة المقام: $(d)/(dx)(3 + 2 x) = 2 x$ $( x)/(3 + 2 x) dx$ $= (1)/(2) (2 \times x)/(3 + 2 x) dx$ بالضرب في 2، والقسمة على 2 $= (1)/(2) (2 x)/(3 + 2 x) dx$ بالتبسيط $= (1)/(2) |3 + 2 x| + C$ تكامل $(f'(x))/(f(x))$ $= (1)/(2) (3 + 2 x) + C$ بما أنّ $|3 + 2 x| = 3 + 2 x$ 7. $x dx = ( x)/( x) dx$ المتطابقات النسبية $= (1)/(-1) (-1 \times x)/( x) dx$ بالضرب في -1، والقسمة على -1 $= - | x| + C$ تكامل $(f'(x))/(f(x))$ 8. $x dx$ $= x \times ( x + x)/( x + x) dx$ بالضرب في $( x + x)/( x + x)$ $= (2 x + x x)/( x + x) dx$ باستعمال خاصية التوزيع مشتقة المقام: $(d)/(dx)( x + x) = x x + 2 x$ $= | x + x| + C$ تكامل $(f'(x))/(f(x))$

أفكّر: ما مُسوّغ عملية الضرب في 2، وعملية القسمة على 2؟

أفكّر في الفرع 8: هل يُمكن كتابة هذه النتيجة في صورة أخرى؟

a. $( x - (5)/(x)) dx$

b. $(5)/(3x + 2) dx$

c. $(x2 - 7x + 2)/(x2) dx$

d. $(2x + 3)/(x2 + 3x) dx$

e. $( 2x)/(1 + 2x) dx$

f. $x dx$

g. $(ex)/(ex + 7) dx$

h. $x dx$

وماذا لو كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها؟

الاقتران النسبي: متى نقسم قبل أن نكامل؟

نُعيد كتابة المُكامل باستعمال القسمة إذا كانت درجة البسط أعلى من (أو تساوي) درجة المقام.
الصورة الجديدة قد ينتج منها تكامل ينتج منه اقتران لوغاريتمي طبيعي.

مثال 5

مثال

المثال 5: أجد: $(x3 + x)/(x - 1) dx$ بما أنّ المُكامل اقتران نسبي، درجة البسط فيه أعلى من درجة المقام، فإنّني سأعيد كتابته بصورة أُخرى باستعمال القسمة. الخطوة 1: أقسم البسط على المقام.

	$x2$	$x$	2
$x$	$x3$	$x2$	$2x$	2
-1	$-x2$	$-x$	-2

الخطوة 2: أُعيد كتابة المُكامل باستعمال نتيجة القسمة. $(x3 + x)/(x - 1) dx$ $= (x2 + x + 2 + (2)/(x - 1)) dx$ $(f(x))/(g(x)) = q(x) + (r(x))/(g(x))$ $= (x3)/(3) + (x2)/(2) + 2x + 2 |x - 1| + C$ تكامل اقتران القوّة، وتكامل $(1)/(ax+b)$ المضروب في ثابت

أجد: $(x2 + x + 1)/(x + 1) dx$

وكيف نجد الاقتران نفسه إذا عرفنا معدّل تغيّره وقيمة واحدة له؟

تطبيقات التكامل: الشرط الأوّلي

الشرط الأوّلي: كيف نعيّن ثابت التكامل؟

الشرط الأوّلي هو نقطة تُحقّق الاقتران الأصلي.
بتعويضها نجد قيمة ثابت التكامل $C$ ، والاقتران الأصلي الوحيد الذي يُحقّق شرط المسألة.
يُستعمل الشرط الأوّلي كثيرًا لتحديد اقترانات تُنمذج مواقف علمية وحياتية.

مثال 6: من الحياة

مثال

المثال 6: تلوّث: يُعالج التلوّث في بحيرة باستعمال مضاد للبكتيريا. إذا كان عدد الخلايا البكتيرية الضارّة في البحيرة يتغيّر بمُعدّل: $N'(t) = -(2000t)/(1 + t2)$ ، حيث $N(t)$ عدد الخلايا البكتيرية لكل مليلتر من الماء بعد ⁦t⁩ يومًا من استعمال المضاد، فأجد $N(t)$ ، علمًا بأنّ العدد الابتدائي للخلايا هو 5000 خلية لكل مليلتر. الخطوة 1: أجد تكامل الاقتران $N'(t)$ . بتكامل المعدّل: $N(t) = N'(t) dt$ بالتعويض: $N(t) = -(2000t)/(1 + t2) dt$ $= -1000 (2t)/(1 + t2) dt$ بالضرب في 2، والقسمة على 2 $= -1000 |1 + t2| + C$ تكامل $(f'(x))/(f(x))$ $= -1000 (1 + t2) + C$ بما أنّ $|1 + t2| = 1 + t2$ الخطوة 2: أجد ثابت التكامل $C$ . $N(t) = -1000 (1 + t2) + C$ قاعدة الاقتران $5000 = -1000 (1 + (0)2) + C$ بتعويض $t = 0, N(0) = 5000$ قيمة اللوغاريتم: $5000 = -1000(0) + C$ $5000 = C$ بالتبسيط إذن، اقتران عدد الخلايا البكتيرية لكل مليلتر من الماء بعد ⁦t⁩ يومًا من استعمال المضاد هو: $N(t) = -1000 (1 + t2) + 5000$

تلوّث: تسرّب نفط من ناقلة بحرية، مُكوّنًا بقعة دائرية الشكل على سطح الماء، نصف قُطرها $R(t)$ قدمًا بعد ⁦t⁩ دقيقة من بَدْء التسرّب.

إذا كان نصف قُطر الدائرة يزداد بمُعدّل: $R'(t) = (21)/(0.07t + 5)$ ، فأجد $R(t)$ ، علمًا بأنّ $R(0) = 0$ .

تطبيقات التكامل: الحركة في مسار مستقيم

من التطبيقات المُهمّة على الشرط الأوّلي: إيجاد موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم إذا عُلم اقتران السرعة وعُلم شرط أوّلي عن موقع الجسم.
التغيّر في موقع الجسم يُسمّى الإزاحة ⁦(displacement)⁩.

مفهوم أساسي: الإزاحة

لإيجاد المسافة الكلية نحدّد الفترات الزمنية الجزئية التي تكون عندها:
$v(t) \leq 0$ (يتحرّك الجسم إلى الجهة السالبة).
$v(t) \geq 0$ (يتحرّك الجسم إلى الجهة الموجبة).
في كلتا الحالتين تُحسب المسافة الكلية بإيجاد تكامل السرعة القياسية $|v(t)|$ .

مفهوم أساسي: المسافة الكلية المقطوعة

مثال 7

الحركة في مسار مستقيم: الموقع والإزاحة والمسافة

اقتران الموقع هو اقتران أصلي لاقتران السرعة، واقتران السرعة هو اقتران أصلي لاقتران التسارع.
يُستعمَل التكامل المحدود لإيجاد إزاحة جسم، عُلِمت سرعته، على النحو الآتي:

مثال

المثال 7: يتحرّك جُسَيْم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته بالاقتران: $v(t) = t$ حيث ⁦t⁩ الزمن بالثواني، و ⁦v⁩ سرعته بالمتر لكل ثانية: 1. إذا بدأ الجُسَيْم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقع الجُسَيْم بعد $(π)/(3)$ ثانية من بَدْء الحركة. 2. أجد إزاحة الجُسَيْم في الفترة $[0, 3π]$ . 3. أجد المسافة الكلية التي قطعها الجُسَيْم في الفترة $[0, 3π]$ . 1. بما أنّ اقتران الموقع هو اقتران أصلي لاقتران السرعة، فإنّه يُمكن إيجاد موقع الجُسَيْم بعد ⁦t⁩ ثانية عن طريق التكامل. الخطوة 1: أجد اقتران الموقع. بتكامل السرعة: $s(t) = v(t) dt$ بتعويض السرعة: $= t dt$ $= - t + C_1$ تكامل $t$ الخطوة 2: أجد قيمة ثابت التكامل $C_1$ . بما أنّ الموقع الابتدائي للجُسَيْم هو نقطة الأصل، فإنّ $s(0) = 0$ ، وهذا يُعدّ شرطًا أوّليًا لإيجاد قيمة ثابت التكامل $C_1$ : اقتران الموقع: $s(t) = - t + C_1$ بتعويض الشرط الأوّلي: $0 = - (0) + C_1$ بحلّ المعادلة: $C_1 = 1$ إذن، اقتران الموقع بعد ⁦t⁩ ثانية من بَدْء الحركة هو: $s(t) = - t + 1$ . الخطوة 3: أجد موقع الجُسَيْم بعد $(π)/(3)$ ثانية من بَدْء الحركة. $s(t) = - t + 1$ $s((π)/(3)) = - ((π)/(3)) + 1$ بقيمة جيب التمام: $= -(1)/(2) + 1$ $= (1)/(2)$ إذن، موقع الجُسَيْم بعد $(π)/(3)$ ثانية من بَدْء الحركة هو $(1)/(2) m$ . 2. صيغة الإزاحة: $s(t_2) - s(t_1) = _1t_2 v(t) dt$ بالتعويض: $s(3π) - s(0) = 03π t dt$ $= - t |03π$ تكامل $t$ $= -( (3π) - (0))$ بالقيم: $= -(-1 - 1) = 2$ إذن، إزاحة الجُسَيْم هي $2 m$ . 3. الخطوة 1: أدرس إشارة السرعة. أجد أصفار اقتران السرعة بمساواة هذا الاقتران بالصفر: اقتران السرعة: $v(t) = t$ بمساواته بالصفر: $t = 0$ بحلّ المعادلة في الفترة: $t = 0, π, 2π, 3π$ أدرس إشارة اقتران السرعة حول أصفاره في الفترة المعطاة.

t	0		$π$		$2π$		$3π$
إشارة ⁦v(t)⁩		+++++		-----		+++++

الخطوة 2: أكامل اقتران السرعة القياسية على الفترة $[0, 3π]$ . بتكامل السرعة القياسية: $d = 03π |v(t)| dt$ $= 0π v(t) dt + π2π (-v(t)) dt$ $+ 2π3π v(t) dt$ بالتعويض: $= 0π t dt + π2π (- t) dt$ $+ 2π3π t dt$ $= (- t) |0π + t |π2π + (- t) |2π3π$ تكامل $t$ بالجمع: $= 2 + 2 + 2 = 6$ إذن، المسافة الكلية التي قطعها الجُسَيْم في الفترة $[0, 3π]$ هي $6 m$ .

يتحرّك جُسَيْم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته بالاقتران: $v(t) = 3 t$ ، حيث ⁦t⁩ الزمن بالثواني، و ⁦v⁩ سرعته بالمتر لكل ثانية:

a. إذا بدأ الجُسَيْم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقع الجُسَيْم بعد $(π)/(6)$ ثانية من بَدْء الحركة.

b. أجد إزاحة الجُسَيْم في الفترة $[0, 2π]$ .

c. أجد المسافة الكلية التي قطعها الجُسَيْم في الفترة $[0, 2π]$ .

تعريفات أساسية

التكامل غير المحدود: التكامل هو عملية عكسية للاشتقاق، وأنّ $\int f(x)dx$ يُسمّى التكامل غير المحدود للاقتران
التكامل المحدود: أمّا $\int_{a}^{b} f(x)dx$ فيُسمّى التكامل المحدود للاقتران $f(x)$ ، حيث ⁦a⁩ الحدّ السفلي للتكامل، و ⁦b⁩ الحدّ العلوي للتكامل.
الاقتران الأصلي: إذا كان $F(x)$ اقترانًا أصليًا للاقتران $f(x)$ ؛ أي أنّ $F'(x) = f(x)$
تكامل الاقترانات الأسية: إذا كانت ⁦k, b, a⁩ أعدادًا حقيقية، و $a \neq 0$ ، و $k > 0$ و $k \neq 1$ ، و ⁦e⁩ العدد النيبيري، فإنّ: $\int e^x dx = e^x + C$ $\int k^x dx = \frac{k^x}{\ln k} + C$ $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$ $\int k^{ax+b} dx = \frac{k^{ax+b}}{a \ln k} + C$
صيغ تكاملات اقترانات مثلثية: إذا كان ⁦a, b⁩ عددين حقيقيين، و $a \neq 0$ ، فإنّ: $\int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cos (ax + b) + C$ $\int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax + b) + C$ $\int \sec^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + C$ $\int \csc^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + C$ $\int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + C$ $\int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \csc (ax + b) + C$
تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي: إذا كان ⁦a, b⁩ عددين حقيقيين، و $a \neq 0$ ، وكان $f(x)$ اقترانًا قابلاً للاشتقاق، فإنّ: $(1)/(x) dx = |x| + C, x 0$ $(1)/(ax+b) dx = (1)/(a) |ax+b| + C, x -(b)/(a)$ $(f'(x))/(f(x)) dx = |f(x)| + C, f(x) 0$
الاقترانات النسبية: الاقترانات النسبية هي اقترانات يُمكن كتابتها في صورة نسبة بين كثيري حدود: $(f(x))/(g(x))$ ، حيث $g(x) 0$ .
الإزاحة: إذا تحرّك جسم في مسار مستقيم وَفق اقتران الموقع $s(t)$ ، فإنّ سرعته هي: $v(t) = s'(t)$ ، وإزاحته في الفترة الزمنية $[t_1, t_2]$ هي: $s(t_2) - s(t_1) = _1t_2 v(t) dt$
المسافة الكلية المقطوعة: إذا تحرّك جسم في مسار مستقيم وَفق اقتران الموقع $s(t)$ ، فإنّ سرعته هي: $v(t) = s'(t)$ ، والمسافة الكلية ⁦(d)⁩ التي قطعها في الفترة الزمنية $[t_1, t_2]$ هي: $d = _1t_2 |v(t)| dt$
المسافة: المسافة هي طول المسار الذي يقطعه الجسم بصرف النظر عن الاتجاه، وقيمتها أكبر (أو تساوي) الصفر. أمّا الإزاحة فهي التغيّر في الموقع.
اقتران الموقع: اقتران الموقع هو اقتران أصلي لاقتران السرعة، واقتران السرعة هو اقتران أصلي لاقتران التسارع.

معاينة موضوع «تكامل اقترانات خاصة» من وحدة «التكامل» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ٢٠، التعريفات: ١١.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، تكامل اقترانات خاصة (ص ٨–٢٥)

شرح الموضوع

تكامل اقترانات خاصة

الاقتران الأُسّي: كيف نعكس مشتقته؟

تكامل الاقترانات الأُسّية

مفهوم أساسي

مثال 1

تكامل الاقترانات المثلثية

المثلثية: كيف نعكس مشتقاتها الست؟

مفهوم أساسي: صيغ تكاملات مثلثية (1)

مفهوم أساسي: صيغ تكاملات اقترانات مثلثية (2)

مثال 2

المتطابقات المثلثية والتكامل

المتطابقات: كيف نُبسّط المُكامل قبل أن نكامله؟

مثال 3

تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

اللوغاريتم الطبيعي: متى يكون ناتج التكامل لوغاريتمًا؟

مفهوم أساسي: تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

مثال 4

الاقتران النسبي: متى نقسم قبل أن نكامل؟

مثال 5

تطبيقات التكامل: الشرط الأوّلي

الشرط الأوّلي: كيف نعيّن ثابت التكامل؟

مثال 6: من الحياة

تطبيقات التكامل: الحركة في مسار مستقيم

مفهوم أساسي: الإزاحة

مفهوم أساسي: المسافة الكلية المقطوعة

مثال 7

الحركة في مسار مستقيم: الموقع والإزاحة والمسافة

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة