الهندسة الفراغية

ضمن الأنشطة اللاصفية قام معلم مدرسة الأقصى باصطحاب الطلبة لزيارة بناء قيد الإنشاء، لاحظ الطلاب أن عاملاً قد كون زاوية قائمة باستخدام الخيوط فسأل الطالب العامل: كيف تتأكد أن هذه الزاوية قائمة فأجابه العامل بأنه يكوّن مثلثا أطوال أضلاعه ٦٠ سم، ٨٠ سم، ١٠٠ سم، ويكون هذا المثلث قائم الزاوية. فسأل المعلم الطلبة بماذا تذكركم هذه الأعداد هندسيا؟ ____ وهل يوجد قياسات أخرى يمكن استخدامها لتكوين زاوية قائمة؟ _____ كما لاحظ الطلبة أن العمال يستخدمون ميزان الماء في البناء، لماذا؟

يتكون البناء الرياضي الهندسي من مُسميات أولية ومُسلّمات ونظريات

• المسميات أولية: وهي ليس لها تعريف مثل النقطة والمستقيم والمستوى والفراغ. ويمكن إعطاء أمثلة من الواقع مثل موقع مدينة على الخارطة وحافة مسطرة و ملعب كرة قدم.
• المُسلّمة: هي عبارة رياضية تربط بين المسميات الأولية وتقبل صحتها دون برهان.
• النظرية: عبارة رياضية يمكن إثبات صحتها بالاعتماد على مفاهيم، أو حقائق، أو مُسلّمات أو نظريات سابقة.

وفيما يلي بعض هذه المُسلّمات:

1. مُسلّمة ١: لأي نقطتين مختلفتين في الفراغ يوجد مستقيم واحد فقط يمر بهما.

أ ب ل

يسمى المستقيم بنقطتين واقعتين عليه مثل $\overleftrightarrow{\text{أ ب}}$ أو المستقيم $\overleftrightarrow{ل}$

أتذكّر: أن النقاط المستقيمة هي النقاط التي تقع على خط مستقيم واحد.

٢ مُسلّمة ٢: المستوى يحتوي على ثلاث نقاط على الأقل ، مختلفة وليست على استقامة واحدة.

يسمى المستوى أ ب جـ ، أو المستوى س

أتعلّم: النقاط المستوية هي النقاط التي تقع في نفس المستوى.

نشاط ٢: يمكن تحديد مستوى واحد فقط بـ :

١ ثلاث نقاط غير مستقيمة .

٢ مستقيم ونقطة ـــــ

٣ مستقيمين ـــــ

٤ مستقيمين ـــــ

٣ مُسلّمة ٣: الفراغ يحتوي على أربع نقاط على الأقل مختلفة و غير مستوية.

نشاط ٣: من الشكل المجاور أسمي

أ ٤ مستقيمات

1. المستقيم أ ب
2. ____
3. ____
4. ____

ب ٤ مستويات

1. المستوى أ ب هـ
2. ____
3. ____
4. ____

4. مُسلّمة ٤ : إذا اشترك المستقيم $\overleftrightarrow{\text{ل}}$ والمستوى س في نقطتين مختلفتين، فإنّ المستقيم $\overleftrightarrow{\text{ل}}$ يقع بأكمله في المستوى.

س ل

(٥) مُسلّمة ٥ : إذا تقاطع مستويان مختلفان، فإنّ تقاطعهما هو خط مستقيم.

وبالرموز س $\cap$ ص = $\overleftrightarrow{\text{أ ب}}$

س ص أ ب

نشاط ٤: بالاعتماد على الشكل التالي أجب عما يلي :

١ يحوي الشكل على عدة مستويات منها المستوى أ ب جـ ، والمستوى ـــــ ، والمستوى ـــــ

٢ المستوى أ ب جـ يتقاطع مع المستوى هـ أ ب في ـــــ

٣ المستقيم وهـ $\subseteq$ المستوى ـــــ $\overleftrightarrow{أب} \cap \overleftrightarrow{ب د}$ = ـــــ

أ جـ ب د هـ و ط ز ح ٦ مُسلّمة ٦ : إذا وقعت نقطة خارج مستقيم معلوم فإنّه يوجد مستقيم واحد فقط يمرّ بالنقطة ويوازي المستقيم المعلوم.

م ل

٧ مُسلّمة ٧ : إذا كانت ن نقطة لا تنتمي للمستوى س فإنّه يوجد مستوى واحد فقط يمر بالنقطة ن ويوازي المستوى س.

س ص ن

١ مستقيمان متوازيان: وهما مستقيمان يقعان في مستوى واحد ولا يتقاطعان.

٢ مستقيمان متقاطعان: وهما مستقيمان يقعان في مستوى واحد و يتقاطعان في نقطة واحدة فقط .

٣ مستقيمان متخالفان: وهما مستقيمان لا يتقاطعان ولا يقعان في نفس المستوى .

مستعينا بالشكل المجاور فإنّ هنالك:

١ مستقيمين متوازيين مثل المستقيم أب مع المستقيم هـ و

٢ مستقيمين متقاطعين مثل المستقيمين أد ، دجـ وأيضا .............

٣ مستقيمين متخالفين مثل المستقيمين أب ، و ز

أ ب جـ د هـ و ز ح

لاحظ أن المستقيم ب و عمودي على المستوى هـ و ز إذن فهو عمودي على جميع المستقيمات الواقعة في نفس المستوى.

كما أنه إذا كان المستقيم أ د $\perp$ المستقيم جـ د وكذلك المستقيم أ د $\perp$ المستقيم د ح إذن فهو عمودي على المستوى الذي يحويهما وهو د جـ ح .

أي أن المستقيم العمودي على المستوى يكون عموديا على جميع المستقيمات في المستوى والمستقيم العمودي على مستقيمين غير متوازيين في المستوى يكون عمودياً على المستوى.

هنالك ثلاث حالات لها :

١. مستقيم يقطع مستوى في نقطة $\overleftrightarrow{ل} \cap س = \{أ\}$

ل أ س

٢. مستقيم يقع بأكمله في المستوى $\overleftrightarrow{ل} \cap س = \overleftrightarrow{ل}$

ل س

٣. مستقيم يوازي مستوى وهو مستقيم لا يشترك مع المستوى في أي نقطة $\overleftrightarrow{ل} \cap س = \phi$

يمكن للمستويات في الفراغ أن:

1. تتوازى.

2. تتقاطع في خط مستقيم.

3. تتقاطع في نقطة. انظر الشكل:

متوازيان | متقاطعان في مستقيم | متقاطعة في نقطة

نشاط ٦: على أي مُسلّمة تنطبق الأمثلة التالية : ١ يقوم عامل القصارة باستخدام القطعة المعدنية المستقيمة في عمله لجعل القصارة مستوية. مسلمة رقم ٤ .

٢ يقوم عامل بتثبيت مسمارين و وصل خيط بينهما ______

٣ يستخدم المصور كاميرا مثبتة على حامل بثلاثة أرجل ______

٤ سقف غرفة يحتوي على مصباح كهربائي (يمثل بنقطة) يوازي أرضية الغرفة ______

١ أضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة : ١ المستقيمان العموديان على مستوى واحد

• أ. متوازيان
• ب. متقاطعان في نقطة

د) متقاطعان في أكثر من نقطة

٢ أي نقطتين في الفراغ يمر بهما

• أ. مستقيم واحد
• ب. مستقيمان

• د. عدد لا نهائي من المستقيمات

٣ المستقيمان اللذان لا يتقاطعان ولا يجمعهما مستوى واحد هما

• أ. متوازيان
• ب. متقاطعان
• جـ. متخالفان
• د. متطابقان

٤ إذا كان المستوى س يوازي المستوى ص و كان المستقيم ل $\bot$ ص فإنّ المستقيم ل :

• أ. يوازي س
• ب. يعامد س

د) يعامد مستقيم واحد فقط في س

٥ ما عدد نقاط تقاطع مستقيم يقطع مستوى ولا يقع بأكمله في المستوى ؟

• أ. نقطة واحدة
• ب. نقطتين

د) عدد لا نهائي من النقاط

٢ أضع علامة (✓) أمام العبارة الصحيحة و علامة (✗) أمام العبارة الخاطئة فيما يلي مع ذكر السبب في حالة العبارات الخاطئة

١ إذا وقع مستقيمان في مستوى واحد ولم يتقاطعا فإنّهما متوازيان.

٢ يمكن رسم أكثر من مستقيم يمر بنقطة معلومة عموديا على مستوى معلوم.

٣ إذا كان س ، ص مستويين متوازيين وكان المستقيم ل $\subset$ س ، والمستقيم م $\subset$ ص فإنّ ل // م.

٤ إذا كان ل₁ ، ل₂ مستقيمين في الفراغ و كان س مستوى معلوم حيث ل₁ $\perp$ س ول₂ $\perp$ س فإنّ ل₁ // ل₂ .

٥ أي ثلاث نقاط تعين مستوى.

٦ إذا وازى مستقيم مستوى معلوماً فإنّه يوازي جميع المستقيمات الواقعة في ذلك المستوى.

٧ المستقيمات العمودية على مستقيم واحد تكون متوازية.

٨ من نقطة خارج المستوى س يمكن رسم مستقيم واحد فقط منها عمودي على المستوى.

٩ إذا كان المستقيم ل // المستوى س فكل المستويات التي تحوي المستقيم ل // المستوى س.

٣ أذكر عدد المستويات التي يمكن أن تمر بكل مما يلي

١ نقطة معلومة.

٢ نقطتين معلومتين.

٣ ثلاث نقاط معلومة ليست على استقامة واحدة.

٤ بالاستعانة بالشكل المجاور أعطى امثلة على ما يلي

أ، د، هـ، جـ، ل، م، ن، س، ص، ع

١ مستقيمان متوازيان

٢ مستقيمان متخالفان

٣ مستقيمان متعامدان

٤ مستويان متقاطعان

٥ مستويان متوازيان

٦ مستقيم يقع في مستوى