العمليات على المتجهات

أفكّر وأناقش : يقوم قاربان بجر سفينة كما في الشكل، فتحركت السفينة من النقطة أ إلى النقطة ب، لماذا تحركت السفينة بهذا الاتجاه وما علاقة الإزاحة التي تحركتها بالقوتين المؤثرتين عليها؟

• $\vec{ق_١}$
• $\vec{ق_٢}$
• أ
• ب

إذا كان $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ متجهين، فإنّ حاصل جمعهما هو المتجه $\vec{أ} + \vec{ب}$ ويمكن إيجاده بطريقتين.

أ طريقة متوازي الأضلاع: حيث نسحب أحد المتجهين، بحيث يكون لهما نفس البداية، ثم نرسم متوازي أضلاع، فيكون حاصل جمع المتجهين كما هو موضح في الشكل المجاور.

• $\vec{أ}$
• $\vec{ب}$
• $\vec{أ} + \vec{ب}$

ب طريقة المثلث: نقوم بإزاحة أحد المتجهين، بحيث تكون نقطة نهاية الأول هي نقطة بداية الثاني، ثم نوصل نقطة بداية الأول مع نقطة نهاية الثاني كما هو موضح في المجاور.

مثال ١ : إذا كان $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ ، $\vec{جـ}$ ثلاثة متجهات ممثلة بالشكل الآتي:

• $\vec{أ}$
• $\vec{ب}$
• $\vec{جـ}$

الحل : أمثل ما يلي هندسيا:

١ $\vec{أ} + \vec{ب}$

• $\vec{أ}$
• $\vec{ب}$
• $\vec{أ} + \vec{ب}$

  ٢ $(\vec{أ} + \vec{ب}) + \vec{ج}$

• $\vec{أ}$
• $\vec{ب}$
• $\vec{أ} + \vec{ب}$
• $\vec{ج}$
• $(\vec{أ} + \vec{ب}) + \vec{ج}$

٣ $\vec{ب} + \vec{ج}$

• $\vec{ب}$
• $\vec{ج}$
• $\vec{ب} + \vec{ج}$

٤ $\vec{أ} + (\vec{ب} + \vec{ج})$

• $\vec{أ}$
• $\vec{ب} + \vec{ج}$
• $\vec{أ} + (\vec{ب} + \vec{ج})$

ألاحظ أنّ $(\vec{أ} + \vec{ب}) + \vec{ج} = \vec{أ} + (\vec{ب} + \vec{ج})$

(الخاصية التجميعية)

باستخدام الخاصية السابقة يمكن جمع المتجهات الثلاثة بوضع المتجهات بشكل تتابعي وتوصيل نقطة البداية لأول متجه بنقطة النهاية لآخر متجه .

• $\vec{أ}$
• $\vec{ب}$
• $\vec{ج}$
• $\vec{أ} + \vec{ب} + \vec{ج}$

$\vec{م_١}$ $\vec{م_٢}$ $\vec{م_١} + \vec{م_٢}$ هـ

نشاط ١: يريد ربان طائرة أن يقود الطائرة باتجاه الشمال بسرعة ٥٠٠ كم/ س، وفي نفس الوقت تهب رياح غربية بسرعة ٨٠ كم/ س، ففي أيّ اتجاه يجب أن يوجه الطائرة حتى تبقى تطير باتجاه الشمال؟

الحل: نفرض اتجاه الرياح $\vec{م_١}$ ، والاتجاه الذي ستوجه به الطائرة $\vec{م_٢}$ وحتى تبقى الطائرة باتجاه الشمال دائماً يجب أن تكون $\vec{م_١} + \vec{م_٢}$ باتجاه ـــــــــــــــــ . ظاهـ = ـــــــ أي أن هـ ≈ ... ولذلك على ربان الطائرة أن يوجه الطائرة باتجاه ـــــــــــــــــ بزاوية ـــــــــــــــــ .

جمع المتجهات هندسياً يحتاج إلى دقة في الرسم؛ لذلك نلجأ إلى طريقة الجمع جبرياً. حيث إنه إذا كان $\vec{أ} = (أ_١ ، أ_٢)$ ، $\vec{ب} = (ب_١ ، ب_٢)$ متجهين في الوضع القياسي، فإنّ حاصل جمع المتجهين هو المتجه $\vec{أ} + \vec{ب} = (أ_١ + ب_١ ، أ_٢ + ب_٢)$.

إذا كانت أ(١ ، ٣) ، ب(-١ ، ٢) ، جـ(٢ ، -١) أجد بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:

1. $\vec{أب} + \vec{ب جـ}$
2. $\vec{أ} + \vec{جـ ب}$

الحل:

1. $\vec{أب} = ب - أ = (-١ ، ٢) - (١ ، ٣) = (-٢ ، -١)$

2. $\vec{أ} + \vec{جـ ب} = (١ ، ٣) + (-٣ ، ٣) = (-٢ ، ٦) = -٢ \vec{و_١} + ٦ \vec{و_٢}$

نشاط ٢: أثرت قوتان $\vec{ق_١}$ ، $\vec{ق_٢}$ في جسم موجود في نقطة الأصل، فتحرك الجسم من نقطة الأصل إلى النقطة (٢ ، ٥) فإذا كانت $\vec{ق_١} = -٣ \vec{و_١} + ٤ \vec{و_٢}$ (انظر الشكل)

تعريف:

إذا كان $\vec{م}$ متجهاً غير صفري، وكان $أ \in ح^*$

فإنّ $أ \vec{م}$ متجه يوازي $\vec{م}$ طوله = $|أ \cdot \vec{م}| = |أ| \cdot |\vec{م}|$

ويكون في نفس اتجاه $\vec{م}$ إذا كانت أ موجبة وعكس اتجاه $\vec{م}$ إذا كانت أ سالبة.

إذا كان $\vec{م} = (٢ ، ٤)$ أجد كلاً من المتجهات الآتية :

1. $٢ \vec{م}$ ، $-\frac{١}{٢} \vec{م}$

2. أجد $|٢ \vec{م}|$ ، $|-\frac{١}{٢} \vec{م}|$

الحل :

1. $٢ \vec{م} = ٢ (٢ ، ٤) = (٤ ، ٨)$

2. $|٢ \vec{م}| = \sqrt{١٦ + ٦٤} = \sqrt{٨٠}$

تعريف : إذا كان $\vec{م}$ متجها غير صفري، فإنّ متجه الوحدة باتجاه $\vec{م}$ هو $\hat{م}$ حيث $\hat{م} = \frac{\vec{م}}{|\vec{م}|}$

إذا كان $\vec{م} = -٣\ \vec{و}_١ + ٤\ \vec{و}_٢$ أجد متجه وحدة باتجاه $\vec{م}$

$|\vec{م}| = ٥$ وحدات (لماذا؟)

متجه الوحدة باتجاه $\vec{م} = \hat{م} = \frac{\vec{م}}{|\vec{م}|} = (-\frac{٣}{٥} \text{ ، } \frac{٤}{٥})$ (تحقق أن طوله = ١ وحدة)

نشاط ٢: إذا كان $\vec{م_١} = ٣ \vec{و_١} - ٤ \vec{و_٢}$ وكان أ(٢ ، -١) ، ب(٦ ، ٢) أجد ما يلي:

١ $\vec{أب}$ في الوضع القياسي = ـــــــــ

٢ $\vec{م_١} + \vec{أب}$ = ـــــــــ

٣ $\frac{\vec{م_١}}{|\vec{م_١}|}$ = ـــــــــ

لطرح متجهين فإنّنا نستخدم الخاصية الآتية: $\vec{م}_١ - \vec{م}_٢ = \vec{م}_١ + (-\vec{م}_٢)$

$\vec{م}_١$ $\vec{م}_٢$ $-\vec{م}_٢$

الشكل المجاور يوضح عملية طرح متجهين.

أفكّر وأناقش : في الشكل السابق ما العلاقة بين $\vec{م}_١ + \vec{م}_٢$ ، $\vec{م}_١ - \vec{م}_٢$ ؟

نشاط ٣: إذا كان $\vec{م_١} = (-٢ ، ٥)$ ، $\vec{م_٢} = (٣ ، ٤)$ فإنّ $\vec{م_٢} - ٢ \vec{م_١}$ = ( ـــــ ، ـــــ )

إذا كان $\vec{م_١}$ ، $\vec{م_٢}$ ، $\vec{م_٣}$ ثلاثة متجهات في المستوى وكانت أ ، ب $\in$ ح فإنّ:

1. $\vec{م_١} + \vec{م_٢} = \vec{م_٢} + \vec{م_١}$ (الخاصية التبديلية)
2. $(\vec{م_١} + \vec{م_٢}) + \vec{م_٣} = \vec{م_١} + (\vec{م_٢} + \vec{م_٣})$ (الخاصية التجميعية)
3. $\vec{م_١} + \vec{٠} = \vec{٠} + \vec{م_١} = \vec{م_١}$ (العنصر المحايد)
4. $\vec{م_١} + (-\vec{م_١}) = (-\vec{م_١}) + \vec{م_١} = \vec{٠}$ (النظير الجمعي)
5. $أ (\vec{م_١} + \vec{م_٢}) = أ \vec{م_١} + أ \vec{م_٢}$
6. $(أ + ب)(\vec{م_١}) = أ \vec{م_١} + ب \vec{م_١}$
7. $|أ \vec{م_١}| = |أ| |\vec{م_١}|$

أ ، ب ، جـ ، د ، هـ ، و ، حـ

نشاط ٤: يمثل الشكل المجاور مربعين متطابقين، إذا كان $\vec{أب} = \vec{ل}$ ، $\vec{ب جـ} = \vec{م}$

أجد كلا مما يلي بدلالة $\vec{ل}$ و $\vec{م}$ :

إذا كان أ = (-٢ ، ٤) ، ب = (٦ ، ٢)، أجد المتجه س الذي يحقق المعادلة الآتية:

الحل : بإضافة $\vec{أ}$ إلى طرفي المعادلة تصبح ٢ س = ٣ ب + أ

ثم نضرب المعادلة في (١)/(٢) فتصبح س = (١)/(٢) (٣ ب + أ)

ومنها س = (٨ ، ٥)

١ قام عامل بإزاحة صندوق خشبي من النقطة أ $(٤ ، ٣)$ إلى النقطة ب $(١٠ ، ٥)$

1. أكتب المتجه أ ب بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين.

2. أجد |أ ب|.

٢ الشكل المجاور يمثل متوازي أضلاع،

أكتب المتجهين أ جـ ، د ب بدلالة س ، ص

٣ إذا كان أ = (-٣ ، ٥) ، ب = ٣ و_١ + ٤ و_٢ ، أكتب -٥ أ + ٢ ب بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين.

٤ إذا كانت أ (-٣ ، ١) ، ب (٢ ، ١) ، جـ (٤ ، ٤) ، د (-١ ، ٤)، أثبت باستخدام المتجهات أن الشكل أ ب جـ د متوازي أضلاع.

٥ إذا كانت أ (س ، -٢) ، ب (٥ ، س) أجد قيمة/ قيم س التي تجعل طول المتجه أ ب = ٥ وحدات

٦ أحل المعادلة المتجهية الآتية حيث أ = (٣ ، -٥) ، ب = (٢ ، -٦)

٧ أثرت قوتان في جسم بحيث إن ق_١ = ٢ و_١ + ٤ و_٢ ، ق_١ + ق_٢ = (٥ ، ٧) أجد $\vec{ق_٢}$ بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين.

٨ إذا كان أ = (-٢ ، ٦) أجد:

ب متجه طوله ٥ أمثال $\vec{أ}$ وبنفس اتجاه $\vec{أ}$

٩ أ ب جـ د متوازي أضلاع م نقطة خارجه أثبت أن: أ م + ب م + م د + م جـ = ٢ أ د