قواعد الاشتقاق

من متوسط التغير إلى معدل التغير: المشتقة

تعلمت في الدرس السابق مفهوم متوسط التغير للاقتران $ص = ق(س)$ عندما تتغير $س$ من $س_{١}$ إلى $س_{١} + Δس$ وكان $\frac{Δص}{Δس} = \frac{ق(س_{١} + Δس) - ق(س_{١})}{Δس}$، $Δس \ne ٠$.

• ونقول إن $ق(س)$ قابل للاشتقاق عند $س_{١}$
• أي كلما اقتربت $س$ من $س_{١}$ فإن متوسط تغير الاقتران (ميل القاطع) يؤول إلى معدل تغير الاقتران $ق(س)$ (ميل المماس) عند $س = س_{١}$

تعريف المشتقة من اليمين ومن اليسار

ويمكن كتابتها على النحو $ق'(س_{١}) =$ نها $\frac{ق(س) - ق(س_{١})}{س - س_{١}}$ عندما س تقترب من $س_{١}$

• وعندما $ق'(س_{١})^{+} = ق'(س_{١})^{-} = ل$، فإن $ق(س)$ قابل للاشتقاق عند $س_{١}$، وتكون $ق'(س_{١}) = ل$

• إذا كان الاقتران ق(س) معرفاً على [أ، ب] فإن ق(س) غير قابل للاشتقاق عند أطراف الفترة [أ، ب].

يطبع الكتاب الرمز معكوساً هنا؛ المقصود أن مجال المشتقة جزء من مجال الاقتران نفسه.

مشتقة الثابت ومشتقة س

مشتقة المضاعف والمجموع والفرق

وماذا لو انقطع الاقتران عند نقطة؟

لماذا $ق'(٢)$ غير موجودة؟

لماذا $ق'(١)$ غير موجودة؟

لماذا $ق'(٠)$ و $ق'(٢)$ غير موجودتين؟

الاتصال أولًا: مشتقة الاقتران المتشعب

مشتقة حاصل ضرب اقترانين

وكيف نشتق إن لم تُعطَ قاعدة الاقتران كاملة؟

مشتقة القوة: نقص الأس واحدًا

شرط قابلية الاشتقاق: الاتصال وتساوي المشتقتين

نعلم أن $ق(س)$ متصل عند $س = ١$ (لماذا؟)

مشتقة القسمة والأس السالب

وكيف نجد قيمة س من قيمة المشتقة؟

المشتقات العليا: نشتق مرة بعد مرة

إذا كان $ق(س) = س^{٤} + ٣س^{٢} - ٢$، جد $ق'(س)$.

ونعبر عن المشتقة من الرتبة ن بإحدى الصور الآتية: $ص^{(ن)}$ أو $\frac{د^{ن}ص}{دس^{ن}}$ أو $ق^{(ن)}(س)$، حيث $ن \in ص^{+}$، $ن > ٢$

هل يمكنك تكرار عملية الاشتقاق بالنسبة لـ س؟ ولماذا؟

هل يوجد اختلاف بين كل من $\frac{د^٢ص}{دس^٢}$ و $(\frac{دص}{دس})^٢$؟

تمارين: طبّق القواعد كلها

جد $ق'(س)$ في كل مما يأتي عند قيم $س$ إزاء كل منها:

أ. ق(س) = س٥ - س٢ + جـ، حيث جـ ثابت، عندما $س = -١$ ب. ق(س) = (س٣ - ١)(س + ١٢)، عندما س = ٣ ج. ق(س) = س٢٥ - س٢، عندما س = -٢

بالاعتماد على المعطيات في الجدول المجاور، جد ما يأتي:

أ. (ق + هـ٢)'(١) ب. (س٢ ق - (٣)/(هـ))'(١)

إذا كان ق(س) = سس٢ + ١ وكان الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران $هـ(س)$، فجد ((ق)/(هـ))'(١)

إذا كانت ص = (س)/(س + ١)، س -١، أثبت أن: ٢ص ص' + س ص'' = ٠ ب. إذا كانت ص = أس٥ + ٥س٤، $س \ne ٠$، أثبت أن: ص'' = ٢٠صس٢

إذا كان ق(س) = (١ - س)(١ + س)(١ + س٢)(١ + س٤)(١ + س٨)، جد $ق'(١)$.

إذا كان ق(س) = س٢ ، هـ(س) = [٢س] أولاً: جد: أ. $ق'(٠)$

• ب. هـ'(٠)

• جـ. (ق × هـ)(س)

• د. (ق × هـ)'(٠) ثانياً: هل هذا يتناقض مع قاعدة مشتقة حاصل ضرب اقترانين؟ فسر إجابتك.

إذا كان ق(س) = س٤ + أس٣ - ٣، جد قيمة أ، حيث ق(٣)(٢) = ١٨

إذا كان $ق(س) = س^{ن}$، ن ص، وكان ق(٣)(س) = أس، جد قيمة أ