قسمة الأعداد المركبة

القسمة تشبه إنطاق المقام: نضرب بالمرافق

تعتبر عملية القسمة في الأعداد المركبة مشابهة إلى حد كبير لعملية إنطاق المقام، وذلك بكتابة $\frac{ع_١}{ع_٢}$ على الصورة $ع = س + ص ت$

ماذا تلاحظ؟

إذا كان $ع_١ = ٢ + ت$ ، $ع_٢ = ١ - ٣ت$ فإن:

$|ع_٢| = \dots\dots\dots\dots$ $|ع_١ ع_٢| = \dots\dots\dots\dots$ ماذا تلاحظ؟

$-٢|ع_١| = \dots\dots\dots\dots$ ماذا تلاحظ؟

أكمل ما يأتي:

$\overline{١ + ت} = \dots\dots\dots\dots$ $\overline{-٣} = \dots\dots\dots\dots$ $\bar{ت} = \dots\dots\dots\dots$ $\overline{٢ت + \sqrt{٢}ت} = \dots\dots\dots\dots$

أكمل الجدول الآتي:

$ت + ٢$ $\sqrt{٣} - ت$ $٢ت$

سبع خصائص للمقياس والمرافق تختصر الحساب

• $(\bar{\bar{ع}}) = ع$
• $ع \bar{ع} = \bar{ع} ع = |ع|^٢$
• $|\bar{ع}| = |ع|$
• $|جـ ع| = |جـ| |ع|$ ، $جـ \in ح$
• إذا كان $ع = أ + ب ت$ فإن $ع + \bar{ع} = ٢أ$ ، $ع - \bar{ع} = ٢ب ت$
• إذا كان $ع_١ ، ع_٢ \in ك$ ، فإن $|ع_١ ع_٢| = |ع_١| |ع_٢|$
• إذا كان $ع_١ ، ع_٢ \in ك$ ، $ع_٢ \ne ٠$ فإن

\⁦left⁩| \⁦frac{⁩ع_١}{ع_٢} \⁦right⁩| = \⁦frac{⁩|ع_١|}{|ع_٢|}

قسمة عددين مركبين: بالمرافق أو بالنظير الضربي

المستوى المركب: كل عدد مركب نقطة

• يمكن تمثيل العدد المركب $ع = س + ص ت$ بيانياً في المستوى الديكارتي بالنقطة
• فالعدد المركب $٣ + ت$ يمثل بالنقطة أ(٣ ، ١) في المستوى

ماذا يمثل كل من المحور الأفقي والمحور الرأسي في المستوى المركب؟

الصورة القطبية: الطول والزاوية بدل س وص

كل زوج مرتب، يمكن تمثيله بمتجه قياسي بدايته النقطة (٠ ، ٠) ونهايته النقطة (س ، ص)

• ويصنع زاوية هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات (المحور الأفقي) وتسمى هـ السعة الأساسية للعدد المركب،
• $\text{ظا} هـ = \frac{ص}{س}$ ، $٠ \le هـ < ٢\pi$
• ويكون طول المتجه = ر ، ويساوي مقياس العدد المركب $ع = س + ص ت$ حيث $ر = |ع| = \sqrt{س^٢ + ص^٢}$

وكيف نرجع من الصورة القطبية إلى الصورة العادية؟

إذا كان $ع = ٤ - ٣ت$ ، فإن $\bar{ع} = \dots\dots\dots\dots\dots$ مثّل كلاً من ع ، $\bar{ع}$ هندسياً في المستوى المركب، ماذا تلاحظ؟

تمارين: المقياس والمرافق والقسمة والصورة القطبية

جد $|١ + \sqrt{-٤}|$

إذا كان $ع_١ = ١ + ت$ ، $ع_٢ = ١ - ت$ ، جد ما يلي:

$|-٣ع_١|$ $|\frac{١}{٢} ع_١ \bar{ع_١}|$ $\left| \frac{ع_٢}{ع_١} \right|$ $|٢ع_١ ع_٢|$

اكتب المقادير الآتية على صورة أ + ب ت:

$\frac{-١ + \sqrt{٢}ت}{٢ + ت}$ $\frac{٣ + ٤ت}{٣ - ٥ت} + \frac{٢ + ٣ت}{٢ - ٣ت}$

أثبت أن: $|ع - ١| = |\bar{ع} - ١|$ حيث $ع \in ك$

مثّل الأعداد الآتية في المستوى المركب:

$ت^{٣٥}$ $٢ + \sqrt{-٢}$ $\sqrt{-٤} + \sqrt{-٩}$ $\frac{١}{ت^{٥٢}}$

إذا كان $ع^٢ = (\bar{ع})^٢$ فأثبت أن ع إما أن تكون عدداً حقيقياً، أو أنها عدد تخيلي.

اكتب ما يأتي على الصورة القطبية $ع = ر(\text{جتا}هـ + ت \text{جا}هـ)$:

$ع = -١ + ت$ $ع = \frac{-١}{٢}$ $ع = \frac{-١ + \sqrt{٣}ت}{٢}$

تمارين عامة: اختبر نفسك على الوحدة

ما قيمة $(ت)^{٥٧}$؟

أ. $١$ ب. $-١$ جـ. $ت$ د. $-ت$

ما قيمة $(\sqrt{٢}-ت)-ت(١-\sqrt{٢}ت)$؟

أ. $-٢$ ب. $٢ت$ جـ. $-٢ت$ د. $ت$

ما قيمة $\overline{\bar{ع}+ت}$؟

أ. $ع+ت$ ب. $ع-ت$ جـ. $-ع+ت$ د. $-ع-ت$

ما الصورة القطبية للعدد $ع = ٢+٢ت$؟

أ. $٢\sqrt{٢}(\text{جتا}\frac{\pi}{٤}-ت\text{جا}\frac{\pi}{٤})$ ب. $٢\sqrt{٢}(\text{جتا}\frac{\pi}{٤}+ت\text{جا}\frac{\pi}{٤})$ جـ. $٢\sqrt{٢}(-\text{جتا}\frac{\pi}{٤}-ت\text{جا}\frac{\pi}{٤})$ د. $٢\sqrt{٢}(-\text{جتا}\frac{\pi}{٤}+ت\text{جا}\frac{\pi}{٤})$

ما سعة العدد المركب $(٢+٢ت)^٢$؟

أ. $٠$ ب. $\frac{\pi}{٣}$ جـ. $\frac{\pi}{٤}$ د. $\frac{\pi}{٢}$

إذا كان $ع_١ = ١+٢ت$ ، $ع_٢ = ٢-ت$ ، جد ناتج ما يلي:

$|ع_١|$ $|ع_٢|$ $|ع_١+ع_٢|$ $|ع_١|+|ع_٢|$ ، (ماذا تلاحظ؟)

جد س ، ص $\in$ ح بحيث $س^٢+س+(ص-١)ت = -س^٢ ت$

إذا كان $ل = \frac{٥(٣-ت)}{٣+ت}$ ، $م = \frac{١١ت-٢}{١+٢ت}$ أ. بيّن أن: ل ، م مترافقان.

احسب ل + م ، ل م ، ثم جد قيمة $ل^٢+م^٢$

احسب قيمة $(\frac{\sqrt{٣}-ت}{١+\sqrt{٣}ت})^٧$