شرح النظير الضربي للمصفوفة المربعة

آخر تحديث: ٢ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (١٤)

شرح الموضوع

عرضنا في درس سابق المصفوفة المحايدة (م) في عملية ضرب المصفوفات، وتعرّفنا إلى خاصية مهمة من

النظير الضربي للمصفوفة المربعة (⁦Inverse⁩

ضرب المصفوفة في نظيرها يعطي المصفوفة المحايدة

وهي أ . م = م . أ = أ حيث أ مصفوفة مربعة من الرتبة ن.

مثال

نشاط ١: إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٥ & -٤ \\ ٤ & -٢ \end{bmatrix}$ ، ب = $\begin{bmatrix} \frac{-٢}{٦} & \frac{٤}{٦} \\ \frac{-٤}{٦} & \frac{٥}{٦} \end{bmatrix}$

أ	= ٦

أ. ب = $\begin{bmatrix} ٥ & -٤ \\ ٤ & -٢ \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} \frac{-٢}{٦} & \frac{٤}{٦} \\ \frac{-٤}{٦} & \frac{٥}{٦} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ = م٢
ب. أ =
ماذا تلاحظ؟ إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): نحسب ب . أ:

$\frac{(-٢)(٥)+(٤)(٤)}{٦} = \frac{٦}{٦} = ١,\quad \frac{(-٢)(-٤)+(٤)(-٢)}{٦} = ٠$ $\frac{(-٤)(٥)+(٥)(٤)}{٦} = ٠,\quad \frac{(-٤)(-٤)+(٥)(-٢)}{٦} = \frac{٦}{٦} = ١$ $ب . أ = \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix} = م٢$ نلاحظ أن أ . ب = ب . أ = م٢، وهذا ما يطلبه تعريف النظير الضربي.

تعريف:

أ . أ $^{-١}$ = أ $^{-١}$ . أ = م

مثال ١:

مثال

مثال ١: إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ١ & ٣ \end{bmatrix}$ ، ب = $\begin{bmatrix} ٣ & -٢ \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$ فبيّن فيما إذا كانت ب = أ $^{-١}$

أ. ب = $\begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ١ & ٣ \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} ٣ & -٢ \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} (١)(٣)+(٢)(-١) & (١)(-٢)+(٢)(١) \\ (١)(٣)+(٣)(-١) & (١)(-٢)+(٣)(١) \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ = م٢

ب. أ = $\begin{bmatrix} ٣ & -٢ \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ١ & ٣ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} (٣)(١)+(-٢)(١) & (٣)(٢)+(-٢)(٣) \\ (-١)(١)+(١)(١) & (-١)(٢)+(١)(٣) \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ = م٢ ومنها ب = أ $^{-١}$

مثال

نشاط ٢: إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٢ & ١ & ٤ \\ ٣ & ٥ & ١ \\ ١ & ٢ & ٠ \end{bmatrix}$ ، ب = $\begin{bmatrix} -٢ & ٨ & -١٩ \\ ١ & -٤ & ١٠ \\ ١ & -٣ & ٧ \end{bmatrix}$

أ. ب = $\begin{bmatrix} ٢ & ١ & ٤ \\ ٣ & ٥ & ١ \\ ١ & ٢ & ٠ \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} -٢ & ٨ & -١٩ \\ ١ & -٤ & ١٠ \\ ١ & -٣ & ٧ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ & ٠ \\ ٠ & ١ & ٠ \\ ٠ & ٠ & ١ \end{bmatrix}$
ب. أ = $\begin{bmatrix} -٢ & ٨ & -١٩ \\ ١ & -٤ & ١٠ \\ ١ & -٣ & ٧ \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} ٢ & ١ & ٤ \\ ٣ & ٥ & ١ \\ ١ & ٢ & ٠ \end{bmatrix}$ =
ماذا تستنتج؟ إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): نحسب ب . أ: الصف الأول:

$(-٢)(٢)+(٨)(٣)+(-١٩)(١) = -٤+٢٤-١٩ = ١$ $(-٢)(١)+(٨)(٥)+(-١٩)(٢) = -٢+٤٠-٣٨ = ٠$ $(-٢)(٤)+(٨)(١)+(-١٩)(٠) = -٨+٨ = ٠$ الصف الثاني: $(١)(٢)+(-٤)(٣)+(١٠)(١) = ٢-١٢+١٠ = ٠$ $(١)(١)+(-٤)(٥)+(١٠)(٢) = ١-٢٠+٢٠ = ١$ $(١)(٤)+(-٤)(١)+(١٠)(٠) = ٤-٤ = ٠$ الصف الثالث: $(١)(٢)+(-٣)(٣)+(٧)(١) = ٢-٩+٧ = ٠$ $(١)(١)+(-٣)(٥)+(٧)(٢) = ١-١٥+١٤ = ٠$ $(١)(٤)+(-٣)(١)+(٧)(٠) = ٤-٣ = ١$ إذن ب . أ = م٣ أيضاً، فأ . ب = ب . أ = م٣ ومنها ب = أ $^{-١}$ (تعريف النظير الضربي).

ومنها ب = أ $^{-١}$ (لماذا؟)

مثال ٢:

متى لا يكون للمصفوفة نظير؟

مثال

مثال ٢: إذا كانت س = $\begin{bmatrix} ٣ & ٢ \\ ٠ & ٠ \end{bmatrix}$ ، تحقق فيما إذا كان للمصفوفة س نظيراً ضربياً أم لا؟ نفرض أن للمصفوفة س نظيراً ضربياً هو ص = $\begin{bmatrix} أ & ب \\ ج & د \end{bmatrix}$ ، ومن التعريف يكون س . ص = ص . س = م٢ أي أن: س . ص = $\begin{bmatrix} ٣ & ٢ \\ ٠ & ٠ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} أ & ب \\ ج & د \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ٣أ + ٢ج & ٣ب + ٢د \\ ٠ & ٠ \end{bmatrix}$ لكن $\begin{bmatrix} ٣أ + ٢ج & ٣ب + ٢د \\ ٠ & ٠ \end{bmatrix}$ ≠ $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ ∴ لا يوجد للمصفوفة س نظير ضربي.

لماذا لا تساوي المصفوفة الناتجة س . ص المصفوفة م٢؟

تعريف:

نظرية:

مثال ٣:

مثال

مثال ٣: أي المصفوفات الآتية منفردة وأيها غير منفردة؟ أ = $\begin{bmatrix} ٢ & -٤ \\ ٤ & ٨ \end{bmatrix}$ ، ب = $\begin{bmatrix} ٣ & ١ & ٢ \\ ٦ & ٢ & ٤ \\ ٥ & ٣ & -١ \end{bmatrix}$ $٢ \times ٨ - (-٤)(٤) = ١٦ + ١٦ = ٣٢$

أ	= ٣٢ ≠ صفر، ومنها تكون المصفوفة أ غير منفردة.

$٣(٢ \times (-١) - ٤ \times ٣) - ١(٦ \times (-١) - ٤ \times ٥) + ٢(٦ \times ٣ - ٢ \times ٥)$ $٣(-١٤) - ١(-٢٦) + ٢(٨) = -٤٢ + ٢٦ + ١٦ = ٠$

ب	= ٠، أي أن المصفوفة ب منفردة.

وقد يكون المحدد معادلة في مجهول؛ نساويه بالصفر ونحلّها.

مثال ٤:

مثال

مثال ٤: جد قيمة س التي تجعل المصفوفة أ = $\begin{bmatrix} ٢ & ٨ \\ ٣ & (س+١) \end{bmatrix}$ منفردة. $٢(س+١) - (٨)(٣) = ٢(س+١) - ٢٤$

أ	= ٢ (س + ١) - ٢٤

وبما أن أ مصفوفة منفردة فيكون | أ | = ٠ ٢ (س + ١) - ٢٤ = ٠ ٢س + ٢ - ٢٤ = ٠ ومنها س = ١١ $٢س = ٢٢ \Rightarrow س = ١١$

خصائص النظير الضربي:

ثلاث خصائص تختصر التعامل مع النظير

(أ $^{-١}$ ) $^{-١}$ = أ
(ك أ) $^{-١}$ = ١/ك (أ $^{-١}$ )
(أ . ب) $^{-١}$ = ب $^{-١}$ . أ $^{-١}$

إثبات الخاصية الثالثة:

مثال

إثبات الخاصية الثالثة: (البرهان للمعرفة فقط) (أ . ب) (أ . ب) $^{-١}$ = م بضرب طرفي المعادلة بالمصفوفة أ $^{-١}$ من اليمين ينتج أن: أ $^{-١}$ . (أ . ب) . (أ . ب) $^{-١}$ = أ $^{-١}$ . م ومنها ينتج (أ $^{-١}$ . أ) . ب . (أ . ب) $^{-١}$ = أ $^{-١}$ . م أي أن ب . (أ . ب) $^{-١}$ = أ $^{-١}$ . م وبضرب طرفي المعادلة بالمصفوفة ب $^{-١}$ من اليمين ينتج أن: ب $^{-١}$ . ب . (أ . ب) $^{-١}$ = ب $^{-١}$ . أ $^{-١}$ . م ومنها (ب $^{-١}$ . ب) . (أ . ب) $^{-١}$ = ب $^{-١}$ . أ $^{-١}$ . م أي أن: (أ . ب) $^{-١}$ = ب $^{-١}$ . أ $^{-١}$ ، وبنفس الطريقة نثبت أن (أ . ب) $^{-١}$ × (أ . ب) = م

مثال ٥:

النظير الضربي لمصفوفة من الرتبة الثانية بقاعدة واحدة

إيجاد النظير الضربي للمصفوفة: سوف نتعرف على طرق إيجاد النظير الضربي للمصفوفة المربعة، وستقتصر دراستنا على النظير الضربي للمصفوفات المربعة من الرتبة الثانية فقط.

مثال

مثال ٥: جد النظير الضربي للمصفوفة أ = $\begin{bmatrix} ٥ & ٣ \\ ٦ & ٤ \end{bmatrix}$ (إن وجد). نفرض أن: أ $^{-١}$ = $\begin{bmatrix} س & ص \\ ع & ل \end{bmatrix}$ أ . أ $^{-١}$ = م٢ أي $\begin{bmatrix} ٥ & ٣ \\ ٦ & ٤ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} س & ص \\ ع & ل \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ ومنها $\begin{bmatrix} ٥س+٣ع & ٥ص+٣ل \\ ٦س+٤ع & ٦ص+٤ل \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ كما أن أ $^{-١}$ . أ = م٢ أي $\begin{bmatrix} س & ص \\ ع & ل \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} ٥ & ٣ \\ ٦ & ٤ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ٥س+٦ص & ٣س+٤ص \\ ٥ع+٦ل & ٣ع+٤ل \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ وبحل المعادلات الناتجة من تساوي المصفوفتين في الحالتين السابقتين: $٦س + ٤ع = ٠ \Rightarrow ع = -\frac{٣}{٢}س$ $٥س - \frac{٩}{٢}س = ١ \Rightarrow س = ٢$ $ع = -\frac{٣}{٢}(٢) = -٣$ $٥ص + ٣ل = ٠ \Rightarrow ل = -\frac{٥}{٣}ص$ $٦ص - \frac{٢٠}{٣}ص = ١ \Rightarrow ص = -\frac{٣}{٢}$ $ل = -\frac{٥}{٣}(-\frac{٣}{٢}) = \frac{٥}{٢}$ ينتج أن: س = ٢، ع = -٣، ص = -٣/٢، ل = ٥/٢ أي أن: أ $^{-١}$ = $\begin{bmatrix} ٢ & -٣/٢ \\ -٣ & ٥/٢ \end{bmatrix}$ $٥(٢) + ٣(-٣) = ١,\ \ ٥(-\frac{٣}{٢}) + ٣(\frac{٥}{٢}) = ٠$ $٦(٢) + ٤(-٣) = ٠,\ \ ٦(-\frac{٣}{٢}) + ٤(\frac{٥}{٢}) = ١$

تعميم:

يطبع الكتاب الرمز معكوساً هنا؛ المقصود أن الرقم الأول للعمود والثاني للصف، والقانون صحيح كما هو.

مثال ٦:

مثال

مثال ٦: إذا كانت س = $\begin{bmatrix} ٢ & ٢ \\ ٣ & -١ \end{bmatrix}$ ، فجد س $^{-١}$ (إن أمكن). $|س| = ٢ \times (-١) - ٢ \times ٣ = -٨$

س	= -٢ - ٦ = -٨ ≠ ٠

المصفوفة س لها نظير ضربي، وتكون س $^{-١}$ = $\frac{١}{-٨}$ $\begin{bmatrix} -١ & -٢ \\ -٣ & ٢ \end{bmatrix}$ $\frac{-١}{-٨} = \frac{١}{٨},\ \ \frac{-٢}{-٨} = \frac{١}{٤}$ $\frac{-٣}{-٨} = \frac{٣}{٨},\ \ \frac{٢}{-٨} = -\frac{١}{٤}$ = $\begin{bmatrix} \frac{١}{٨} & \frac{١}{٤} \\ \frac{٣}{٨} & \frac{-١}{٤} \end{bmatrix}$

مثال

نشاط ٣: حاولت مريم إيجاد العلاقة بين قيمة |أ $^{-١}$ |، وقيمة |أ|، فجربت عدة مصفوفات من الرتبة الثانية، وحصلت على النتائج الآتية:

أ	= ٢،	أ $^{-١}$	= ١/٢
أ	= ١/٧،	أ $^{-١}$	= ٧
أ	= ك، ك ≠ ٠،	أ $^{-١}$	=

واستنتجت العلاقة |أ $^{-١}$ | = ١/|أ| هل العلاقة التي حصلت عليها مريم صحيحة دائماً؟ فسّر إجابتك. إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): الفراغ: $|\text{أ}^{-١}| = \frac{١}{ك}$ ، لأن المقلوب هو القاعدة في الحالتين الأولى والثانية. نعم، صحيحة دائماً لكل مصفوفة غير منفردة من الرتبة الثانية (التي لها نظير). من التعميم تُضرب مدخلات أ $^{-١}$ بالعدد $\frac{١}{|أ|}$ : $|أ^{-١}| = \left(\frac{١}{|أ|}\right)^{٢}\left(أ_{١١}أ_{٢٢} - أ_{٢١}أ_{١٢}\right) = \frac{|أ|}{|أ|^{٢}} = \frac{١}{|أ|}$

تمارين ٣ - ٤

أطبّق: تمارين على النظير الضربي

بيّن أي من المصفوفات الآتية لها نظير ضربي.

أ = $\begin{bmatrix} ٤ & -٨ \\ ٣ & ٦ \end{bmatrix}$ ، ب = $\begin{bmatrix} ٣ & جاس \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$ ج = $\begin{bmatrix} ٣ & ٣ \\ ٣ & ٣ \end{bmatrix}$ ، د = $\begin{bmatrix} ٢ & -١ & ٣ \\ ٦ & -٣ & ٩ \\ ٢ & ٨ & -١ \end{bmatrix}$

ما قيم ك التي تجعل كلاً من المصفوفات الآتية منفردة؟

أ = $\begin{bmatrix} ك & ك \\ ٤ & ٢ك \end{bmatrix}$ ، ب = $\begin{bmatrix} ك & ٤ \\ ١ & ك \end{bmatrix}$

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٤ & ٥ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}$ ، فجد:

أ $^{-١}$ (إن أمكن) (أ $^{-١}$ ) $^{-١}$

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} س & ٥ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}$ ، وكان |أ $^{-١}$ | = ١/٥، فما قيمة س؟

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} س & -٣ \\ ١ & ص \end{bmatrix}$ ، وكان |أ $^{-١}$ | = |أ| فما قيمة / قيم المقدار (س ص)؟

إذا علمت أن أ = $\begin{bmatrix} ١ & ٣ \\ ٤ & ٢ \end{bmatrix}$ ، ب = $\begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ٣ & ٤ \end{bmatrix}$ ، وكان أ . ج = ب، فجد ج $^{-١}$

إذا كانت أ، ب مصفوفتين مربعتين وكانت أ مصفوفة غير منفردة بحيث أ . ب = أ . ج فأثبت أن: ب = ج، بحيث ج مصفوفة.

تعريفات أساسية

مصفوفة غير منفردة: تسمى المصفوفة المربعة أ مصفوفة غير منفردة إذا وجدت مصفوفة مربعة ب من نفس الرتبة
المصفوفة المنفردة: المصفوفة المنفردة هي المصفوفة المربعة التي لا يوجد لها نظير ضربي.
النظير الضربي: وتسمى المصفوفة ب نظيراً ضربياً للمصفوفة أ، ونرمز لها بالرمز أ $^{-١}$ ونكتب (ب = أ $^{-١}$ ) ويكون أ . أ $^{-١}$ = أ $^{-١}$ . أ = م
خصائص النظير الضربي: إذا كانت أ، ب مصفوفتين مربعتين، وغير منفردتين، ومن نفس الرتبة، وكان ك عدداً حقيقياً ≠ ٠، فإن: 1. (أ $^{-١}$ ) $^{-١}$ = أ 2. (ك أ) $^{-١}$ = ١/ك (أ $^{-١}$ ) 3. (أ . ب) $^{-١}$ = ب $^{-١}$ . أ $^{-١}$
إيجاد النظير الضربي للمصفوفة: أ $^{-١}$ تنتج من ضرب المصفوفة بمقلوب محددها بعد تبديل أماكن مدخلات القطر الرئيسي وتغيير إشارة مدخلات القطر الآخر من المصفوفة أ

معاينة موضوع «النظير الضربي للمصفوفة المربعة» من وحدة «المصفوفات والمحددات» في مادة الرياضيات (الفرع العلمي). أقسام الشرح: ١٤، التعريفات: ٥، الأسئلة المحلولة: ٥.

المصدر: وزارة التربية والتعليم، النظير الضربي للمصفوفة المربعة (ص ١١٨–١٢٣)

النظير الضربي للمصفوفة المربعة

شرح الموضوع

النظير الضربي للمصفوفة المربعة (⁦Inverse⁩

ضرب المصفوفة في نظيرها يعطي المصفوفة المحايدة

تعريف:

مثال ١:

مثال ٢:

متى لا يكون للمصفوفة نظير؟

تعريف:

نظرية:

مثال ٣:

مثال ٤:

خصائص النظير الضربي:

ثلاث خصائص تختصر التعامل مع النظير

إثبات الخاصية الثالثة:

مثال ٥:

النظير الضربي لمصفوفة من الرتبة الثانية بقاعدة واحدة

تعميم:

مثال ٦:

تمارين ٣ - ٤

أطبّق: تمارين على النظير الضربي

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد