قاعدة السلسلة

تُعد قاعدة السلسلة من أهم قواعد الاشتقاق، حيث تمكننا من التعامل مع الاقترانات المركبة التي تتكون من اقتران داخلي واخر خارجي.

قاعدة السلسلة: إذا كان $y$ اقترانًا في $u$، وكان $u$ اقترانًا في $x$، فإن مشتقة $y$ بالنسبة إلى $x$ هي: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

بصيغة أخرى، إذا كان $(f \circ g)(x) = f(g(x))$، فإن المشتقة هي: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

• يتم اشتقاق الاقتران الخارجي $f$ مع بقاء الداخلي $g(x)$ كما هو.
• يُضرب الناتج في مشتقة الاقتران الداخلي $g'(x)$.

عند البدء بالحل، حدد بوضوح الاقتران الداخلي والاقتران الخارجي لتجنب نسيان ضرب مشتقة الداخل.

مثال يوضح الفكرة: في الاقتران $h(x)=(5x^3-2x)^4$ يكون $u=5x^3-2x$ هو الاقتران الداخلي، و $y=u^4$ هو الاقتران الخارجي. نشتق الخارجي بالنسبة إلى $u$ فنحصل على $\frac{dy}{du}=4u^3$، ونشتق الداخلي فنحصل على $\frac{du}{dx}=15x^2-2$، ثم نضرب الناتجين: $\frac{dy}{dx}=4u^3\times(15x^2-2)=4(5x^3-2x)^3(15x^2-2)$

عندما يكون الاقتران الداخلي $g(x)$ مركباً داخل اقترانات دائرية أو أسية، تظهر النتائج التالية:

يخطئ الكثيرون بنسيان اشتقاق الزاوية في الاقترانات المثلثية؛ تذكر دائماً أن $g'(x)$ هي جزء أساسي من الحل.

1. $\frac{d}{dx}(\sin g(x)) = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$
2. $\frac{d}{dx}(\cos g(x)) = -\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
3. $\frac{d}{dx}(e^{g(x)}) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$
4. $\frac{d}{dx}(\ln g(x)) = \frac{g'(x)}{g(x)}$

وبالطريقة نفسها نحصل على مشتقات بقية الاقترانات المثلثية المركبة:

1. $\frac{d}{dx}(\tan g(x))=\sec^2 g(x)\cdot g'(x)$
2. $\frac{d}{dx}(\sec g(x))=\sec g(x)\tan g(x)\cdot g'(x)$
3. $\frac{d}{dx}(\csc g(x))=-\csc g(x)\cot g(x)\cdot g'(x)$
4. $\frac{d}{dx}(\cot g(x))=-\csc^2 g(x)\cdot g'(x)$

تطبيق مباشر: مشتقة $f(x)=\cos 2x$ هي $-\sin 2x\times 2=-2\sin 2x$، ومشتقة $f(x)=e^{x+x^2}$ هي $e^{x+x^2}(1+2x)$. وفي $f(x)=\ln(\sin x)$ يكون الاقتران الداخلي $\sin x$، فالمشتقة $\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$ باستعمال المتطابقات المثلثية النسبية.

تُستخدم هذه القاعدة عندما يكون الاقتران الخارجي هو اقتران قوة، أي على الصورة $f(x) = [g(x)]^n$.

قاعدة سلسلة القوة: إذا كان $n$ عدداً حقيقياً، فإن: $\frac{d}{dx}[g(x)]^n = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$

خطوات الحل المتبعة:

• نزل القوة $n$ أمام القوس.
• اطرح $1$ من القوة الأصلية.
• اضرب الناتج كاملاً في مشتقة ما داخل القوس.

يمكن استخدام هذه القاعدة لاشتقاق الجذور بعد تحويلها إلى صورة أسية، مثل $\sqrt{g(x)} = [g(x)]^{1/2}$.

يُعد الاقتران $(g(x))^n$ من أكثر الاقترانات المركبة شيوعًا. قبل الاشتقاق نعيد كتابة الاقتران بحيث تظهر القوة بوضوح: الجذر $\sqrt[3]{(x^2-1)^2}$ يصبح $(x^2-1)^{2/3}$، فمشتقته $\frac{2}{3}(x^2-1)^{-1/3}\times 2x=\frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2-1}}$. والاقتران $\tan^4 x$ يُكتب $(\tan x)^4$، فمشتقته $4\tan^3 x\sec^2 x$. ومن القاعدة نفسها ينتج أن $\left(\sqrt{g(x)}\right)'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$.

الاستعمال المتكرر للقاعدة: قد نحتاج إلى قاعدة السلسلة أكثر من مرة. فإذا كان $y=f(u)$ و $u=g(x)$ و $x=h(t)$، فإن: $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}\times\frac{dx}{dt}$ مثلًا، في $f(x)=e^{\csc 4x}$ نشتق الاقتران الأُسي، ثم قاطع التمام، ثم الزاوية $4x$، فنحصل على $f'(x)=-4e^{\csc 4x}\csc 4x\cot 4x$. وقد نحتاج أيضًا إلى دمج قاعدة السلسلة مع قواعد المجموع والفرق والضرب والقسمة في المسألة نفسها.

عندما يكون أساس الاقتران الأسي أو اللوغاريتمي عدداً حقيقياً $a$ (حيث $a > 0, a \neq 1$)، نستخدم القواعد التالية:

الأساس العام $a$: إذا كان $a$ عددًا حقيقيًا موجبًا و $a\neq 1$، وكان $g(x)$ اقترانًا، فإن مشتقة $a^{g(x)}$ تساوي $\ln a\times a^{g(x)}\times g'(x)$، ومشتقة $\log_a g(x)$ تساوي $\frac{g'(x)}{(\ln a)\,g(x)}$ حيث $g(x)>0$.

• لاحظ ظهور $\ln a$ كعامل إضافي مقارنة بالأساس الطبيعي $e$.

من أين يأتي $\ln a$؟ نستعمل خصائص اللوغاريتمات لكتابة $a^x$ بدلالة الأساس $e$: $a^x=e^{x\ln a}$. ثم نشتق بقاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}(e^{x\ln a})=e^{x\ln a}\times\ln a=a^x\ln a$. أمثلة: مشتقة $8^{5x}$ هي $(5\ln 8)\,8^{5x}$، ومشتقة $6^{x^2}$ هي $(2x\ln 6)\,6^{x^2}$.

• تم اشتقاق هذه القاعدة باستخدام صيغة تغيير الأساس: $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$.

اللوغاريتم الاعتيادي يُكتب عادة من دون أساس، وأساسه $10$. لذلك مشتقة $f(x)=\log(\cos x)$ هي $\frac{-\sin x}{(\ln 10)\cos x}=-\frac{\tan x}{\ln 10}$. وقبل اشتقاق لوغاريتم ناتج قسمة يمكن استعمال قانون القسمة في اللوغاريتمات: $\log_2\frac{x^2}{x-1}=\log_2 x^2-\log_2(x-1)$، فتصبح المشتقة $\frac{2}{(\ln 2)x}-\frac{1}{(\ln 2)(x-1)}$.

في بعض الحالات، لا يمكن تمثيل العلاقة بين $x$ و $y$ كاقتران واحد، فنلجأ للوسيط $t$.

مشتقة المعادلة الوسيطية: إذا كان $x=h(t)$ و $y=g(t)$، فإن: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \quad \frac{dx}{dt} \neq 0$

لماذا نحتاج إلى المعادلة الوسيطية؟ بعض المنحنيات لا تحقق اختبار الخط الرأسي، فلا يمكن إيجاد علاقة واحدة في صورة $y=f(x)$ تربط جميع قيم $x$ بقيم $y$ المناظرة لها. لكن يمكن كتابة كل من الإحداثيين في صورة اقتران بمتغير ثالث: $x=h(t)$ و $y=g(t)$. يسمى $t$ المتغير الوسيط لأن كل قيمة له تحدد قيمة لـ $x$ وقيمة لـ $y$، وليس شرطًا أن يمثل الزمن. وتُحدد قيم $t$ بفترة تسمى مجال الوسيط، لأن النقاط على المنحنى قد تتكرر بعدها.

لإيجاد ميل المماس عند نقطة معينة:

1. اشتق $y$ بالنسبة لـ $t$.
2. اشتق $x$ بالنسبة لـ $t$.
3. اقسم المشتقتين للحصول على الميل بدلالة $t$.

مثلًا، للمنحنى $x=3\cos t,\ y=2\sin 2t$ حيث $0\le t\le 2\pi$: $\frac{dx}{dt}=-3\sin t$ و $\frac{dy}{dt}=4\cos 2t$، ومنه $\frac{dy}{dx}=\frac{4\cos 2t}{-3\sin t}$. والقاعدة نفسها ناتجة من قاعدة السلسلة: $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}$، ثم القسمة على $\frac{dx}{dt}$.

إذا طلب السؤال ميل المماس عند نقطة $(x, y)$، يجب أولاً إيجاد قيمة الوسيط $t$ المقابلة لهذه النقطة بالتعويض في المعادلات الأصلية.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–8 وأسئلة نهاية الدرس في آخر بطاقة.

• سؤال: أجد مشتقة الاقتران $f(x) = e^{4x+2}$؟

• سؤال: أجد معادلة المماس لمنحنى $f(x) = 2^x$ عند $x=0$؟

• سؤال: إذا كان $x=t^2$ و $y=2t$، أجد $dy/dx$ بدلالة $t$؟

• سؤال: أثبت أن مشتقة $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ هي $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$؟

• سؤال: أجد سرعة جسيم يتحرك وفق العلاقة $s(t) = \ln(t^2-2t+1.9)$ عندما تكون سرعته صفراً؟