ملخص الاشتقاق الضمني، الرياضيات

الاشتقاق الضمني

• مسألة اليوم: يقود سائق سيارته في اتجاه لافتة على طريق سريع كما في الشكل المجاور.
• إذا كانت $\theta$ زاوية رؤية السائق للافتة، و $x$ المسافة بينه وبين اللافتة بالأمتار، وكانت العلاقة التي تربط $\theta$ بـ $x$ هي: $\tan \theta = \frac{4x}{x^2 + 252}$.

مفهوم أساسي

• العلاقة الضمنية ومشتقاتها: بافتراض أنَّ معادلةً تُعرّف $y$ ضمنيًا بوصفه اقترانًا بالنسبة إلى $x$، فإنَّه يُمكن إيجاد $\frac{dy}{dx}$ باتباع الخطوات الآتية: - الخطوة 1: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$، مراعيًا استعمال قاعدة السلسلة عند اشتقاق حدود تتضمَّن المتغيّر $y$.
• الخطوة 2: أُرتب حدود المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود التي تحوي $\frac{dy}{dx}$ في طرف المعادلة الأيسر، والحدود الأخرى في طرف المعادلة الأيمن.
• الخطوة 3: أُخرج $\frac{dy}{dx}$ عاملًا مشتركًا من حدود طرف المعادلة الأيسر.
• الخطوة 4: أحلُّ المعادلة بالنسبة إلى $\frac{dy}{dx}$.

المشتقة الثانية للعلاقات الضمنية

• تعلّمتُ في الأمثلة السابقة استعمال الاشتقاق الضمني لإيجاد $\frac{dy}{dx}$.
• وسأتعلم الآن كيف أجد $\frac{d^2y}{dx^2}$ باستعمال الاشتقاق الضمني، وذلك باشتقاق $\frac{dy}{dx}$ بالنسبة إلى المتغيّر $x$، علماً بأنّه إذا احتوت المشتقة الأولى على $y$، فإنّ $\frac{d^2y}{dx^2}$ ستحتوي على الرمز $\frac{dy}{dx}$ الذي يُمكن حذفه بتعويض قيمته.