الاشتقاق الضمني

في الاقترانات التي درسناها حتى الآن يُكتب $y$ صراحة بدلالة $x$، مثل $y=x^3-8x$ و $y=\frac{7x}{x^2+9}$. لكن توجد معادلات مثل $x^3+y^3-9xy=0$ يصعب (أو لا يمكن) كتابتها بصورة صريحة $y=f(x)$، لأنها تحوي في داخلها أكثر من اقتران: منحناها يتكون من ثلاثة اقترانات لا يمكن كتابتها بصورة صريحة. لذلك تمثل هذه المعادلة علاقة ضمنية. والسؤال: كيف نجد $\frac{dy}{dx}$ لعلاقة لا يمكن كتابتها في صورة $y=f(x)$؟

الاشتقاق الضمني: هو أسلوب لاشتقاق المعادلات التي تعرّف y ضمنياً بوصفه اقتراناً بالنسبة للمتغير x، وذلك باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة لـ x مع تطبيق قاعدة السلسلة عند اشتقاق حدود y.

خطوات الاشتقاق الضمني:

1. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$ (تذكر: مشتقة $y^2$ هي $2y \frac{dy}{dx}$).
2. رتب الحدود بحيث تصبح الحدود التي تحتوي $\frac{dy}{dx}$ في طرف واحد.
3. أخرج $\frac{dy}{dx}$ عاملاً مشتركاً.
4. اجعل $\frac{dy}{dx}$ موضوعاً للقانون.

ينسى الكثير من الطلاب ضرب مشتقة حدود y بالرمز $dy/dx$. تذكر دائماً أن y هو اقتران لـ x، لذا نطبق قاعدة السلسلة.

مثال: في $x^2+y^2=4$ نشتق الطرفين بالنسبة إلى $x$: مشتقة $x^2$ هي $2x$، ومشتقة $y^2$ هي $2y\frac{dy}{dx}$ بقاعدة السلسلة، ومشتقة الثابت $4$ صفر. إذن $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$، ومنه $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. وفي $\sin x+\cos y=2x-3y$ نحصل بعد الاشتقاق على $\cos x-\sin y\frac{dy}{dx}=2-3\frac{dy}{dx}$، ثم نجمع حدود $\frac{dy}{dx}$ في طرف ونخرجها عاملًا مشتركًا: $\frac{dy}{dx}(3-\sin y)=2-\cos x$، فيكون $\frac{dy}{dx}=\frac{2-\cos x}{3-\sin y}$.

عندما تحوي المعادلة ضربًا أو قسمة نستعمل قاعدتي مشتقة الضرب ومشتقة القسمة إضافة إلى قاعدة السلسلة. مثلًا، مشتقة الحد $2xy$ هي $2x\frac{dy}{dx}+2y$. ومن الأخطاء الشائعة عند اشتقاق $\sin(x+y)$ اشتقاق الاقتران المثلثي من دون اشتقاق الزاوية؛ فالصحيح أن $\frac{d}{dx}\sin(x+y)=\cos(x+y)\left(1+\frac{dy}{dx}\right)$، لأن مشتقة الزاوية $x+y$ بالنسبة إلى $x$ هي $1+\frac{dy}{dx}$.

يمكننا إيجاد ميل المماس لمنحنى علاقة ضمنية عند أي نقطة $(x_1, y_1)$ تحقق المعادلة. الميل هو قيمة المشتقة الأولى عند تلك النقطة.

عند طلب ميل المماس عند نقطة معينة، يفضل تعويض إحداثيات النقطة مباشرة بعد خطوة الاشتقاق وقبل إعادة ترتيب المعادلة لجعل $dy/dx$ موضوعاً للقانون، فهذا يسهل الحسابات ويقلل الأخطاء.

لإيجاد معادلة المماس، نستخدم صيغة الميل ونقطة: $y - y_1 = m(x - x_1)$ حيث $m$ هو ميل المماس المحسوب بالاشتقاق الضمني.

إذا أعطيت قيمة x فقط، يجب تعويضها في العلاقة الأصلية لإيجاد قيم y المقابلة قبل البدء بالاشتقاق.

قد يقابل القيمة نفسها من $x$ أكثر من نقطة. لإيجاد ميل مماس منحنى $y^2=x$ عندما $x=4$ نشتق أولًا: $2y\frac{dy}{dx}=1$، ومنه $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}$. ثم نعوض $x=4$ في العلاقة الأصلية فنجد $y^2=4$، أي $y=\pm 2$. إذن يوجد ميلان: عند $(4,2)$ الميل $\frac{1}{4}$، وعند $(4,-2)$ الميل $-\frac{1}{4}$؛ ولكل نقطة مماس خاص بها.

مثال على معادلة المماس: لمنحنى $x^2-xy+y^2=7$ عند النقطة $(-1,2)$، نشتق الطرفين مستعملين قاعدة الضرب في الحد $xy$: $2x-\left(x\frac{dy}{dx}+y\right)+2y\frac{dy}{dx}=0$. نرتب ونخرج العامل المشترك: $(2y-x)\frac{dy}{dx}=y-2x$، ومنه $\frac{dy}{dx}=\frac{y-2x}{2y-x}$. بالتعويض بالنقطة يكون الميل $m=\frac{4}{5}$، ثم بصيغة الميل ونقطة: $y-2=\frac{4}{5}(x+1)$، أي $y=\frac{4}{5}x+\frac{14}{5}$.

لإيجاد المشتقة الثانية $\frac{d^2y}{dx^2}$ لعلاقة ضمنية، نشتق المشتقة الأولى بالنسبة لـ $x$. ستظهر $\frac{dy}{dx}$ ضمن الناتج، ويجب تعويض قيمتها التي حصلنا عليها سابقاً.

مثال: إذا كان $2x^3-3y^2=8$، فالاشتقاق الأول يعطي $6x^2-6y\frac{dy}{dx}=0$، ومنه $\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y}$. نشتق هذا الناتج بقاعدة القسمة: $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2xy-x^2\frac{dy}{dx}}{y^2}$. ظهر الرمز $\frac{dy}{dx}$ لأن المشتقة الأولى تحوي $y$، فنحذفه بتعويض قيمته $\frac{x^2}{y}$، فنحصل على $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2xy^2-x^4}{y^3}$.

الخطأ الأكثر شيوعاً في المشتقة الثانية للوسيطية هو نسيان القسمة على $dx/dt$ في الخطوة الأخيرة.

المشتقة الثانية للمعادلة الوسيطية

إذا كانت $x=h(t)$ و $y=g(t)$، فإن المشتقة الثانية تُعطى بالقانون: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$ حيث نشتق المشتقة الأولى بالنسبة للوسيط $t$ ثم نقسم الناتج على مشتقة $x$ بالنسبة لـ $t$.

بما أن $\frac{dy}{dx}$ في المعادلة الوسيطية اقتران بالمتغير $t$، فإن إيجاد المشتقة الثانية يكون ضمنيًا بالنسبة إلى $x$؛ لذلك نشتق بالنسبة إلى $t$ ثم نقسم على $\frac{dx}{dt}$، بشرط $\frac{dx}{dt}\neq 0$. وتبسيط المشتقة الأولى أولًا يسهل الخطوة التالية. مثلًا، للمعادلة $x=t^3+3t^2,\ y=t^4-8t^2$: $\frac{dy}{dx}=\frac{4t^3-16t}{3t^2+6t}=\frac{4}{3}(t-2)$، فمشتقتها بالنسبة إلى $t$ هي $\frac{4}{3}$، ومنه $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{4}{3(3t^2+6t)}$، وعند $t=1$ تساوي $\frac{4}{27}$.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–6.