ملخص الأعداد المركبة، الرياضيات

الوحدة التخيُّلية والعدد التخيُّلي

• تعلَّمتُ سابقًا أنَّه لا يوجد حلّ حقيقي للمعادلة التربيعية: $x^2 = -1$؛ لأنَّني إذا حاولتُ حلَّها، فإنَّ الناتج سيكون: $x = \pm\sqrt{-1}$
• يُطلَق على العدد الذي في صورة: $\sqrt{-k}$، حيث $k$ عدد حقيقي موجب، اسم العدد التخيُّلي ⁦(imaginary number)⁩، ويُمكن إيجاد الجذر الرئيس للعدد الحقيقي السالب $(-k)$ على النحو الآتي: $\sqrt{-k} = \sqrt{-1 \times k} = \sqrt{-1} \times \sqrt{k} = i\sqrt{k}$

سعة العدد المركب

• $\arg(z) = \text{Arg}(z) + 2\pi n = \theta + 2\pi n, \quad n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$

مفهوم أساسي

• $\theta = \text{Arg}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$
• إذا وقع العدد المركب $z$ في الربع الثاني، فإنّ سعته تكون زاوية مُنفرجة؛ لذا تُستعمل مُكمّلتها لإيجادها.
• إذا كانت سعة $z$ هي الزاوية المُنفرجة $\theta$، فإنّ مُكمّلتها $\theta'$ هي زاوية حادة.
• لذا يُرسم في الربع الثاني مثلث قائم، أحد رؤوسه $z$، وإحدى زواياه $\theta'$ كما في الشكل المجاور، وتُستعمل النسب المثلثية لإيجاد قياس $\theta'$ .