الأعداد المركبة

في الرياضيات التقليدية، لا يوجد حل حقيقي للجذر التربيعي لعدد سالب لأن مربع أي عدد حقيقي هو موجب دائماً. لحل هذه المشكلة، ابتكر العلماء الوحدة التخيلية.

الوحدة التخيلية: هي العدد $i$ الذي يحقق $i^2 = -1$. ويسمى $i$ الجذر الرئيس للعدد $-1$.

يمكننا الآن إيجاد الجذر الرئيس لأي عدد حقيقي سالب $-k$ (حيث $k > 0$) باستخدام العلاقة: $\sqrt{-k} = i\sqrt{k}$

عند تبسيط قوى الوحدة التخيلية $i^n$، نعتمد على أن:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = -i$
• $i^4 = 1$

من الأخطاء الشائعة تطبيق خاصية $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ مباشرة على الأعداد السالبة. يجب أولاً تحويل الجذور السالبة إلى دلالة $i$ قبل الضرب. مثال: $\sqrt{-9} \times \sqrt{-4} = (3i)(2i) = 6i^2 = -6$، وليس $\sqrt{36} = 6$.

كل من $i$ و $-i$ يُعد جذرًا تربيعيًا للعدد $-1$، لأن $i^2=(-i)^2=-1$، إلا أن $i$ يسمى الجذر الرئيس للعدد $-1$. ويُطلق على العدد الذي في صورة $\sqrt{-k}$، حيث $k$ عدد حقيقي موجب، اسم العدد التخيلي؛ مثل $\sqrt{-16}=4i$ و $\sqrt{-72}=6i\sqrt{2}$. وعند الكتابة يوضع الرمز $i$ على يمين العدد المضروب فيه مثل $5i$، أما إذا كان مضروبًا في متغير أو جذر فيوضع على يساره مثل $2i\sqrt{14}$.

ضرب الأعداد التخيلية: نكتب كل عدد بدلالة $i$ أولًا، ثم نستعمل خاصيتي التبديل والتجميع: $\sqrt{-8}\times\sqrt{-18}=(i\sqrt{8})(i\sqrt{18})=i^2\sqrt{144}=-12$. ولتبسيط قوة عالية للوحدة التخيلية نستعمل خاصية قوة القوة: $i^{15}=(i^2)^7\times i=(-1)^7\times i=-i$؛ لأن $-1$ مرفوعًا إلى أس زوجي يساوي $1$، وإلى أس فردي يساوي $-1$.

يتكون العدد المركب من دمج جزء حقيقي مع جزء تخيلي، مما يوسع نظام الأعداد ليشمل كافة الحلول الممكنة للمعادلات التربيعية.

الصورة القياسية للعدد المركب: هي $z = a + bi$، حيث $a$ هو الجزء الحقيقي (Real part) و $b$ هو الجزء التخيلي (Imaginary part).

الجزء التخيلي هو العدد $b$ وليس $ib$. وعند كتابة العدد في صورة $a+ib$ نقول إنه مكتوب بالصورة القياسية. ومن هذه الصورة نلاحظ أن الأعداد الحقيقية أعداد مركبة أيضًا، لأن أي عدد حقيقي $a$ يُكتب $a+0i$؛ وأن الأعداد التخيلية أعداد مركبة، لأن أي عدد تخيلي $ib$ يُكتب $0+ib$. إذن مجموعة الأعداد المركبة تشمل الأعداد الحقيقية والأعداد التخيلية معًا، إضافة إلى حاصل جمع هذه الأعداد.

يتم تمثيل العدد المركب في مستوى إحداثي خاص يسمى مستوى آرجاند:

• المحور الأفقي ($Re$): يمثل القيم الحقيقية $a$.
• المحور الرأسي ($Im$): يمثل القيم التخيلية $b$.
• يُمثل العدد $z$ كزوج مرتب $(a, b)$ أو كمتجه ينطلق من نقطة الأصل.

عند استخدام خاصية المساواة بين عددين مركبين، تذكر دائماً فصل المعادلة إلى معادلتين مستقلتين: (الحقيقي = الحقيقي) و (التخيلي = التخيلي). لا تخلط بين الأجزاء التي تحتوي على $i$ والأجزاء التي لا تحتوي عليها.

مثال على المساواة: لإيجاد قيمتي $x$ و $y$ الحقيقيتين اللتين تجعلان $2x-6+(3y+2)i=4x+8i$ صحيحة، نساوي الجزأين الحقيقيين: $2x-6=4x$، ومنه $x=-3$؛ ثم نساوي الجزأين التخيليين: $3y+2=8$، ومنه $y=2$.

المرافق: مرافق العدد $z=a+ib$ هو $\bar{z}=a-ib$. وعند تمثيل العدد ومرافقه في المستوى نفسه يكون كل منهما انعكاسًا للآخر في المحور الحقيقي؛ فمثلًا يمثل الزوج المرتب $(-3,5)$ العدد $-3+5i$، ويمثل $(-3,-5)$ مرافقه. ويسمى المستوى المركب أيضًا مستوى آرجاند نسبة إلى عالم الرياضيات جون آرجاند الذي ابتكره عام 1806م.

لكل عدد مركب خاصيتان هندسيتان أساسيتان: المقياس (الطول) والسعة (الاتجاه).

مقياس العدد المركب: هو المسافة بين نقطة الأصل والنقطة الممثلة للعدد، ويُحسب بالقانون: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

يُستعمل قانون المسافة بين نقطتين لإيجاد المقياس، وعند تمثيل العدد في صورة متجه يكون المقياس هو طول المتجه. مثلًا، $|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$، و $|12i|=\sqrt{0^2+12^2}=12$.

أما السعة الرئيسة $Arg(z)$ فهي الزاوية $\theta$ بالراديان، وتعتمد طريقة حسابها على الربع الذي يقع فيه العدد:

1. الربع الأول ($a>0, b>0$): $\theta = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$
2. الربع الثاني ($a<0, b>0$): $\theta = \pi - \tan^{-1}(\frac{b}{|a|})$
3. الربع الثالث ($a<0, b<0$): $\theta = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{|b|}{|a|}))$
4. الربع الرابع ($a>0, b<0$): $\theta = -\tan^{-1}(\frac{|b|}{a})$

لماذا تختلف الصيغة حسب الربع؟ يوجد عدد لا نهائي من الزوايا في الوضع القياسي لها ضلع الانتهاء نفسه، ويُرمز إلى أي منها بالرمز $arg(z)$، حيث $arg(z)=Arg(z)+2\pi n$؛ لذلك نعتمد السعة الرئيسة $Arg(z)$ الواقعة في الفترة $-\pi<\theta\le\pi$. في الربع الثاني تكون السعة زاوية منفرجة، فنرسم مثلثًا قائمًا نجد به مكملتها الحادة ثم نطرحها من $\pi$. أما في الربعين الثالث والرابع فالسعة تساوي معكوس سعة المرافق الواقع في الربع الأول أو الثاني، لأن للزاويتين القياس نفسه لكن باتجاهي دوران متعاكسين. مثلًا، $Arg(-3+8i)=\pi-\tan^{-1}\frac{8}{3}\approx 1.93$، و $Arg(8-4i)=-\tan^{-1}\frac{4}{8}\approx -0.46$.

يجب ضبط الآلة الحاسبة على نظام الراديان (Radian) عند حساب السعة، لأن السعة تُقاس بالراديان، والسعة الرئيسة تقع في الفترة $(-\pi, \pi]$.

باستخدام النسب المثلثية في المثلث القائم، يمكننا التعبير عن الجزء الحقيقي $a = r \cos \theta$ والجزء التخيلي $b = r \sin \theta$.

شرط مهم: إذا لم تكن الزاوية المستعملة سعة رئيسة فإن العدد لا يُعد مكتوبًا بالصورة المثلثية، وعندئذ نضيف $2\pi n$ أو نطرحه لنحصل على سعة في الفترة $-\pi<\theta\le\pi$. مثلًا، لكتابة $z=-2-5i$ بالصورة المثلثية نجد المقياس $r=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2}=\sqrt{29}$، ثم السعة؛ وبما أن العدد يقع في الربع الثالث فإن $Arg(z)=-\left(\pi-\tan^{-1}\frac{5}{2}\right)\approx -1.95$، فيكون $z\approx\sqrt{29}\left(\cos(-1.95)+i\sin(-1.95)\right)$.

الصورة المثلثية: هي طريقة لكتابة العدد المركب على شكل: $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$، حيث $r$ هو المقياس و $\theta$ هي السعة الرئيسة.

تتميز هذه الصورة بسهولة تحديد خصائص العدد الهندسية بمجرد النظر إلى المعاملات داخل القوسين.

عند كتابة الحل النهائي بالصورة المثلثية، اترك الزوايا داخل $\cos$ و $\sin$ كما هي ولا تحسب قيمتها العشرية، إلا إذا طلب السؤال العودة للصورة القياسية.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–7.