ملخص المحل الهندسي في المستوى المركب، الرياضيات

الدائرة

• $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r$

المنصف العمودي للقطعة المستقيمة

• مفهوم أساسي: المحل الهندسي في المستوى المركب للنقطة $z$ التي تُحقّق المعادلة: $|z - (a + ib)| = |z - (c + id)|$ هو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين: $(a, b)$، و$(c, d)$.

الشعاع الذي يبدأ بالنقطة (0, 0)

• إن سعة جميع الأعداد المركبة التي تُحقّق المعادلة: $\text{Arg}(z) = \theta_0$ هي $\theta_0$.
• لذا فإنها تقع على شعاع ⁦(ray)⁩ يصنع زاوية قياسها $\theta_0$ راديان مع المحور الحقيقي الموجب، ويبدأ (الشعاع) بنقطة الأصل، ويمتدّ بصورة لانهائية في أحد اتجاهيه كما في الشكل المجاور.

الشعاع الذي يبدأ بالنقطة

• $\text{Arg}(z_2 - z_1) = \tan^{-1} \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right) = \theta$
• ومن ثَمَّ، فإنَّ الأعداد المُركبة $z$ التي تُحقّق المعادلة: $\theta = \text{Arg}(z - (a + ib))$ تقع جميعها على الشعاع الذي بدايته $(a, b)$، وهو يصنع زاوية قياسها $\theta$ راديان مع مستقيم يوازي المحور الحقيقي كما في الشكل المجاور.
• وبما أنَّ ناتج تعويض نقطة بداية الشعاع في المعادلة هو $\text{Arg}(0)$ (قيمة غير مُعرَّفة)، فإنَّ نقطة بداية الشعاع تُستثنى، ويُعبَّر عنها بدائرة مُفرغة.

تمثيل المتباينات في المستوى المُركب

• بدايةً، يُرسَم منحنى المعادلة المرتبطة بالمتباينة بعد استعمال رمز المساواة ⁦(=)⁩ بدلًا من رمز المتباينة (, ≤, ≥)، حيث تُمثِّل المعادلة الناتجة منحنى يُسمّى المنحنى الحدودي.
• وهو منحنى يُقسِّم المستوى المُركب إلى جزأين، أحدهما يحوي جميع الأعداد المُركبة التي تُحقّق المتباينة.
• قد يكون المنحنى الحدودي جزءًا من المحل الهندسي إذا تضمَّنت المتباينة الرمز ≥، أو الرمز ≤؛ فيُرسم المنحنى الحدودي متصلًا.
• وقد لا يكون المنحنى الحدودي جزءًا من المحل الهندسي إذا تضمَّنت المتباينة الرمز ؛ فيُرسم المنحنى الحدودي مُتقطِّعًا.