ملخص تكامل اقترانات خاصة، الرياضيات

تكامل الاقترانات الأُسّية

• $\int f(x)dx = F(x) + C$
• $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

مفهوم أساسي

• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int k^x dx = \frac{k^x}{\ln k} + C$
• $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$
• $\int k^{ax+b} dx = \frac{k^{ax+b}}{a \ln k} + C$

مفهوم أساسي: صيغ تكاملات مثلثية (1)

• صيغ تكاملات مثلثية: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$ $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$ $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$
• 💡 أتعلّم: إذا كان $f(x) = \cos x$؛ فإنّ $f'(x) = -\sin x$؛ وهذا يعني أنّ $\int (-\sin x) dx = \cos x + C$ ومن ثمّ، فإنّ $\int (\sin x) dx = -\cos x + C$.
• علمًا بأنّه يُمكن إيجاد بقية صيغ تكاملات الاقترانات المثلثية بالطريقة نفسها.

مفهوم أساسي: صيغ تكاملات اقترانات مثلثية (2)

• صيغ تكاملات اقترانات مثلثية: إذا كان ⁦a, b⁩ عددين حقيقيين، و $a \neq 0$، فإنّ:
• $\int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cos (ax + b) + C$
• $\int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax + b) + C$
• $\int \sec^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + C$
• $\int \csc^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + C$
• $\int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + C$
• $\int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \csc (ax + b) + C$

تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

• $\frac{d}{dx} (\ln (-x)) = \frac{1}{-x} \times -1 = \frac{1}{x}$
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C, x \neq 0$
• $\frac{d}{dx} (\ln |f(x)|) = \frac{f'(x)}{f(x)}$

مفهوم أساسي: تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

• تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي: إذا كان ⁦a, b⁩ عددين حقيقيين، و $a \neq 0$، وكان $f(x)$ اقترانًا قابلاً للاشتقاق، فإنّ:
• $\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln |ax+b| + C, x \neq -\frac{b}{a}$
• $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C, f(x) \neq 0$

مفهوم أساسي: الإزاحة

• الإزاحة: إذا تحرّك جسم في مسار مستقيم وَفق اقتران الموقع $s(t)$، فإنّ سرعته هي: $v(t) = s'(t)$، وإزاحته في الفترة الزمنية $[t_1, t_2]$ هي: $s(t_2) - s(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$
• أمّا إذا كان المطلوب إيجاد المسافة الكلية التي قطعها جسم خلال فترة زمنية، فيجب تحديد الفترات الزمنية التي تكون عندها $v(t) \leq 0$ (يتحرّك الجسم إلى الجهة السالبة)، وتحديد الفترات الزمنية التي تكون عندها $v(t) \geq 0$ (يتحرّك الجسم إلى الجهة الموجبة).
• وفي كلتا الحالتين، تُحسب المسافة الكلية بإيجاد تكامل السرعة القياسية $|v(t)|$ على النحو الآتي:

مفهوم أساسي: المسافة الكلية المقطوعة

• المسافة الكلية المقطوعة: إذا تحرّك جسم في مسار مستقيم وَفق اقتران الموقع $s(t)$، فإنّ سرعته هي: $v(t) = s'(t)$، والمسافة الكلية ⁦(d)⁩ التي قطعها في الفترة الزمنية $[t_1, t_2]$ هي: $d = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$