المحل الهندسي في المستوى المركب

تبدأ فكرة الدائرة من مفهوم المسافة الثابتة. في المستوى المركب، يعبر المقياس $|z - z_0|$ عن المسافة بين النقطة المتحركة $z$ والنقطة الثابتة $z_0$.

الدائرة: هي المحل الهندسي لنقطة تتحرك في مسار يبعد مسافة ثابتة $r$ عن نقطة ثابتة تسمى المركز $z_0$.

• الصورة العامة للمعادلة: $|z - (a + ib)| = r$
• المركز: النقطة $(a, b)$ في المستوى المركب.
• نصف القطر: القيمة الثابتة $r$.
• الصيغة الديكارتية: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.

يخطئ الكثيرون في تحديد المركز عند وجود إشارات موجبة داخل القوس؛ تذكر دائماً كتابة المعادلة على صورة $|z - z_0|$ لاستخراج المركز بشكل صحيح.

لماذا يمثل المقياس دائرة؟ المحل الهندسي هو مجموعة النقاط في المستوى المركب التي يمكن لنقطة متحركة ضمن شرط أو شروط (معادلة أو متباينة) أن تكون منها. الأعداد التي تحقق $|z|=r$ تبعد جميعها مسافة $r$ وحدة عن نقطة الأصل، لأن مقياس كل منها $r$؛ فمحلها دائرة مركزها نقطة الأصل. وإذا كان المركز $z_0=x_0+iy_0$، فإن نظرية فيثاغورس تعطي $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r$، وطرفها الأيسر هو $|z-z_0|$ لأن $z-z_0=(x-x_0)+i(y-y_0)$. إذن المعادلة $|z-z_0|=r$ تمثل دائرة مركزها $z_0$ ونصف قطرها $r$.

مثال: المعادلة $|z-2+8i|=3$ نكتبها $|z-(2-8i)|=3$، فهي دائرة مركزها $(2,-8)$ ونصف قطرها $3$ وحدات. ولكتابتها بالصيغة الديكارتية نعوض $z=x+iy$ ونجمع الحدود المتشابهة: $|(x-2)+(y+8)i|=3$، ثم نستعمل صيغة المقياس: $\sqrt{(x-2)^2+(y+8)^2}=3$، وبتربيع الطرفين: $(x-2)^2+(y+8)^2=9$.

عندما تتساوى المسافة بين نقطة متحركة $z$ ونقطتين معلومتين $z_1$ و $z_2$، فإن المسار الناتج يكون خطاً مستقيماً ينصف القطعة الواصلة بينهما عمودياً.

معادلة المنصف: تكتب المعادلة على الصورة: $|z - z_1| = |z - z_2|$، حيث $z_1$ و $z_2$ هما طرفا القطعة المستقيمة.

• الخطوات العملية للحل:

1. حدد النقطتين $z_1$ و $z_2$.
2. عوض $z = x + iy$.
3. استخدم قانون المقياس وتربيع الطرفين للوصول للمعادلة الديكارتية $Ax + By + C = 0$.

للتأكد من صحة رسم المنصف العمودي، يجب أن يمر الخط بنقطة المنتصف بين $z_1$ و $z_2$ ويكون عمودياً على الخط الواصل بينهما.

مثال: المعادلة $|z-3|=|z-2i|$ تُكتب $|z-(3+0i)|=|z-(0+2i)|$، فهي المنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين $(3,0)$ و $(0,2)$. بتعويض $z=x+iy$ وصيغة المقياس: $\sqrt{(x-3)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-2)^2}$. بتربيع الطرفين وفك الأقواس ثم طرح $x^2$ و $y^2$ من الطرفين: $-6x+9=-4y+4$، أي $6x-4y-5=0$.

يمثل الشعاع مجموعة الأعداد المركبة التي لها سعة ثابتة $\theta$ تبدأ من نقطة معينة.

لماذا يكون المحل شعاعًا لا مستقيمًا؟ جميع الأعداد التي تحقق $Arg(z)=\theta_0$ سعتها $\theta_0$، فتقع على شعاع يبدأ بنقطة الأصل ويصنع زاوية $\theta_0$ مع المحور الحقيقي الموجب، ويمتد بلا نهاية في اتجاه واحد. أما الأعداد الواقعة على الطرف الآخر من المستقيم فسعتها $\theta_0\pm\pi$، لذا تُستثنى من المحل الهندسي.

معادلة الشعاع: $Arg(z - (a + ib)) = \theta$، حيث $(a, b)$ هي نقطة البداية، و $\theta$ هي الزاوية مع اتجاه المحور الحقيقي الموجب.

• نقطة البداية $(a, b)$ دائماً تُستثنى وترسم بدائرة مفرغة لأن السعة عندها غير معرفة.
• الزاوية $\theta$ تقاس بالراديان وتكون ضمن المدى $(-\pi, \pi]$.
• إذا كانت $\theta = 0$، يكون الشعاع موازياً للمحور الحقيقي باتجاه اليمين.

الشعاع الذي يبدأ بنقطة غير الأصل: إذا كان $z_1=x_1+iy_1$ و $z_2=x_2+iy_2$، فإن سعة $z_2-z_1$ تساوي قياس الزاوية التي يصنعها المستقيم الواصل بين العددين مع مستقيم يوازي المحور الحقيقي. لذلك تقع الأعداد التي تحقق $Arg(z-(a+ib))=\theta$ على شعاع يبدأ بالنقطة $(a,b)$. مثلًا، $Arg(z+1+2i)=\frac{3\pi}{4}$ تُكتب $Arg(z-(-1-2i))=\frac{3\pi}{4}$، فهي شعاع يبدأ بالنقطة $(-1,-2)$ ولا يشملها، ويصنع زاوية $\frac{3\pi}{4}$ مع المستقيم الموازي للمحور الحقيقي.

المتباينة لا تمثل خطاً أو منحنى فقط، بل تمثل منطقة كاملة من المستوى المركب.

الخطوة الأولى: المنحنى الحدودي. نرسم منحنى المعادلة الناتجة من وضع رمز المساواة بدل رمز المتباينة. هذا المنحنى يقسم المستوى المركب إلى جزأين، أحدهما يحوي جميع الأعداد التي تحقق المتباينة، وقد يكون مستقيمًا أو شعاعًا أو دائرة أو أي منحنى آخر.

نظام المتباينات: منطقة حل نظام متباينات هي المنطقة المشتركة (التقاطع) التي تحقق جميع المتباينات في آن واحد.

• المنحنى الحدودي المتصل: يستخدم عند وجود مساواة ($\le, \ge$).
• المنحنى الحدودي المتقطع: يستخدم عند عدم وجود مساواة ($<, >$).

• منطقة الحل: يتم تحديدها باختبار نقطة (غالباً نقطة الأصل $0+0i$) أو بالفهم الهندسي (داخل الدائرة أو خارجها).

أمثلة: في $|z-3|>5$ يكون الحد دائرة مركزها $(3,0)$ ونصف قطرها $5$، تُرسم متقطعة لعدم وجود مساواة، والحلول خارجها لأنها تبعد عن المركز أكثر من $5$ وحدات. وفي $|z-7|\le|z+3i|$ يكون الحد المنصف العمودي للقطعة بين $(7,0)$ و $(0,-3)$ ويُرسم متصلًا. نختبر $z=0+0i$: $\sqrt{49}\le\sqrt{9}$، أي $7\le 3$ وهذا غير صحيح، فالحلول في جهة المنصف التي لا تحوي نقطة الأصل. وفي $\frac{\pi}{6}\le Arg(z)\le\frac{\pi}{2}$ يكون الحد شعاعين يبدآن بنقطة الأصل، والحلول هي الجزء المحصور بينهما.

تدريب مهم: بعد هذا القسم، راجع أمثلة 1–3 وأسئلة نهاية الدرس في آخر بطاقة.

• سؤال: أجد المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة $|z| = 10$ ثم أجد معادلته الديكارتية؟

• سؤال: أرسم المحل الهندسي للمعادلة $Arg(z - 4i) = -\frac{3\pi}{4}$؟

• سؤال: مثل في المستوى المركب منطقة الحل للمتباينة $|z - 2| < |z + 2|$؟

• سؤال: كيف نحدد ما إذا كان المنحنى الحدودي متصلاً أم متقطعاً؟

• سؤال: أثبت أن المعادلة $2|z - 6 + 9i| = |z - 6|$ تمثل دائرة وأوجد مركزها؟