ملخص التكامل بالتعويض، الرياضيات

التكامل بالتعويض

• تعلَّمتُ سابقًا أنَّه يُمكن استعمال التكامل لإيجاد اقتران أصلي للاقتران المُكامل، وذلك بالبحث عن اقتران مشتقته تعطي الاقتران المُكامل.
• ولكن، لا يُمكن إيجاد اقتران أصلي لبعض التكاملات مباشرة، مثل: $\int 2x\sqrt{x^2 + 6} dx$.
• لذا نلجأ إلى طرائق أخرى للتكامل، منها طريقة التكامل بالتعويض ⁦(integration by substitution)⁩، التي تتضمَّن استعمال مُتغيّر جديد بدلًا من مُتغيّر التكامل.
• الخطوة 1: افتراض أنَّ $u$ هو المقدار أسفل الجذر التربيعي؛ أي إنَّ: $u = x^2 + 6$.
• الخطوة 2: إيجاد مشتقة $u$، وهي: $\frac{du}{dx} = 2x$.
• الخطوة 3: حُلَّ المعادلة لـ $dx$: $dx = \frac{du}{2x}$.
• الخطوة 4: استعمال المُتغيّر $u$ بدلًا من المُتغيّر $x$ في التكامل.

مفهوم أساسي

• إذا كان: $u = g(x)$ اقترانًا قابلاً للاشتقاق، ومداه الفترة $I$، وكان $f$ اقترانًا مُتَّصلاً على $I$، فإنَّ: $\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du$

خطوات حلَّ التكامل بالتعويض

• الخطوة 1: تحديد التعويض $u$ الذي يُمكن به تبسيط المُكامل.
• الخطوة 2: التعبير عن المُكامل بدلالة $u$ و $du$، وحذف مُتغيّر التكامل الأصلي ومشتقته حذفًا كاملًا، ثمَّ كتابة المُكامل الجديد في أبسط صورة.
• الخطوة 3: إيجاد التكامل الجديد.
• الخطوة 4: التعبير عن الاقتران الأصلي الذي تمَّ إيجاده في الخطوة السابقة باستعمال المُتغيّر الأصلي عن طريق التعويض.

التكامل بالتعويض للتكاملات المحدودة

• مفهوم أساسي: إذا كان $g'$ مُتَّصلاً على $[a, b]$، وكان $f$ مُتَّصلاً على مدى $u = g(x)$، فإنَّ: $\int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$