تكامل اقترانات خاصة

التكامل عملية عكسية للاشتقاق: إذا كان $F(x)$ اقترانًا أصليًّا للاقتران $f(x)$ فإن $F'(x) = f(x)$، ويُكتب التكامل غير المحدود على الصورة $\int f(x)\,dx = F(x) + C$، حيث يُسمّى $f(x)$ المُكامَل، و $x$ متغيّر التكامل، و $C$ ثابت التكامل. ويمكن التحقق من صحة أي ناتج باشتقاقه ثم مقارنة المشتقة بالمُكامَل.

أما التكامل المحدود $\int_a^b f(x)\,dx$ فيكون فيه $a$ الحد السفلي و $b$ الحد العلوي، ويُحسب للاقتران المتصل $f(x)$ على النحو الآتي: $\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$ ويحتوي ناتج التكامل غير المحدود على الثابت $C$ لأن مشتقة الثابت صفر، أما التكامل المحدود فلا يُضاف إليه $C$ لأنه يُحذف عند طرح قيمة الاقتران الأصلي عند الحد السفلي من قيمته عند الحد العلوي.

بما أن التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان، نستنتج صيغ تكامل الاقترانات الأسية من مشتقاتها المعروفة. فمثلًا $\frac{d}{dx}(e^{ax+b}) = ae^{ax+b}$، أي أن الاشتقاق يُخرج المعامل $a$ مضروبًا، لذلك نقسم على $a$ عند التكامل، ولهذا يُشترط $a \neq 0$. وأبسط حالة هي $\int e^x\,dx = e^x + C$.

قاعدة التكامل الأسي الطبيعي: $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$ حيث $a \neq 0$.

أما الاقتران الأسي الذي أساسه عدد حقيقي $k$ حيث $k > 0$ و $k \neq 1$، فإن مشتقته $\frac{d}{dx}(k^{ax+b}) = k^{ax+b} \times \ln k \times a$، لذلك نقسم على $a \ln k$:

• $\int k^x dx = \frac{k^x}{\ln k} + C$
• $\int k^{ax+b} dx = \frac{k^{ax+b}}{a \ln k} + C$

ونستعمل مع هذه الصيغ قواعد مساعدة: الثابت المضروب يخرج خارج التكامل $\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$، وتكامل مجموع اقترانين أو الفرق بينهما يساوي مجموع تكامليهما أو الفرق بينهما، وقاعدة القوة $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ حيث $n \neq -1$.

أمثلة محلولة:

1. $\int 2e^{4x+3}\,dx$: الثابت $2$ يخرج، و $a = 4$، إذن $\int 2e^{4x+3}\,dx = 2 \times \frac{1}{4}e^{4x+3} + C = \frac{1}{2}e^{4x+3} + C$.
2. $\int (5^x + 7)\,dx$: نكامل الاقتران الأسي ذا الأساس $5$ ونكامل الثابت، فيكون الناتج $\frac{5^x}{\ln 5} + 7x + C$.

عند وجود جذور تحتوي اقترانات أسية مثل $\sqrt{e^{x+1}}$، حولها دائماً إلى صورة أسية $(e^{x+1})^{1/2}$ ثم اضرب الأسس قبل البدء بعملية التكامل.

فمثلًا لإيجاد $\int \sqrt{e^{x+1}}\,dx$ نكتب المُكامَل في صورة أسية $\int (e^{x+1})^{1/2}\,dx$، وباستعمال قوانين الأسس يصبح $\int e^{(x+1)/2}\,dx$. هنا معامل $x$ في الأس هو $\frac{1}{2}$، والقسمة على $\frac{1}{2}$ تعني الضرب في $2$، إذن الناتج $2e^{(x+1)/2} + C$.

نعرف مشتقات الاقترانات المثلثية الست، ومنها نحصل مباشرة على صيغ تكاملها. فإذا كان $f(x) = \cos x$ فإن $f'(x) = -\sin x$، وهذا يعني أن $\int (-\sin x)\,dx = \cos x + C$، ومن ثمّ $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$. وبالطريقة نفسها نحصل على بقية الصيغ:

• $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ و $\int \cos x\,dx = \sin x + C$
• $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$ و $\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$
• $\int \sec x \tan x\,dx = \sec x + C$ و $\int \csc x \cot x\,dx = -\csc x + C$

يخطئ الكثيرون بنسيان إشارة السالب عند تكامل $\sin x$. تذكر دائماً: ناتج التكامل الذي يبدأ بحرف 'ت' (جتا، ظتا، قتا) يسبقه إشارة سالب.

إذا كانت الزاوية اقترانًا خطيًّا على صورة $ax+b$ حيث $a \neq 0$، فإننا نقسم ناتج التكامل على معامل $x$ (وهو $a$)؛ لأن قاعدة السلسلة تُخرج $a$ مضروبًا عند اشتقاق الاقتران الأصلي:

• $\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C$
• $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C$

• $\int \sec^2(ax+b) dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C$
• $\int \csc^2(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cot(ax+b) + C$
• $\int \sec(ax+b)\tan(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sec(ax+b) + C$
• $\int \csc(ax+b)\cot(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \csc(ax+b) + C$

أمثلة محلولة:

1. $\int 2\sin(4x+3)\,dx = -2 \times \frac{1}{4}\cos(4x+3) + C = -\frac{1}{2}\cos(4x+3) + C$.
2. $\int (3\cos x + \sqrt[3]{x})\,dx$: نكتب الجذر في صورة أسية $x^{1/3}$، ثم نكامل $\cos x$ المضروب في ثابت ونكامل اقتران القوة، فيكون الناتج $3\sin x + \frac{3}{4}x^{4/3} + C = 3\sin x + \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4} + C$.
3. $\int_0^{\pi/12} \sec^2 3x\,dx = \left(\frac{1}{3}\tan 3x\right)\Big|_0^{\pi/12} = \frac{1}{3}\tan\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}\tan 0 = \frac{1}{3}$.

بعض الاقترانات المثلثية لا توجد لها صيغة تكامل مباشرة، مثل: اقترانات الجيب وجيب التمام والظل المرفوعة إلى أُسّ، أو حاصل ضرب اقترانَي جيب أو اقترانَي جيب تمام، أو اقتران جيب مضروب في اقتران جيب تمام. في هذه الحالات نعيد كتابة المُكامَل بصورة مكافئة باستعمال المتطابقات المثلثية حتى يصبح حدودًا جبرية منفصلة لكل منها صيغة معروفة. وأهم المتطابقات حسب شكل المُكامَل:

• تقليص القوة عند وجود مربع الجيب أو مربع جيب التمام: $\sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)$ و $\cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)$.
• فيثاغورس عند وجود مربع الظل أو مربع ظل التمام: $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ و $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$.
• تحويل الضرب إلى جمع عند وجود حاصل ضرب؛ لأنه لا توجد قاعدة لتكامل الضرب: $\sin Ax \cos Bx = \frac{1}{2}(\sin(A-B)x + \sin(A+B)x)$.

مثال على تقليص القوة: نجد $\int_0^\pi \sin^2 x\,dx$.

1. نكتب $\int_0^\pi \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)\,dx$.
2. نكامل الثابت و $\cos(ax+b)$: $\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}\sin 2x\right)\Big|_0^\pi$.
3. بالتعويض: $\frac{1}{2}\left(\pi - \frac{1}{2}\sin 2\pi\right) - \frac{1}{2}\left(0 - \frac{1}{2}\sin 0\right) = \frac{1}{2}\pi$.

مثال على تحويل الضرب إلى جمع: نجد $\int \sin 4x \cos 5x\,dx$.

1. $\sin 4x \cos 5x = \frac{1}{2}\left(\sin(4x - 5x) + \sin(4x + 5x)\right)$.
2. نستعمل متطابقة الزاوية السالبة $\sin(-x) = -\sin x$، فيصبح المُكامَل $\frac{1}{2}\left(-\sin x + \sin 9x\right)$.
3. نكامل كل حد: $\frac{1}{2}\left(\cos x - \frac{1}{9}\cos 9x\right) + C$.

عند وجود مقام بصورة $(1 \pm \cos x)$، اضرب في المرافق لتحويل المقام إلى حد واحد ($ \sin^2 x$) باستخدام متطابقة فيثاغورس، ثم وزع البسط على المقام.

مثال على الضرب في المرافق: نجد $\int \frac{dx}{1 - \cos x}$.

1. نضرب البسط والمقام في المرافق $1 + \cos x$: $\int \frac{1 + \cos x}{1 - \cos^2 x}\,dx$.
2. من متطابقة فيثاغورس $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$، فيصبح $\int \frac{1 + \cos x}{\sin^2 x}\,dx$.
3. نوزع المقام على البسط: $\int \left(\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin x} \times \frac{\cos x}{\sin x}\right)dx = \int (\csc^2 x + \csc x \cot x)\,dx$.
4. نكامل: $-\cot x - \csc x + C$.

وتكمن أهمية هذا الإجراء في عدم وجود قاعدة لتكامل القسمة مباشرة.

ويُلاحظ أنه لا يمكن إيجاد تكامل اقتران مثلثي مرفوع إلى أُسّ فردي باستعمال المتطابقات فقط، بل يحتاج ذلك إلى طرائق تكامل أخرى.

نعلم أن $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$، ومنه $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C$ عندما $x > 0$ فقط؛ لأن $\ln x$ مُعرّف للقيم الموجبة. ولكن $\ln(-x)$ مُعرّف عندما $x < 0$، وباستعمال قاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}\left(\ln(-x)\right) = \frac{1}{-x} \times -1 = \frac{1}{x}$، إذن $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln(-x) + C$ عندما $x < 0$. وبدمج النتيجتين نصل إلى القاعدة: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C, \quad x \neq 0$ ولهذا السبب تُكتب القيمة المطلقة داخل اللوغاريتم دائمًا.

وتُعمَّم القاعدة على الاقترانات التي تُكتب في صورة $\frac{1}{ax+b}$ أو $k\frac{f'(x)}{f(x)}$، أي التي يكون بسطها أحد مضاعفات مشتقة المقام، وذلك بملاحظة أن $\frac{d}{dx}\left(\ln|f(x)|\right) = \frac{f'(x)}{f(x)}$. فإذا كان $a \neq 0$ فإن: $\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C, \quad x \neq -\frac{b}{a}$

القاعدة الذهبية هنا هي: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C$ وهذا يعني أنه إذا كان البسط هو مشتقة المقام، فإن الناتج هو لوغاريتم القيمة المطلقة للمقام.

كيف نختار الطريقة؟

• إذا كان البسط مضاعفًا لمشتقة المقام نضرب ونقسم على ثابت مناسب، ويمكن حذف القيمة المطلقة إذا كان المقام موجبًا دائمًا مثل $x^2 + 9$.
• إذا كان المقام حدًّا واحدًا نقسم كل حد في البسط على المقام؛ لأنه لا توجد قاعدة لتكامل القسمة. فمثلًا $\int \frac{2x^5 - 4}{x}\,dx = \int \left(2x^4 - \frac{4}{x}\right)dx = \frac{2}{5}x^5 - 4\ln|x| + C$.
• الاقترانات المثلثية الكسرية نكتبها بالمتطابقات النسبية، مثل $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

إذا كانت درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام في الاقتران النسبي، يجب استخدام القسمة الطويلة أولاً لتبسيط المقدار قبل البدء بالتكامل.

فإذا كان $\frac{f(x)}{g(x)}$ اقترانًا نسبيًّا درجة بسطه أكبر من درجة مقامه أو تساويها، وكان ناتج القسمة $q(x)$ والباقي $r(x)$، فإن $\frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}$. وغالبًا ينتج من الحد $\frac{r(x)}{g(x)}$ تكامل يعطي لوغاريتمًا طبيعيًّا، كما في $\frac{x^3 + x}{x - 1} = x^2 + x + 2 + \frac{2}{x-1}$.

الشرط الأولي هو نقطة يحققها الاقتران الأصلي، وبتعويضها في ناتج التكامل نجد قيمة ثابت التكامل $C$، فنحصل على الاقتران الأصلي الوحيد الذي يحقق شرط المسألة. ويُستعمل كثيرًا لتحديد اقترانات تمثل مواقف علمية وحياتية.

في التطبيقات الحيوية، يمثل الشرط الأولي (مثل عدد البكتيريا عند $t=0$) المفتاح لإيجاد ثابت التكامل $C$ والحصول على الصيغة النهائية للاقتران.

في الحركة المستقيمة:

• الموقع $s(t)$: هو الاقتران الأصلي لسرعة المتجهة $v(t)$.
• الإزاحة: $\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$.
• المسافة الكلية: $\int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.

سرعة الجسم هي مشتقة اقتران موقعه $v(t) = s'(t)$، لذلك نجد الموقع بتكامل السرعة ثم نستعمل الموقع الابتدائي شرطًا أوليًّا. والإزاحة $s(t_2) - s(t_1)$ هي التغير في موقع الجسم، وقد تكون موجبة أو سالبة أو صفرًا تبعًا لاتجاه الحركة: القيمة الموجبة تعني أن الموقع النهائي يقع في الجهة الموجبة بالنسبة إلى الموقع الابتدائي، والسالبة تعني أنه في الجهة السالبة، والصفر يعني عدم وجود إزاحة. أما المسافة فهي طول المسار الذي يقطعه الجسم بصرف النظر عن الاتجاه، وقيمتها أكبر من الصفر أو تساويه.

لحساب المسافة الكلية، يجب أولاً إيجاد أصفار اقتران السرعة $v(t)=0$ ودراسة إشارته لتجزئة التكامل إذا لزم الأمر.

مثال محلول: يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته بالاقتران $v(t) = \sin t$، حيث $t$ الزمن بالثواني و $v$ سرعته بالمتر لكل ثانية.

أ) إزاحة الجُسيم في الفترة $[0, 3\pi]$: $s(3\pi) - s(0) = \int_0^{3\pi} \sin t\,dt = -\cos t\Big|_0^{3\pi} = -(\cos 3\pi - \cos 0) = 2$ إذن إزاحة الجُسيم $2\text{ m}$.

ب) المسافة الكلية في الفترة $[0, 3\pi]$:

1. نجد أصفار السرعة: $\sin t = 0$ عندما $t = 0$ و $t = \pi$ و $t = 2\pi$ و $t = 3\pi$.
2. ندرس الإشارة: السرعة موجبة على $(0, \pi)$، وسالبة على $(\pi, 2\pi)$، وموجبة على $(2\pi, 3\pi)$.
3. نجزّئ التكامل: $d = \int_0^{\pi} \sin t\,dt + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin t)\,dt + \int_{2\pi}^{3\pi} \sin t\,dt$.
4. نكامل ونعوّض: $d = (-\cos t)\Big|_0^{\pi} + \cos t\Big|_{\pi}^{2\pi} + (-\cos t)\Big|_{2\pi}^{3\pi} = 2 + 2 + 2 = 6$.

إذن المسافة الكلية $6\text{ m}$، وهي أكبر من الإزاحة $2\text{ m}$ لأن الجُسيم تحرك في الجهة السالبة خلال الفترة $(\pi, 2\pi)$ ثم عاد إلى الجهة الموجبة.