التكامل بالتعويض

لا توجد قاعدة لتكامل حاصل الضرب أو حاصل القسمة، ولذلك لا يمكن إيجاد اقتران أصلي لبعض التكاملات مباشرة، مثل $\int 2x\sqrt{x^2+6}\,dx$. في هذه الحالة نلجأ إلى طريقة التكامل بالتعويض، وفيها نستعمل متغيرًا جديدًا، وليكن $u$، بدلًا من متغير التكامل $x$.

تعتمد الفكرة على البحث عن اقتران ومشتقته داخل التكامل. إذا أمكن كتابة التكامل في الصورة: $\int f(g(x)) g'(x) dx$ فإننا نفرض $u = g(x)$، ومنها نجد $du = g'(x) dx$، ليصبح التكامل $\int f(u) du$.

قاعدة التكامل بالتعويض: إذا كان $u = g(x)$ اقترانًا قابلًا للاشتقاق، ومداه الفترة $I$، وكان $f$ اقترانًا متصلًا على $I$، فإن $\int f(g(x))\, g'(x)\, dx = \int f(u)\, du$.

مثال تمهيدي: $\int 2x\sqrt{x^2+6}\,dx$

1. نفرض أن $u$ هو المقدار أسفل الجذر التربيعي: $u = x^2+6$.
2. نشتق: $\frac{du}{dx} = 2x$، ومنه $dx = \frac{du}{2x}$.
3. نعوض: $\int 2x\sqrt{u}\times\frac{du}{2x} = \int u^{1/2}\,du$.
4. نكامل: $\frac{2}{3}u^{3/2}+C$.
5. نعيد التعويض: $\frac{2}{3}(x^2+6)^{3/2}+C$.

يُلاحظ أن $2x$ هي مشتقة $x^2+6$، ولهذا اختفى $x$ تمامًا بعد التبسيط. ويمكن التحقق من صحة الناتج باشتقاقه بقاعدة السلسلة ومقارنته بالمُكامَل: $\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}(x^2+6)^{3/2}+C\right) = \frac{2}{3}\times\frac{3}{2}(x^2+6)^{1/2}\times 2x = 2x\sqrt{x^2+6}$

خطوات الحل المنهجية:

1. حدد الجزء الذي ستمثله $u$ (غالباً ما يكون داخل القوس، تحت الجذر، أو أس الاقتران الطبيعي).
2. اشتق $u$ بالنسبة لـ $x$ واجعل $dx$ موضوعاً للقانون.
3. عوض $u$ و $dx$ في التكامل الأصلي واختصر المتغير $x$ تماماً.
4. أجرِ التكامل الناتج بدلالة $u$.
5. هام: أعد $u$ إلى أصلها بدلالة $x$ في نهاية الحل (للتكامل غير المحدود).

عند استعمال التعويض يجب أن يكون التكامل الجديد كله بدلالة المتغير الجديد $u$، ولا يُنسى عكس عملية التعويض بعد إجراء التكامل. وبوجه عام، إذا احتوى المُكامَل على اقتران ومشتقته أمكن حل التكامل بتعويض ذلك الاقتران. ومن الصور الشائعة:

• أس اقتران أسي: $\int \sin x\, e^{\cos x}\,dx$، بفرض $u=\cos x$ يكون $dx=\frac{du}{-\sin x}$، فيصبح التكامل $\int -e^{u}\,du = -e^{\cos x}+C$.
• مقدار داخل اقتران مثلثي: $\int x^3\cos(x^4-5)\,dx$، بفرض $u=x^4-5$ يكون $dx=\frac{du}{4x^3}$، فيصبح التكامل $\int\frac14\cos u\,du = \frac14\sin(x^4-5)+C$.
• قوة اقتران مضروبة في مشتقته: $\int \sin^3 2x\cos 2x\,dx$، بفرض $u=\sin 2x$ يكون $dx=\frac{du}{2\cos 2x}$، فيصبح التكامل $\int\frac12u^3\,du = \frac18\sin^4 2x+C$.

عند اختيار $u$، ابحث دائماً عن المقدار الذي مشتقته (أو جزء منها) مضروب في بقية التكامل. إذا كان المقدار خطياً $ax+b$ تحت جذر أو داخل قوس، فالتعويض غالباً ما ينجح.

أحيانًا تُسهّل إعادة كتابة المُكامَل بصورة أخرى عملية التعويض. ففي $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ نكتب المُكامَل في صورة $\frac1x\times\ln x$، ثم نفرض $u=\ln x$، فيكون $\frac{du}{dx}=\frac1x$ ومنه $dx = x\,du$، ويصبح التكامل $\int u\,du = \frac12u^2+C = \frac12(\ln x)^2+C$.

وفي $\int\frac{5^{1/x}}{x^2}\,dx$ نفرض $u=\frac1x$، فيكون $\frac{du}{dx}=-\frac{1}{x^2}$ ومنه $dx=-x^2\,du$، ويصبح التكامل $\int -5^{u}\,du = -\frac{5^{u}}{\ln 5}+C = -\frac{5^{1/x}}{\ln 5}+C$.

في الأمثلة السابقة كانت مشتقة $u$ موجودة بصورة مباشرة في المُكامَل، إلا أن استعمال التكامل بالتعويض لا يقتصر على التكاملات التي تحوي اقترانًا ومشتقته؛ إذ يمكن استعماله في حالات أخرى تحتاج إلى إجراءات إضافية لكتابة المُكامَل كاملًا بالمتغير الجديد.

ففي $\int x\sqrt{2x+5}\,dx$، بفرض $u = 2x+5$ تكون مشتقة $u$ هي الثابت $2$، أي إن $x$ لا يمكن حذفه بالتبسيط المباشر، وهذا يدل على وجوب كتابة $x$ بدلالة $u$: $x = \frac{u-5}{2}$. إذن، إذا بقيت حدود تحتوي على $x$ بعد تعويض $u$ و$dx$، نعود إلى فرضية $u$ الأصلية ونكتب $x$ (أو قوة منه) بدلالة $u$.

مثال: $\int x^5(1+x^2)^3\,dx$

1. نفرض $u = 1+x^2$، فيكون $\frac{du}{dx}=2x$ ومنه $dx=\frac{du}{2x}$.
2. بعد التعويض يصبح التكامل $\frac12\int x^4u^3\,du$؛ بقي $x^4$ لأن مشتقة $u$ هي $2x$ وليست ثابتًا يحذف كل $x$.
3. نكتب $x^2$ بدلالة $u$: $x^2 = u-1$، إذن $x^4=(u-1)^2$.
4. نوزع: $\frac12\int (u^2-2u+1)u^3\,du = \frac12\int (u^5-2u^4+u^3)\,du$.
5. نكامل: $\frac12\left(\frac16u^6-\frac25u^5+\frac14u^4\right)+C$.
6. نعيد التعويض ونبسط: $\frac{1}{12}(1+x^2)^6-\frac15(1+x^2)^5+\frac18(1+x^2)^4+C$.

مثال: $\int \frac{e^{2x}}{e^x+1}\,dx$

1. نفرض $u = e^x+1$، فيكون $\frac{du}{dx}=e^x$ ومنه $dx=\frac{du}{e^x}$، ونكتب $e^x = u-1$.
2. بما أن $e^{2x}=(e^x)^2$، يصبح التكامل $\int\frac{e^x}{u}\,du = \int\frac{u-1}{u}\,du$.
3. نوزع المقام على كل حد في البسط: $\int\left(1-\frac1u\right)du = u-\ln|u|+C$.
4. نعيد التعويض: $(e^x+1)-\ln(e^x+1)+C$، لأن $|e^x+1| = e^x+1$.

التخلص من الجذور: عند وجود جذر نوني مثل $\sqrt[n]{ax+b}$، يفضل أحياناً فرض $u = \sqrt[n]{ax+b}$ ثم رفع الطرفين للقوة $n$ لتصبح $u^n = ax+b$ قبل الاشتقاق.

يمكن استعمال التكامل بالتعويض عند وجود المقدار $\sqrt[n]{ax+b}$ في بعض التكاملات، وذلك بافتراض $u=\sqrt[n]{ax+b}$ بغية التخلص من الجذر.

مثال: $\int\frac{dx}{x-\sqrt{x}}$

1. نفرض $u=\sqrt{x}$، وبتربيع طرفي المعادلة: $u^2 = x$.
2. نشتق ضمنيًا: $2u\frac{du}{dx}=1$، ومنه $dx = 2u\,du$.
3. نعوض: $\int\frac{2u}{u^2-u}\,du = \int\frac{2}{u-1}\,du = 2\ln|u-1|+C$.
4. نعيد التعويض: $2\ln|\sqrt{x}-1|+C$.

ينسى بعض الطلبة اشتقاق الطرفين بشكل صحيح عند فرض $u^2 = x$. تذكر أن مشتقة $u^2$ بالنسبة لـ $x$ هي $2u \frac{du}{dx}$ (اشتقاق ضمني).

مثال: $\int x\sqrt[5]{(x+1)^2}\,dx$

1. نفرض $u=\sqrt[5]{x+1}$، وبرفع طرفي المعادلة إلى الأس 5: $u^5 = x+1$، أي إن $x = u^5-1$.
2. نشتق ضمنيًا: $5u^4\frac{du}{dx}=1$، ومنه $dx = 5u^4\,du$.
3. بما أن $\sqrt[5]{(x+1)^2}=\left(\sqrt[5]{x+1}\right)^2 = u^2$، يصبح التكامل $\int(u^5-1)u^2\times5u^4\,du = 5\int(u^{11}-u^6)\,du$.
4. نكامل: $5\left(\frac{1}{12}u^{12}-\frac17u^7\right)+C$.
5. نعيد التعويض: $\frac{5}{12}\sqrt[5]{(x+1)^{12}}-\frac57\sqrt[5]{(x+1)^7}+C$.

الشرط الأولي نقطة تحقق الاقتران الأصلي. بعد إيجاد التكامل بالتعويض، يمكن تعويض هذه النقطة لإيجاد قيمة ثابت التكامل $C$، ومن ثم إيجاد الاقتران الأصلي الوحيد الذي يحقق شرط المسألة. فمثلًا، إذا كان $V'(t)=\frac{0.4t^3}{\sqrt{0.2t^4+8000}}$ و$V(0)=5000$، فإن $V(t)=\sqrt{0.2t^4+8000}+C$، وبتعويض $t=0$ نجد $C = 5000-40\sqrt5$.

يُوجد تكامل اقتراني الجيب وجيب التمام المرفوعين إلى أسس زوجية باستعمال متطابقات تقليص القوة. أما التكاملات التي تحوي اقتراني جيب وجيب تمام مرفوعين إلى أسس فردية، فيمكن إيجادها باستعمال التعويض، إضافة إلى استعمال المتطابقة المثلثية $\sin^2x+\cos^2x=1$.

إذا كان التكامل يحتوي على $\sin^n x$ أو $\cos^n x$ حيث $n$ فردي:

1. اسحب حاملاً واحداً (مثلاً $\sin x$).
2. حول بقية القوى الزوجية باستخدام $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
3. افرض $u$ هو الاقتران الآخر (الذي لم تسحب منه الحامل).

لاختيار الطريقة المناسبة في تكامل يحوي قوى الجيب وجيب التمام:

• إذا كان أس كل من الجيب وجيب التمام زوجيًا، تُستعمل متطابقات تقليص القوة.
• إذا كان أحد الاقترانين مرفوعًا إلى أس فردي، يُعوَّض الاقتران الآخر.
• إذا كان كلا الاقترانين مرفوعًا إلى أس فردي، يُعوَّض الاقتران الذي أسه أكبر.

فمثلًا في $\int\cos^4x\sin^3x\,dx$ يكون أس الجيب فرديًا، فنفرض $u=\cos x$ ونكتب $\sin^2x = 1-\cos^2x$، فيصبح التكامل $-\int(u^4-u^6)\,du = -\frac15\cos^5x+\frac17\cos^7x+C$.

ويمكن أيضًا استعمال التعويض لإيجاد تكاملات تحوي اقتران الظل، أو ظل التمام، أو القاطع، أو قاطع التمام، مرفوعة إلى أسس صحيحة موجبة، إضافة إلى استعمال المتطابقتين $\tan^2x=\sec^2x-1$ و$\cot^2x=\csc^2x-1$.

مثال: $\int\tan^3x\,dx$

1. نحلل ونستعمل المتطابقة: $\int\tan^2x\tan x\,dx = \int(\sec^2x-1)\tan x\,dx = \int\sec^2x\tan x\,dx-\int\tan x\,dx$.
2. للتكامل الأول نفرض $u=\tan x$، فيكون $dx=\frac{du}{\sec^2x}$، ويصبح $\int u\,du = \frac12u^2$.
3. التكامل الثاني $\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ من الصورة $\frac{f'(x)}{f(x)}$، وناتجه مع إشارة الطرح $\ln|\cos x|$.
4. إذن: $\int\tan^3x\,dx = \frac12\tan^2x+\ln|\cos x|+C$.

لحل التكامل $\int\cot^n x\,dx$، إذا كانت $n\ge 4$ عددًا زوجيًا، يُكتب التكامل في الصورة $\int\cot^{n-2}x\,(\csc^2x-1)\,dx$.

مثال: $\int\cot^4x\,dx$

1. نكتب: $\int\cot^2x(\csc^2x-1)\,dx = \int\cot^2x\csc^2x\,dx-\int\cot^2x\,dx$.
2. للتكامل الأول نفرض $u=\cot x$، فيكون $dx=\frac{du}{-\csc^2x}$، ويصبح $-\int u^2\,du = -\frac13u^3$.
3. التكامل الثاني: $\int(\csc^2x-1)\,dx = -\cot x - x$، وبطرحه تتغير إشارة كل حد.
4. إذن: $\int\cot^4x\,dx = -\frac13\cot^3x+\cot x+x+C$.

يخطئ بعض الطلبة بعدم توزيع الإشارة السالبة التي تسبق التكامل $\int(\csc^2x-1)\,dx$ على كل حد من حدود الاقتران الأصلي الناتج.

مثال: $\int\sec^4x\tan^3x\,dx$

1. نفرض $u=\tan x$، فيكون $\frac{du}{dx}=\sec^2x$ ومنه $dx=\frac{du}{\sec^2x}$.
2. نعوض ونبسط: $\int\sec^2x\,u^3\,du$.
3. نستعمل متطابقة فيثاغورس $\sec^2x = 1+\tan^2x = 1+u^2$: $\int(1+u^2)u^3\,du = \int(u^3+u^5)\,du$.
4. نكامل ونعيد التعويض: $\frac14\tan^4x+\frac16\tan^6x+C$.

تذكر دائماً مشتقات الاقترانات المثلثية:

• $(\tan x)' = \sec^2 x$
• $(\cot x)' = -\csc^2 x$
• $(\sec x)' = \sec x \tan x$

توجد طريقتان لإيجاد قيمة تكامل محدود بالتعويض: الأولى إيجاد التكامل أولًا بدلالة المتغير الأصلي، ثم تعويض حدود التكامل؛ والأخرى تغيير حدود التكامل عند تغيير متغير التكامل، وهذه الطريقة هي الأكثر تفضيلًا.

إذا كان $g'$ متصلًا على $[a,b]$، و$u=g(x)$، وكان $f$ متصلًا على مدى $u=g(x)$، فإن: $\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$

إذا كان التكامل من $a$ إلى $b$ بالنسبة لـ $x$، وفرضنا $u = g(x)$، فإن الحدود الجديدة تصبح:

• الحد السفلي الجديد: $u_1 = g(a)$
• الحد العلوي الجديد: $u_2 = g(b)$

ميزة تغيير الحدود: عند تغيير الحدود، لا داعي لإعادة $u$ إلى أصلها بدلالة $x$ بعد إجراء التكامل؛ بل نعوض الحدود الجديدة مباشرة في ناتج تكامل $u$.

مثال: $\int_1^{25}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}\,dx$

1. نفرض $u=\sqrt{2x-1}$، وبتربيع طرفي المعادلة: $u^2=2x-1$، ومنه $x=\frac12(u^2+1)$.
2. نشتق ضمنيًا: $2u\frac{du}{dx}=2$، ومنه $dx = u\,du$.
3. نغير حدود التكامل: عندما $x=1$ يكون $u=\sqrt{2(1)-1}=1$، وعندما $x=25$ يكون $u=\sqrt{2(25)-1}=7$.
4. نعوض ونبسط: $\int_1^7\frac12\times\frac{u^2+1}{u}\times u\,du = \frac12\int_1^7(u^2+1)\,du$.
5. نكامل ونعوض الحدود الجديدة مباشرة: $\frac12\left(\frac13u^3+u\right)\Big|_1^7 = \frac12\left(\left(\frac13(7)^3+7\right)-\left(\frac13(1)^3+1\right)\right) = 60$.

الخطأ في ترتيب الحدود الجديدة؛ تأكد أن الحد الناتج عن تعويض $a$ يبقى في الأسفل، والناتج عن $b$ يبقى في الأعلى، حتى لو كانت القيمة الناتجة أصغر.

في التكامل المحدود لا يجوز أن تحتوي فترة التكامل على أي صفر من أصفار المقام. ففي المثال السابق يساوي المقام $\sqrt{2x-1}$ صفرًا عند $x=\frac12$، وهذه القيمة لا تقع في الفترة $[1,25]$.

• سؤال: جد تكامل $\int x^2 (2x^3 + 5)^4 dx$ باستخدام التعويض المناسب؟

• سؤال: كيف يمكن إيجاد قيمة $\int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$ مع تغيير الحدود؟

• سؤال: أثبت أن $\int_0^{\pi/2} f(\cos x) dx = \int_0^{\pi/2} f(\sin x) dx$؟

• سؤال: جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f(x) = 3\cos x\sqrt{\sin x + 1}$ والمحور $x$ في الفترة $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$، وبيّن أن جزأي المنطقة الواقعين فوق المحور $x$ وتحته لهما المساحة نفسها.

• سؤال: جد قيمة $\int_1^{16}\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[4]{x^3}}\,dx$ (إرشاد: افترض أن $u=1+x^{3/4}$، أو أن $u=x^{1/4}$).

• سؤال: يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته بالاقتران $v(t)=\sin\omega t\cos^2\omega t$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و$v$ سرعته بالمتر لكل ثانية، و$\omega$ ثابت. إذا انطلق الجسيم من نقطة الأصل، فجد موقعه بعد $t$ ثانية.

• سؤال: يمثل الاقتران $C(t)$ تركيز دواء في الدم بعد $t$ دقيقة من حقنه في جسم مريض، حيث $C$ مقيسة بالمليغرام لكل سنتيمتر مكعب $(\text{mg/cm}^3)$. إذا كان تركيز الدواء لحظة حقنه $0.5\ \text{mg/cm}^3$، وأخذ يتغير بمعدل $C'(t)=\frac{-0.01e^{-0.01t}}{(1+e^{-0.01t})^2}$، فجد $C(t)$.