المتجهات في الفضاء

في المستوى الإحداثي يُحدَّد موقع أي نقطة باستعمال محورين متعامدين هما المحور $x$ والمحور $y$، وزوج مرتب من الإحداثيات $(x, y)$. لكن هذا الزوج لا يكفي لتحديد موقع نقطة في الفضاء؛ لذا يُضاف محور ثالث عمودي على كلٍّ من المحور $x$ والمحور $y$ يُسمّى المحور $z$، وعندئذٍ يُحدِّد الثلاثي المرتب $(x, y, z)$ موقع النقطة في الفضاء.

نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد: نظام يتكون من ثلاثة محاور متعامدة (x, y, z) تلتقي في نقطة الأصل، ويُحدد موقع أي نقطة فيه بالثلاثي المرتب $(x, y, z)$.

يُطلق على نقطة تقاطع المحاور الثلاثة اسم نقطة الأصل $O(0,0,0)$. وينتج عن إضافة المحور $z$ ثلاثة مستويات إحداثية هي: المستوى $xy$، والمستوى $xz$، والمستوى $yz$. هذه المستويات تقسم الفضاء إلى 8 أقسام يُسمّى كلٌّ منها الثمن (octant). ولتقريب الفكرة: يشبه الثمن جزءًا من غرفة محصورًا بين حائطين متقاطعين وأرضية الغرفة.

لتعيين النقطة $P(a, b, c)$ في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد:

1. نعيّن النقطة $(a, b)$ في المستوى $xy$ أولًا.
2. نتحرك بموازاة المحور $z$ إلى الأعلى أو إلى الأسفل تبعًا لقيمة الإحداثي $z$ وإشارته: إلى الأعلى بمقدار $c$ وحدة إذا كانت $c$ موجبة، وإلى الأسفل إذا كانت سالبة.

يُستعمل الورق المنقّط متساوي القياس لتعيين النقاط في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد بدقة؛ لأن أطوال الوحدات على المحاور الثلاثة متساوية.

يمكن التحقق من صحة تمثيل النقطة بيانيًّا بإكمال رسم متوازي المستطيلات الذي تمثل أبعاده الإحداثيات الثلاثة، وملاحظة أن ارتفاعه على المحور $z$ يطابق قيمة الإحداثي $z$.

تُشبه عملية حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء، وإيجاد إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة فيه، حسابَ المسافة بين نقطتين وإيجاد إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي؛ والفرق هو إضافة حدٍّ خاص بالإحداثي $z$ في كل صيغة.

إذا كانت $A(x_1, y_1, z_1)$ و $B(x_2, y_2, z_2)$ نقطتين في الفضاء، فإن المسافة بين النقطتين $A$ و $B$ تُعطى بالصيغة: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

وإحداثيات نقطة منتصف $\overline{AB}$ هي: $M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$ أي نجمع كل إحداثيين متناظرين للطرفين ونقسم الناتج على 2. ويُستعمل الرمز $M$ للدلالة على منتصف القطعة المستقيمة، وهو الحرف الأول من الكلمة الإنجليزية midpoint التي تعني نقطة المنتصف.

إذا كانت $A$ و $B$ نقطتين في المستوى أو في الفضاء، فإن الرمز $AB$ يدل على المسافة بين هاتين النقطتين، في حين يدل الرمز $\overline{AB}$ على القطعة المستقيمة الواصلة بينهما.

مثال محلول: إذا كانت $A(-4, 7, -2)$ و $B(6, 1, -4)$، فإن:

1. نعوّض $(x_1, y_1, z_1) = (-4, 7, -2)$ و $(x_2, y_2, z_2) = (6, 1, -4)$ في صيغة المسافة:

1. بالتبسيط: $AB = \sqrt{10^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{140} = 2\sqrt{35}$، إذن المسافة بين $A$ و $B$ هي $2\sqrt{35}$ وحدة.
2. نعوّض في صيغة إحداثيات نقطة المنتصف:

1. بالتبسيط: نقطة منتصف $\overline{AB}$ هي $M(1, 4, -3)$.

لا تقتصر الكمّيات المتجهة، مثل الإزاحة والسرعة المتجهة، على المستوى $xy$؛ لذا يُوسَّع مفهوم المتجهات ليشمل الفضاء. وتُمثَّل المتجهات في الفضاء بطريقة مشابهة لتمثيلها في المستوى الإحداثي: فالمتجه $\vec{v}$ الذي نقطة بدايته $A(x_1, y_1, z_1)$ ونقطة نهايته $B(x_2, y_2, z_2)$ يُمثَّل بسهم بدايته $A$ ونهايته $B$، ويُرمز إليه بالرمز $\overrightarrow{AB}$ أو بالرمز $\vec{v}$. أي يُرمز إلى المتجه بحرفين فوقهما سهم، أو بحرف واحد فوقه سهم.

تُكتب الصورة الإحداثية للمتجه بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية: $\vec{v} = \overrightarrow{AB} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ تُسمّى $v_1, v_2, v_3$ إحداثيات المتجه، ويعبّر كلٌّ منها عن مقدار الإزاحة بالنسبة إلى المحور $x$ أو المحور $y$ أو المحور $z$ على الترتيب.

عند حساب الصورة الإحداثية تُطرح دائمًا إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية (النهاية − البداية). عكس الترتيب يعطي متجهًا في الاتجاه المعاكس.

يُحسب مقدار المتجه (طوله) في الفضاء بطريقة مشابهة لحسابه في المستوى الإحداثي، ويُرمز إلى مقدار المتجه $\overrightarrow{AB}$ بالرمز $|\overrightarrow{AB}|$. إذا عُلمت نقطة البداية $A(x_1, y_1, z_1)$ ونقطة النهاية $B(x_2, y_2, z_2)$ فإن: $|\vec{v}| = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ وإذا عُلمت الصورة الإحداثية $\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ فإن: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

الجمع هندسيًّا (قاعدة المثلث): لجمع المتجه $\vec{a}$ والمتجه $\vec{b}$ يُرسم المتجه $\vec{a}$ أولًا، ثم يُرسم المتجه $\vec{b}$ بحيث تكون نقطة بدايته هي نقطة نهاية $\vec{a}$، ثم يُوصل بين نقطة بداية $\vec{a}$ ونقطة نهاية $\vec{b}$، فينتج المتجه $\vec{a} + \vec{b}$ الذي يُسمّى أيضًا المحصّلة.

جمع المتجهات هندسياً يشبه اتباع مسار رحلة؛ فالمحصلة هي المتجه الواصل من نقطة انطلاق الرحلة الأولى إلى نقطة نهاية الرحلة الأخيرة.

الطرح هندسيًّا: لإيجاد $\vec{a} - \vec{b}$ يُجمع المتجه $\vec{a}$ مع معكوس المتجه $\vec{b}$؛ أي $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. ومعكوس المتجه $\vec{v}$ هو متجه له مقدار $\vec{v}$ نفسه لكنه في الاتجاه المعاكس، ويُرمز إليه بالرمز $-\vec{v}$. ويمكن أيضًا إيجاد $\vec{a} - \vec{b}$ برسم $\vec{a}$ و $\vec{b}$ بدءًا بالنقطة نفسها، فيكون $\vec{a} - \vec{b}$ هو المتجه الذي يبدأ بنقطة نهاية $\vec{b}$ وينتهي بنقطة نهاية $\vec{a}$.

الضرب في عدد حقيقي: يُمثَّل ناتج ضرب المتجه $\vec{v}$ في العدد الحقيقي $k$ برسم متجه موازٍ لـ $\vec{v}$ طوله $|k|$ مرة طول $\vec{v}$، وله اتجاه $\vec{v}$ نفسه إذا كان $k > 0$، وعكس اتجاه $\vec{v}$ إذا كان $k < 0$. فالمتجه $2\vec{v}$ ضعف طول $\vec{v}$ وبالاتجاه نفسه، والمتجه $\frac{1}{2}\vec{v}$ نصف طوله، أما $-2\vec{v}$ فضعف طوله لكن بالاتجاه المعاكس.

العمليات جبريًّا: تُطبَّق عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي على المتجهات في الفضاء كما هو حال المتجهات في المستوى الإحداثي. إذا كان $\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ و $\vec{w} = \langle w_1, w_2, w_3 \rangle$ متجهين في الفضاء، وكان $c$ عددًا حقيقيًّا، فإن: $\vec{v} + \vec{w} = \langle v_1 + w_1, v_2 + w_2, v_3 + w_3 \rangle$ $\vec{v} - \vec{w} = \langle v_1 - w_1, v_2 - w_2, v_3 - w_3 \rangle$ $c\vec{v} = \langle cv_1, cv_2, cv_3 \rangle$ وتحقّق عملية جمع المتجهات خاصيتي التبديل والتجميع: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ و $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

تساوي المتجهات: يتساوى متجهان إذا كان لهما الاتجاه والمقدار نفساهما، وعندئذٍ تكون لهما الصورة الإحداثية نفسها؛ أي تكون إحداثياتهما المتناظرة متساوية. إذا كان $\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ و $\vec{w} = \langle w_1, w_2, w_3 \rangle$ فإن $\vec{v} = \vec{w}$ إذا وفقط إذا كان $v_1 = w_1$ و $v_2 = w_2$ و $v_3 = w_3$. وقد يتساوى متجهان بالرغم من اختلاف موقعيهما، ما دام لكلٍّ منهما الاتجاه والمقدار نفساهما.

متجه الموقع: يُطلق على المتجه الذي يبدأ بنقطة الأصل وينتهي بالنقطة $A(x_1, y_1, z_1)$ اسم متجه الموقع (position vector) للنقطة $A$، ويُستعمل الرمز $\overrightarrow{OA}$ للدلالة عليه. وسُمّي بهذا الاسم لأنه يُحدّد موقع النقطة $A$ بالنسبة إلى نقطة الأصل. وصورته الإحداثية هي: $\overrightarrow{OA} = \langle x_1, y_1, z_1 \rangle - \langle 0, 0, 0 \rangle = \langle x_1, y_1, z_1 \rangle$

متجه الإزاحة: إذا كان $\overrightarrow{OA}$ و $\overrightarrow{OB}$ متجهي الموقع للنقطتين $A$ و $B$، فإن المتجه $\overrightarrow{AB}$ يمثل متجه الإزاحة (displacement vector) من النقطة $A$ إلى النقطة $B$. ووفق قاعدة المثلث لجمع المتجهات، يكون $\overrightarrow{AB}$ ناتج طرح متجه الموقع للنقطة $A$ من متجه الموقع للنقطة $B$: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ ويمثل مقدار متجه الإزاحة $\overrightarrow{AB}$ المسافة بين النقطة $A$ والنقطة $B$.

كلٌّ من متجه الموقع ومتجه الإزاحة كمّية متجهة، أما المسافة فهي قيمة عددية غير متجهة.

مثال محلول: إذا كانت $A(-11, 2, 21)$ و $B(3, -5, 7)$:

1. متجها الموقع: $\overrightarrow{OA} = \langle -11, 2, 21 \rangle$ و $\overrightarrow{OB} = \langle 3, -5, 7 \rangle$.
2. متجه الإزاحة من $A$ إلى $B$: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \langle 3, -5, 7 \rangle - \langle -11, 2, 21 \rangle = \langle 14, -7, -14 \rangle$.
3. المسافة بين $A$ و $B$ هي مقدار متجه الإزاحة: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(14)^2 + (-7)^2 + (-14)^2} = \sqrt{441} = 21$ وحدة طول.

متجه الوحدة: يُطلق على المتجه الذي مقداره وحدة واحدة اسم متجه الوحدة (unit vector). وتُعدّ متجهات الوحدة في الاتجاه الموجب للمحاور الإحداثية الثلاثة أهم متجهات الوحدة وأكثرها استخدامًا؛ لذا تُسمّى متجهات الوحدة الأساسية، ويُشار إلى كلٍّ منها برمز خاص:

• $\hat{i} = \langle 1, 0, 0 \rangle$ متجه الوحدة في اتجاه المحور $x$ الموجب، ويُقرأ i hat.
• $\hat{j} = \langle 0, 1, 0 \rangle$ متجه الوحدة في اتجاه المحور $y$ الموجب، ويُقرأ j hat.
• $\hat{k} = \langle 0, 0, 1 \rangle$ متجه الوحدة في اتجاه المحور $z$ الموجب، ويُقرأ k hat.

إذا كانت نقطة بداية المتجه $\vec{v}$ هي نقطة الأصل ونقطة نهايته $(v_1, v_2, v_3)$ فإن $\vec{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$، ويمكن كتابته بدلالة متجهات الوحدة الأساسية: $\vec{v} = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k}$ أي أن $\vec{v}$ هو محصّلة (ناتج جمع) ثلاثة متجهات هي $v_1\hat{i}$ و $v_2\hat{j}$ و $v_3\hat{k}$. وعند كتابة المتجهات بهذه الصورة تُجمع وتُطرح بإجراء العمليات الحسابية العادية، مع معاملة $\hat{i}$ و $\hat{j}$ و $\hat{k}$ معاملة المتغيّرات.

توجد صور مختلفة للتعبير عن المتجه $\vec{a}$، مثل $\langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ و $a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$، ويمكن أيضًا كتابته بالصورة العمودية $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$.

متجه وحدة في اتجاه أي متجه: يمكن إيجاد متجه وحدة في اتجاه أي متجه بقسمة ذلك المتجه على مقداره، فيصبح مقدار المتجه الناتج وحدة واحدة: $\hat{u} = \frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}$

مثال محلول: إذا كانت $A(3, 4, -7)$ و $B(-5, 16, 2)$، فلإيجاد متجه وحدة في اتجاه $\overrightarrow{AB}$:

1. الصورة الإحداثية: $\overrightarrow{AB} = \langle -5-3, 16-4, 2-(-7) \rangle = \langle -8, 12, 9 \rangle$.
2. المقدار: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-8)^2 + (12)^2 + (9)^2} = \sqrt{289} = 17$.
3. متجه الوحدة: $\hat{u} = \frac{1}{17}\langle -8, 12, 9 \rangle = \left\langle \frac{-8}{17}, \frac{12}{17}, \frac{9}{17} \right\rangle$.

إيجاد متجه وحدة في اتجاه متجه معين: للتحقق من صحة الحل، يُحسب مقدار متجه الوحدة الناتج؛ فيجب أن يساوي 1.