تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

ورقة وزارية رسمية

امتحان رياضيات كليات المجتمع الوزاري 2026، الدورة العامة، مع الإجابات

أسئلة امتحان رياضيات كليات المجتمع الوزاري توجيهي 2026، الدورة العامة: ٥٠ سؤالاً كما وردت في الورقة مع الإجابة الصحيحة لكل سؤال. حلّها بوقت محدد داخل TawjihiAI.

حلّها بوقت محددكل أوراق رياضيات كليات المجتمع
السنة
2026
الدورة
الدورة العامة
الفرع
الثاني عشر الأكاديمي
تاريخ الامتحان
27 حزيران 2026
عدد الأسئلة
50

الإجابة الصحيحة تحت كل سؤال، من مفتاح تم التحقق منه.

50 سؤالاً بإجابة مؤكَّدة

إذا كان: A=[235140]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 0 \end{bmatrix} ، فإنَّ رمز العنصر الذي قيمته 5 في المصفوفة AA هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) a13a_{13}

العنصر 5 يقع في الصف الأول والعمود الثالث، ويُكتب رقم الصف أولًا ثم رقم العمود، فرمزه a13a_{13}. أما a31a_{31} فيشير إلى الصف الثالث، والمصفوفة فيها صفّان فقط.

إذا كانت: [242x+10]=[2450]\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2x + 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} ، فإنَّ قيمة xx هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) 2

المصفوفتان متساويتان إذا تساوت عناصرهما المتناظرة، فالعنصران في الصف الثاني والعمود الأول متساويان: 2x+1=52x+1=5، أي 2x=42x=4 ومنه x=2x=2.

إذا كانت: B=[50−68]B = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -6 & 8 \end{bmatrix} ، A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ، فإنَّ ناتج 3A+B3A + B هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) [86320]\begin{bmatrix} 8 & 6 \\ 3 & 20 \end{bmatrix}

نضرب كل عنصر في AA بالعدد 3 فنجد

3A=[36912]3A=\begin{bmatrix}3&6\\9&12\end{bmatrix}

ثم نجمع العناصر المتناظرة مع BB: [86320]\begin{bmatrix}8&6\\3&20\end{bmatrix}. وتختلف الخيارات الأخرى في عنصر واحد على الأقل.

إذا كانت رُتبة المصفوفة AA هي: 3×23 \times 2 ، ورُتبة المصفوفة BB هي 4×34 \times 3 ، وكانت C=B×AC = B \times A ، فإنَّ رُتبة المصفوفة CC هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) 4×24 \times 2

رتبة BB هي 4×34\times3 ورتبة AA هي 3×23\times2، وعدد أعمدة BB يساوي عدد صفوف AA (كلاهما 3) فالضرب ممكن. رتبة الناتج: صفوف BB في أعمدة AA أي 4×24\times2.

ناتج [0120]2{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}}^2 هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) [2002]\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

نضرب المصفوفة في نفسها صفًّا في عمود: 0⋅0+1⋅2=20\cdot0+1\cdot2=2 و0⋅1+1⋅0=00\cdot1+1\cdot0=0 في الصف الأول، و2⋅0+0⋅2=02\cdot0+0\cdot2=0 و2⋅1+0⋅0=22\cdot1+0\cdot0=2 في الثاني، فالناتج [2002]\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}. لا نُربّع كل عنصر كما في الخيار ⁦b⁩.

المقدار الذي قيمته تساوي مساحة المُثلَّث الذي رؤوسه A(3,5)A(3, 5) , B(0,1)B(0, 1) , C(7,0)C(7, 0) ممّا يأتي هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) 12∣701351011∣\frac{1}{2} \begin{vmatrix} 7 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}

نضع إحداثيات كل رأس في صف بالصورة (x, y, 1)(x,\ y,\ 1). صفوف الخيار ⁦a⁩ هي (7,0,1)(7,0,1) و(3,5,1)(3,5,1) و(0,1,1)(0,1,1) أي CC وAA وBB، وهي رؤوس المثلث نفسها، أما بقية الخيارات فتغيّر الإحداثيات أو تبدّلها.

إذا كان: 2x−y=43x+2y=0\begin{aligned} 2x - y &= 4 \\ 3x + 2y &= 0 \end{aligned} نظامًا من المعادلات الخطيّة بمُتغيِّرين، وكان D=∣2−132∣D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}، فإنَّ قيمة xx باستعمال قاعدة كريمر هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) x=∣4−102∣Dx = \frac{\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}}{D}

في قاعدة كريمر يُستبدل عمود معاملات xx بعمود الثوابت (4, 0)(4,\ 0) في البسط، فيكون ∣4−102∣\begin{vmatrix}4&-1\\0&2\end{vmatrix} والمقام DD. الخيار ⁦b⁩ يضع الثوابت مكان معاملات yy، فهو بسط yy.

أيّ من المصفوفات الآتية هي مصفوفة منفردة؟

اعرض الإجابة

الإجابة الصحيحة: ج) [4824]\begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

إذا كان: A=[315−1]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} ، فإنَّ A−1A^{-1} هو:

اعرض الإجابة

الإجابة الصحيحة: ج) [181858−38]\begin{bmatrix} \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\[4pt] \frac{5}{8} & \frac{-3}{8} \end{bmatrix}

إذا كان: x+3y=12x−4y=1\begin{aligned} x + 3y &= 1 \\ 2x - 4y &= 1 \end{aligned} نظامًا من المعادلات الخطيّة بمُتغيِّرين، فإنَّ المعادلة المصفوفيّة التي تُمثِّل هذا النظام هي:

اعرض الإجابة

الإجابة الصحيحة: ب) [132−4][xy]=[11]\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

عرض باقي الأسئلة (٤٠)

في ضوء الخوارزمية الآتية، العدد الكُلّي السعيد ممّا يأتي، هو:

  1. أجد مُربعات أرقام العدد.
  2. أجد مجموع مُربعات أرقام العدد.
  3. أضع مجموع مُربعات أرقام العدد بدلًا من العدد نفسه. 4. أستمر في تكرار الخطوة الأولى والخطوة الثانية لكلّ ناتج حتى أحصل على مجموع من منزلة واحدة؛ فإذا كان هذا المجموع 1 ، كان العدد سعيدًا في هذه الحالة، وإذا كان المجموع 4 ، فيكون العدد وقتئذٍ غير سعيد.
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) 32

للعدد 32: 32+22=133^2+2^2=13 ثم 12+32=101^2+3^2=10 ثم 12+02=11^2+0^2=1، فهو سعيد. أما 24 فيعطي 20 ثم 4، و20 يعطي 4، و11 يعطي 2 ثم 4، فكلها غير سعيدة.

إحدى العبارات الآتية تُمثِّل وصفًا لمخرجات الخوارزمية المجاورة:

شكل السؤال ١٢
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) مُضاعفات العدد 3 ، التي تزيد على أو تساوي 6 وتقلّ عن 18

نتتبّع المخطط: يزيد nn بمقدار 1 قبل كل طباعة، فيُطبع A=3nA=3n عند n=2,3,4,5n=2,3,4,5 أي 6 و9 و12 و15، ثم يتوقف لأن n>4n>4. هذه مضاعفات 3 التي ≥6\ge6 و<18<18؛ والخيار ⁦b⁩ يُسقط 15.

يُراد تعبئة العُلب (المُعطى ارتفاعاتها في ما يلي) في صناديق، ارتفاع كلّ منها 8 وحدات طول، إذا علمت أنَّ للعُلب والصناديق المقطع العرضي نفسه، فإنَّ الحدّ الأدنى من عدد الصناديق اللازمة لتعبئة العُلب، هو: 573646575 \quad 7 \quad 3 \quad 6 \quad 4 \quad 6 \quad 5 \quad 7

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) 6

نجمع الارتفاعات: 5+7+3+6+4+6+5+7=435+7+3+6+4+6+5+7=43، ونقسم على ارتفاع الصندوق: 438=5.375\frac{43}{8}=5.375، ثم نقرّب إلى الأعلى فيكون الحد الأدنى 6 صناديق.

يُراد تعبئة العُلب (المُعطى ارتفاعاتها في ما يلي) في صناديق، ارتفاع كلّ منها وحدة طول واحدة. إذا علمت أنّ للعُلب والصناديق المَقطع العرضي نفسه، واستُعمِلَت خوارزميّة الملاءمة الأولى المُتناقصة لتعبئة العُلب في الصناديق، فإنَّ الارتفاع المهدور في الصناديق جميعها بوحدة الطول هو: 0.60.30.20.50.40.80.70.6 \quad 0.3 \quad 0.2 \quad 0.5 \quad 0.4 \quad 0.8 \quad 0.7

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) 0.5

نرتّب تنازليًا: 0.8 و0.7 و0.6 و0.5 و0.4 و0.3 و0.2، ثم نضع كل عنصر في أول صندوق يتسع له: {0.8,0.2}\{0.8,0.2\} و{0.7,0.3}\{0.7,0.3\} و{0.6,0.4}\{0.6,0.4\} و{0.5}\{0.5\}. الارتفاع المهدور =4×1−3.5=0.5=4\times1-3.5=0.5.

يرغب مُدرِّب في صالة رياضية أن يُرتِّب على رفوف الأثقال المُبيَّنة كتلتها (بالكيلوغرام) في ما يلي، إذا علمت أنَّ كلّ رفّ منها يُمكن أن يحمل 30 kg30\text{ kg} في الحدّ الأقصى، فإنَّ عدد الرفوف التي يحتاجها المُدرِّب لترتيب الأثقال باستعمال خوارزميّة الصندوق الكامل هي: 18142216201012842518 \quad 14 \quad 22 \quad 16 \quad 20 \quad 10 \quad 12 \quad 8 \quad 4 \quad 25

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) 5

نملأ صناديق كاملة أولًا: 18+1218+12 و14+1614+16 و22+822+8 و20+1020+10 كلٌّ منها 30، ثم يبقى 4 و25 ومجموعهما 29 فيتسعان لصندوق واحد. فالمجموع 5 رفوف، وهو الحد الأدنى 14930≈4.97→5\frac{149}{30}\approx4.97\to5.

مُخطّط له 6 رؤوس و 8 حافّات، ودرجات رؤوسه هي: x , 2x , x−1 , x+2 , x2−2 , x+1x\ ,\ 2x\ ,\ x-1\ ,\ x+2\ ,\ x^2-2\ ,\ x+1. قيمة المُتغيِّر xx هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) 2

مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحافات:

x+2x+(x−1)+(x+2)+(x2−2)+(x+1)=2(8)x+2x+(x-1)+(x+2)+(x^2-2)+(x+1)=2(8)

أي x2+6x−16=0x^2+6x-16=0 ومنه (x+8)(x−2)=0(x+8)(x-2)=0. الدرجة لا تكون سالبة فـ x=2x=2.

الذي يُمثِّل ممرًّا ولا يُمثِّل طريقًا في المُخطَّط الآتي، هو:

شكل السؤال ١٧
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) MPRMLMPRML

المسار MPRMLMPRML حافاته MPMP وPRPR وRMRM وMLML دون تكرار حافة، فهو ممر، لكن الرأس MM تكرر فيه فليس طريقًا. أما MRPQMRPQ وLMNPLMNP فلا يتكرر فيهما رأس، وRMPRMRMPRM تتكرر فيه RMRM فهو ممشى فقط.

مُستعملًا المُخطَّط الآتي، المسار الذي يُمثِّل دارة من المسارات الآتية، هو:

شكل السؤال ١٨
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) ADBAADBA

المسار ADBAADBA يستعمل ADAD وDBDB وBABA ويعود إلى AA دون تكرار رأس أو حافة، فهو دارة. أما ABDBAABDBA فيكرر BB والحافة BDBD، ولا يعود ABACABAC ولا ABDACABDAC إلى AA.

المُخطَّط المُكمِّل للمُخطَّط الآتي، هو:

شكل السؤال ١٩
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) المُخطَّط ⁦(c)⁩

المخطط المكمّل يضم الحافات الموجودة في المخطط الكامل وغير الموجودة في المخطط نفسه. للمخطط المعطى ست حافات، فمكمّله حافاته التسع: ABAB وACAC وAFAF وBCBC وBDBD وCECE وDEDE وDFDF وEFEF، وهذا ما يرسمه ⁦(c)⁩.

مصفوفة الجوار التي تُمثِّل المُخطَّط الآتي، هي:

شكل السؤال ٢٠
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) V1V2V3V1V2V3[012121210]\begin{array}{cc} & \begin{array}{ccc} V_1 & V_2 & V_3 \end{array} \\ \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{array} & \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \end{array}

المدخلة هي عدد الحافات بين الرأسين: بين V1V_1 وV3V_3 حافتان فالمدخلة 2، وبين V1V_1 وV2V_2 وبين V2V_2 وV3V_3 حافة واحدة. على V2V_2 حلقة تُحسب مرتين فمدخلته 2، ومدخلتا V1V_1 وV3V_3 القطريتان 0. فالصحيح ⁦b⁩.

طول أقصر مسار أويلري في المُخطَّط الموزون الآتي، يبدأ بالرأس AA ، وينتهي به، هو:

شكل السؤال ٢١
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) 38

المخطط شبه أويلري: الرأسان BB وDD فرديان (درجة كل منهما 3). الوزن الكلي 4+6+3+5+7+8=334+6+3+5+7+8=33، وأقصر طريق بين BB وDD هو الحافة BDBD بطول 5، فالطول 33+5=3833+5=38.

المُخطَّط الأويلري من المُخطَّطات الآتية، هو:

شكل السؤال ٢٢
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) المُخطَّط ⁦(b)⁩

المخطط ⁦(b)⁩ متصل ودرجة CC فيه 4 ودرجة كل من A,B,D,EA,B,D,E هي 2، فكل الدرجات زوجية وهو أويلري. أما ⁦(a)⁩ و⁦(c)⁩ و⁦(d)⁩ ففي كل منها رأسان فرديان، مثل M,NM,N في ⁦(a)⁩، فهي شبه أويلرية.

الزوج الذي يُمثِّل حلًّا لنظام المُتباينات 2x−y≥−3y+3x<8\begin{aligned} 2x - y &\ge -3 \\ y + 3x &< 8 \end{aligned} هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) (1,1)(1, 1)

نعوّض كل زوج في المتباينتين. (1,1)(1,1): 2−1=1≥−32-1=1\ge-3 و1+3=4<81+3=4<8 فيحققهما. أما (0,4)(0,4) فيعطي −4≥−3-4\ge-3 وهذا خطأ، و(2,2)(2,2) يعطي 8<88<8 خطأ، و(−2,5)(-2,5) يعطي −9≥−3-9\ge-3 خطأ.

نظام المُتباينات الذي له التمثيل البياني الآتي، هو:

شكل السؤال ٢٤
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) x+y≤5y−3x>1x≥0,y≥0\begin{aligned} x + y &\le 5 \\ y - 3x &> 1 \\ x \ge 0, y &\ge 0 \end{aligned}

المستقيم المتصل المار بـ (0,5)(0,5) و(1,4)(1,4) هو x+y=5x+y=5، ومتصل فالرمز ≤\le والتظليل تحته. المستقيم المتقطع المار بـ (0,1)(0,1) و(1,4)(1,4) هو y−3x=1y-3x=1 والتظليل على يساره، فالرمز >>. إذن الخيار ⁦b⁩.

إذا كان لنظام مُتباينات خطِّيّة منطقة حلٍّ محدودة، رؤوسها هي: P(1,0)P(1, 0) , Q(0,0)Q(0, 0) , R(0,3)R(0, 3) , S(4,1)S(4, 1)، فإنَّ القيمة العُظمى لاقتران الهَدف: T=3x+2yT = 3x + 2y تَتحدَّد عند الرأس:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) SS

القيمة العظمى تكون عند أحد الرؤوس، فنعوّض كل رأس في T=3x+2yT=3x+2y: عند PP تساوي 3، وعند QQ تساوي 0، وعند RR تساوي 6، وعند SS تساوي 3(4)+2(1)=143(4)+2(1)=14. أكبرها 14 عند SS.

مُعامل الارتباط الأقوى ممّا يأتي هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) −0.9-0.9

يزداد الارتباط قوة كلما اقتربت قيمة rr من 11 أو من −1-1. القيمة −0.9-0.9 هي الأقرب إلى −1-1، فهي الأقوى (الإشارة السالبة تدل على الاتجاه فقط)، أما 0.70.7 و0.50.5 و−0.4-0.4 فأبعد عن ±1\pm1.

إذا كان: yˉ=7\bar{y} = 7 ، xˉ=6\bar{x} = 6 ، Sxy=−4S_{xy} = -4 ، Sxx=2S_{xx} = 2 ، فإنَّ معادلة خطّ انحدار yy على xx هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) y=−2x+19y = -2x + 19

الميل

m=SxySxx=−42=−2m=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-4}{2}=-2

والمقطع

b=yˉ−mxˉ=7−(−2)(6)=19b=\bar{y}-m\bar{x}=7-(-2)(6)=19

فالمعادلة y=−2x+19y=-2x+19. الخيار ⁦c⁩ يقلب النسبة فيأخذ 2−4\frac{2}{-4}.

يُمثِّل الشكل الآتي عدد الشطائر التي باعها مطعم في أسبوع. يقلّ عدد الشطائر التي بيعت يوم الأحد عمّا بيع منها يوم السبت بنحو:

شكل السؤال ٢٨
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) 250250

نقرأ من المنحنى: عدد الشطائر يوم السبت نحو 300 ويوم الأحد نحو 50، فالفرق 300−50=250300-50=250 شطيرة تقريبًا.

الشكل الذي يُمثِّل خطّ اتّجاه عام مُستقرّ ممّا يأتي هو:

شكل السؤال ٢٩
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) الشكل ⁦(a)⁩

خط الاتجاه المستقر أفقي تقريبًا ولا يدل على زيادة ولا نقصان. الخط في الشكل ⁦(a)⁩ أفقي، أما ⁦(b)⁩ فميله سالب فهو هابط، و⁦(c)⁩ و⁦(d)⁩ ميلهما موجب فهما صاعدان.

يُبيِّن الجدول الآتي البيانات الرُّبْعية لعدد المُكيِّفات التي باعها محلّ تجاري على مدار عامين مُتتاليين:

العامالأولالثاني
الرُّبْع12341234
عدد المُكيِّفات2545703420608040

ما قيمة الوسط المُتحرِّك الثالث ذي النقاط الأربعة (M3M_3) ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) 46

الوسط المتحرك الثالث ذو النقاط الأربع يستعمل المشاهدات من الثالثة إلى السادسة:

M3=70+34+20+604=1844=46M_3=\frac{70+34+20+60}{4}=\frac{184}{4}=46

.

يُبيِّن الشكل الآتي السلسلة الزمنيّة للأرباح الرُّبْعية (بآلاف الدنانير) لأحد المصانع خلال 3 أعوام، وقد رُسِم عليها خطَّ الاتِّجاه العامّ باستعمال الأوساط المُتحرِّكة ذات النقاط الأربعة. قيمة التباين الموسمي للأرباح في الرُّبْع الرابع من عام 2022 م هي:

شكل السؤال ٣١
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) 400

التباين الموسمي هو القيمة الفعلية ناقص قيمة خط الاتجاه. في الربع الرابع من 2022 نقرأ من الشكل القيمة الفعلية نحو 1200 وقيمة الخط نحو 800، فالتباين 1200−800=4001200-800=400 وهو موجب لأن الفعلية أعلى.

إذا كانت القيمة المُقدَّرة من خطّ الاتِّجاه العامّ المرسوم باستعمال الأوساط المُتحرِّكة ذات النقاط الأربع لعدد الزُّوَّار لِمَعْلَم سياحي في الرُّبْع الثالث من عام 2026 م هي 830 زائرًا، وكانت التَّبايُنات الموسمية لعدد الزُّوَّار في الرُّبْع الثالث للعامين: 2024 م ، 2025 م هي −14-14 ، −10-10، فإنَّ القيمة المُتوقَّعة لعدد زوّار الرُّبْع الثالث في العام 2026 م هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) 818

القيمة المتوقعة = قيمة خط الاتجاه + الوسط الحسابي للتباينات الموسمية. الوسط الحسابي −14+(−10)2=−12\frac{-14+(-10)}{2}=-12، فالقيمة المتوقعة 830+(−12)=818830+(-12)=818 زائرًا.

إذا كان: X∼Geo(0.9)X \sim \text{Geo}(0.9) ، فإنَّ P(X=2)P(X = 2) هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) 0.09

في التوزيع الهندسي P(X=x)=p(1−p)x−1P(X=x)=p(1-p)^{x-1}، فبتعويض p=0.9p=0.9 وx=2x=2 نجد

0.9×(1−0.9)1=0.9×0.1=0.090.9\times(1-0.9)^{1}=0.9\times0.1=0.09

. والخيار ⁦c⁩ هو P(X=1)P(X=1) لا P(X=2)P(X=2).

إذا كان: X∼Geo(325)X \sim Geo\left(\frac{3}{25}\right) ، فإنَّ التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي XX هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) 253\frac{25}{3}

توقّع المتغير العشوائي الهندسي

E(X)=1p=13/25=253E(X)=\frac{1}{p}=\frac{1}{3/25}=\frac{25}{3}

. والخيار ⁦a⁩ هو قيمة pp نفسها لا توقّع المتغير.

التجربة العشوائية التي تُمثِّل تجربة احتمالية ذات حدّين ممّا يأتي هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) إلقاء قطعة نقد 7 مرات ثُمَّ كتابة عدد الصُّوَر التي ظهرت.

تجربة ذات الحدين تتطلب محاولات مستقلة بعدد محدد، ونجاحًا أو فشلًا باحتمال ثابت. إلقاء قطعة نقد 7 مرات يحقق ذلك. أما ⁦(a)⁩ و⁦(d)⁩ فتستمران حتى أول نجاح فلا عدد محدد، و⁦(c)⁩ سحب دون إرجاع فلا يثبت احتمال النجاح.

إذا كان X∼B(n,38)X \sim B\left(n, \frac{3}{8}\right) ، وكان E(X)=72E(X) = 72 ، فإنَّ Var(X)Var(X) يساوي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) 45

من E(X)=np=72E(X)=np=72 وp=38p=\frac38 نجد n=72÷38=192n=72\div\frac38=192. ثم

Var(X)=np(1−p)=72×58=45Var(X)=np(1-p)=72\times\frac58=45

.

إذا كان: X∼N(60,9)X \sim N(60, 9) ، فاستعمل القاعدة التجريبية والشكل الآتي الذي يُمثِّل توزيعًا طبيعيًّا للإجابة عن الفقرتين 37 و 38 الآتيتين: النسبة المئوية للبيانات التي تزيد عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد عن انحرافَيْن معياريين، هي:

شكل السؤال ٣٧
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) 47.5%47.5\%

95% من البيانات تقع بين μ−2σ\mu-2\sigma وμ+2σ\mu+2\sigma، والمنحنى متماثل، فنصفها 47.5%47.5\% بين الوسط وμ+2σ\mu+2\sigma. والخيار 34% يخص انحرافًا معياريًّا واحدًا فقط.

إذا كان: X∼N(60,9)X \sim N(60, 9) ، فاستعمل القاعدة التجريبية والشكل الآتي الذي يُمثِّل توزيعًا طبيعيًّا للإجابة عن الفقرتين 37 و 38 الآتيتين: P(54<X<63)P(54 < X < 63) يساوي:

شكل السؤال ٣٨
اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) 0.815

في N(60,9)N(60,9) التباين 9 فالانحراف المعياري σ=3\sigma=3، و54=μ−2σ54=\mu-2\sigma و63=μ+σ63=\mu+\sigma. المساحة من μ−2σ\mu-2\sigma إلى μ\mu تساوي 13.5%+34%13.5\%+34\% ومن μ\mu إلى μ+σ\mu+\sigma تساوي 34%34\%، فالمجموع 81.5%=0.81581.5\%=0.815.

إذا كان: P(Z<1.25)=0.8944P(Z < 1.25) = 0.8944 ، فإنَّ P(Z<−1.25)P(Z < -1.25) يساوي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: أ) 0.1056

بالتماثل

P(Z<−1.25)=1−P(Z<1.25)=1−0.8944=0.1056P(Z<-1.25)=1-P(Z<1.25)=1-0.8944=0.1056

. والخيار ⁦d⁩ هو P(Z<1.25)P(Z<1.25) نفسه.

إذا كان: P(Z<1)=0.8413P(Z < 1) = 0.8413 ، فإنَّ P(−1<Z<1)P(-1 < Z < 1) يساوي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) 0.6826

P(−1<Z<1)=P(Z<1)−P(Z<−1)=0.8413−(1−0.8413)=0.6826P(-1<Z<1)=P(Z<1)-P(Z<-1)=0.8413-(1-0.8413)=0.6826

.

يُمثِّل المُتغيِّر العشوائي XX أطوال 10001000 لاعب كُرة سلّة بوحدة السنتيمتر، حيث X∼N(187,42)X \sim N(187, 4^2). فإنَّ العدد التقريبي للاعبين الذين تزيد أطوالهم عن 190 cm190\text{ cm} هو: ملاحظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يتضمن قيمًا مأخوذة من جدول التوزيع الطبيعي المعياري. z0.180.751.5P(Z<z)0.57140.77340.9332\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline z & 0.18 & 0.75 & 1.5 \\\hline P(Z < z) & 0.5714 & 0.7734 & 0.9332 \\\hline\end{array}

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) 227

نحوّل إلى قيمة معيارية: z=190−1874=0.75z=\frac{190-187}{4}=0.75، فـ

P(X>190)=1−P(Z<0.75)=1−0.7734=0.2266P(X>190)=1-P(Z<0.75)=1-0.7734=0.2266

. وبضربه في 1000 يكون العدد نحو 227؛ أما 773 فهو P(Z<0.75)P(Z<0.75) مضروبًا في 1000.

أراد مُراقب الجودة في أحد المصانع تحديد جودة أجهزة الحاسوب التي يُنتجها المصنع، فقام بفحص كلّ خامس جهاز على خطّ الإنتاج في أحد الأيام. العيِّنة العشوائية المُختارة، هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) مُنتظَمة

فحص كل خامس جهاز على خط الإنتاج يعني اختيار أفراد العينة وفق فترات محددة، وهذه هي العينة العشوائية المنتظمة. ولا يظهر في الاختيار تقسيم إلى طبقات، فليست طبقية.

بَلَغَ الوسط الحسابي لكُتَل أكياس الإسمنت في أحد المصانع 50 kg50\text{ kg} ، والانحراف المعياري 2 kg2\text{ kg}. إذا أُخذت عيِّنات عشوائية من أكياس الإسمنت حَجم كلّ منها 3535 ، فإنَّ الخطأ المعياري للوسط الحسابي هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) 235\frac{2}{\sqrt{35}}

الخطأ المعياري للوسط الحسابي

σxˉ=σn=235\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{35}}

. والخيار ⁦b⁩ يقلب البسط والمقام.

إذا كانت سرعة السيارات التي تمرّ عن إحدى كاميرات المراقبة تُنتج توزيعًا طبيعيًّا، وسطه الحسابي 70 km/h70\text{ km/h} ، وانحرافه المعياري 6 km/h6\text{ km/h} . إذا اختيرت عيِّنة عشوائية شملت سرعة 25 سيارة، فإنَّ احتمال أن يكون الوسط الحسابي للسرعات في العيِّنة أكثر من 72 km/h72\text{ km/h} ، هو: ملاحظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يتضمن قيمًا مأخوذة من جدول التوزيع الطبيعي المعياري. z0.330.41.67P(Z<z)0.62930.65540.9525\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline z & 0.33 & 0.4 & 1.67 \\ \hline P(Z < z) & 0.6293 & 0.6554 & 0.9525 \\ \hline \end{array}

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) 0.0475

الخطأ المعياري 625=1.2\frac{6}{\sqrt{25}}=1.2 و

z=72−701.2≈1.67z=\frac{72-70}{1.2}\approx1.67

. فـ

P(Xˉ>72)=1−P(Z<1.67)=1−0.9525=0.0475P(\bar X>72)=1-P(Z<1.67)=1-0.9525=0.0475

أما 0.9525 فهو P(Z<1.67)P(Z<1.67).

إذا كان X∼B(400,0.2)X \sim B(400 , 0.2) ، فإنَّه يُمكن تقريب المُتغيِّر العشوائي XX باستعمال أحد المُتغيِّرات العشوائية الآتية:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) Y∼N(80,64)Y \sim N(80 , 64)

np=400×0.2=80≥5np=400\times0.2=80\ge5 وn(1−p)=320≥5n(1-p)=320\ge5، فنقرّب بـ

Y∼N(np, np(1−p))=N(80, 80×0.8)=N(80, 64)Y\sim N(np,\ np(1-p))=N(80,\ 80\times0.8)=N(80,\ 64)

. الوسط 80 والتباين 64؛ والخيار ⁦a⁩ يضع 8 وهو الانحراف المعياري مكان التباين.

أُخذت عيِّنة عشوائية شَملت 81 بيضة من إنتاج إحدى المزارع، فتبيَّن أنَّ الوسط الحسابي لكُتَل العيِّنة هو 58 g58\text{ g} ، وأنَّ الانحراف المعياري هو 5 g5\text{ g} ، إذا استعمل مستوى ثقة 99%99\% ، وكانت القيمة الحرجة المُقابلة لمستوى الثقة 99%99\% هي 2.57 ، فإنَّ الحدّ الأقصى لخطأ التقدير للوسط الحسابي لكُتَل البيض الذي تُنتجه المزرعة، هو:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) 1.43

حجم العينة 81 أكبر من 30 والانحراف المعياري للعينة s=5s=5، فـ

E=z×sn=2.57×59≈1.43E=z\times\frac{s}{\sqrt{n}}=2.57\times\frac{5}{9}\approx1.43

. والخيار ⁦c⁩ هو القيمة الحرجة نفسها.

في دراسة أُجريت في أحد المراكز التجارية، وشملت 36 شخصًا اختيروا عشوائيًّا من زبائن المركز التجاري، تبيَّن أنَّ الوسط الحسابي لما أنفقه الزبون هو 80 JD\text{80 JD} في ذلك اليوم، وأنَّ الانحراف المعياري لتلك العيِّنة هو 14 JD\text{14 JD} ، فما فترة الثقة بمستوى 90%90\% للوسط الحسابي لما أنفقه زبائن المركز التجاري في ذلك اليوم، علمًا بأنَّ القيمة الحرجة المُقابلة لمستوى الثقة 90%90\% هي 1.64 ؟

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) 76.17<μ<83.8376.17 < \mu < 83.83

E=z×sn=1.64×146≈3.83E=z\times\frac{s}{\sqrt{n}}=1.64\times\frac{14}{6}\approx3.83

وفترة الثقة xˉ−E<μ<xˉ+E\bar{x}-E<\mu<\bar{x}+E أي 80−3.83<μ<80+3.8380-3.83<\mu<80+3.83، فهي 76.17<μ<83.8376.17<\mu<83.83.

يدَّعي أمين مكتبة أنَّ الوسط الحسابي لعدد الزُّوَّار يوميًّا لا يزيد عن 400 زائر. العبارة التي تُمثِّل الفرضية الصِّفْرية H0H_0 ، والفرضية البديلة H1H_1 هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ج) H0:μ≤400 and H1:μ>400H_0: \mu \le 400 \text{ and } H_1: \mu > 400

ادعاء أمين المكتبة «لا يزيد عن 400» هو μ≤400\mu\le400، وفيه رمز المساواة فيكون H0H_0، ونقيضه μ>400\mu>400 هو H1H_1. الخيار ⁦d⁩ خطأ لأن H0H_0 يجب أن تحتوي رمز المساواة.

يدَّعي وكيل لإحدى شركات تصنيع السيارات أنَّ الوسط الحسابي لاستهلاك سيارة جديدة للوقود أقلّ من 66 لتر لكلّ 100100 كيلومتر. إذا استُعمِل مستوى دلالة 1%1\% لتحديد إذا كانت توجد أدلّة كافية لرفض ادِّعاء وكيل الشركة أم لا، وكان P(Z<2.32)=0.9898P(Z < 2.32) = 0.9898 ، فإنَّ القيمة الحَرِجة zαz_\alpha هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: د) −2.32-2.32

ادعاء الوكيل μ<6\mu<6 لا يحتوي مساواة فهو H1H_1، فالاختبار أحادي الطرف يسارًا وتكون zαz_\alpha سالبة. مساحة الذيل الأيسر 1% تقابل −2.32-2.32 لأن P(Z<2.32)=0.9898P(Z<2.32)=0.9898، فالقيمة الحرجة −2.32-2.32.

إذا علمت أنَّ kk هو الادِّعاء عن قيمة الوسط الحسابي μ\mu حيث: k:μ>6.5,α=0.05,zα=1.64,xˉ=6.7,s=0.8,n=36k: \mu > 6.5 , \alpha = 0.05 , z_\alpha = 1.64 , \bar{x} = 6.7 , s = 0.8 , n = 36 فإنَّ العبارة الصحيحة ممّا يأتي هي:

اعرض الحل

الإجابة الصحيحة: ب) عدم رَفْض الفرضية الصِّفْرية H0H_0

الادعاء μ>6.5\mu>6.5 هو H1H_1 والاختبار يمينًا، فـ H0:μ≤6.5H_0:\mu\le6.5.

z=6.7−6.50.8/36=1.5<1.64z=\frac{6.7-6.5}{0.8/\sqrt{36}}=1.5<1.64

فلا يقع في المنطقة الحرجة ولا نرفض H0H_0. وعبارة ⁦d⁩ خطأ لأن H0H_0 تحوي المساواة.

ذاكر رياضيات كليات المجتمع

كل أوراق رياضيات كليات المجتمع الوزاريةصفحة رياضيات كليات المجتمعأسئلة مع الحلملخصات المادةبطاقات تعليميةمعجم المصطلحاتالامتحانات المتوقعة