النهايات والاتصال

From the summary

مفهوم النهاية والنهاية من الجهتين

## مفهوم النهاية والنهاية من الجهتين يمثل مفهوم النهاية حجر الزاوية في علم التفاضل والتكامل، حيث يصف سلوك اقتران ما عند اقتراب متغيره المستقل $x$ من قيمة معينة $c$، دون الاهتمام بالضرورة بقيمة الاقتران عند تلك النقطة ذاتها. نعبّر عن ذلك رياضياً بالصيغة $lim_{x \to c} f(x) = L$، والتي تُقرأ 'نهاية الاقتران $f(x)$ عندما تقترب $x$ من $c$ تساوي $L$'. هذا يعني أنه يمكننا جعل قيم $f(x)$ قريبة من $L$ بالقدر الذي نريد، وذلك بأخذ قيم $x$ قريبة بما فيه الكفاية من $c$. ولكي تكون هذه النهاية الكلية موجودة ومعرّفة بشكل دقيق، يجب أن يكون سلوك الاقتران متسقاً من كلتا الجهتين. أي أنه يجب أن تتساوى النهاية من جهة اليسار (عندما تقترب $x$ من $c$ بقيم أصغر منها) مع النهاية من جهة اليمين (عندما تقترب $x$ من $c$ بقيم أكبر منها). إذا تحقق الشرط $lim_{x \to c^-} f(x) = lim_{x \to c^+} f(x) = L$، نقول إن النهاية موجودة وتساوي $L$. أما إذا اختلفت النهايتان، فإننا نحكم بأن النهاية الكلية غير موجودة عند تلك النقطة، مما يشير غالباً إلى وجود قفزة في الرسم البياني للاقتران.

From the question bank

تكون نهاية الاقتران f(x) عندما تقترب x من c موجودة إذا وفقط إذا كانت:

• النهاية من اليمين موجودة فقط.
• النهاية من اليسار موجودة فقط.
• النهايتان من اليمين واليسار موجودتان ومتساويتان.
• قيمة الاقتران f(c) معرفة ومساوية للنهاية.

More in this unit