المشتقة الثانية وتطبيقاتها

من الملخص

إيجاد المشتقة الثانية

## إيجاد المشتقة الثانية تُعرّف المشتقة الثانية، التي يُرمز لها بالرمز $f''(x)$ أو $y''$ أو $\frac{d^2y}{dx^2}$، بأنها مشتقة المشتقة الأولى. بعبارة أخرى، هي "معدل تغيّر معدل التغيّر". لإيجادها، نبدأ باشتقاق الاقتران $f(x)$ لنحصل على المشتقة الأولى $f'(x)$، ثم نقوم باشتقاق $f'(x)$ مرة أخرى لنحصل على المشتقة الثانية $f''(x)$. هذه العملية تسمى الاشتقاق المتتالي. على سبيل المثال، إذا كان لدينا الاقتران $f(x) = x^4 + 2x^3 - 5x + 1$، فإن مشتقته الأولى هي $f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 5$. وباشتقاق المشتقة الأولى، نحصل على المشتقة الثانية: $f''(x) = 12x^2 + 12x$. من الضروري جداً تبسيط الاقتران قبل البدء بعملية الاشتقاق، خاصة عند التعامل مع الجذور أو الكسور. على سبيل المثال، يجب إعادة كتابة الاقتران $g(x) = \sqrt{x} + \frac{3}{x^2}$ على الصورة الأسية $g(x) = x^{1/2} + 3x^{-2}$ لتسهيل تطبيق قواعد الاشتقاق. *المشتقة الثانية (Second Derivative):** هي نتيجة اشتقاق المشتقة الأولى للاقتران. إذا كانت $f'(x)$ تمثل ميل المماس لمنحنى $f(x)$، فإن $f''(x)$ تمثل معدل تغير هذا الميل، وهو ما يحدد تقعر المنحنى.

سؤال من بنك الأسئلة

عرّف المشتقة الثانية.

موضوعات أخرى في الوحدة