قياس الزاوية بالراديان

• رسم الزوايا في الوضع القياسي.
• التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان، والعكس.

كيف نرسم زاوية من قياسها؟

• قياس الزاوية يصف مقدار الدوران واتجاهه اللازمينِ للانتقال من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء.
• موجب: إذا كان دوران ضلع الانتهاء عكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
• سالب: إذا كان دوران ضلع الانتهاء مع اتجاه حركة عقارب الساعة.

أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلِمَ قياسها في كلٍّ ممّا يأتي: ⁦a)⁩ $170°$

b) $650°$

c) $-130°$

الراديان: قياس الزاوية بطول القوس

• الراديان وحدةٌ لقياس الزوايا تعتمدُ على طول قوس الدائرة، ويُمكِن أيضًا قياس الزوايا بالدرجات.
• رمزه: يُكتَب 1 راديان في صورة: ⁦1 rad⁩.

• الدورة الكاملة: محيط الدائرة يساوي $2\pi r$، فقياس زاوية الدورة الكاملة هو $2\pi$ راديان (عدد مرات تكرار $r$ في $2\pi r$).

• وهذا يعني أنَّ قياس الزاوية المستقيمة هو $\pi$ ⁦rad⁩، وأنَّ قياس الزاوية القائمة هو $\frac{\pi}{2}$ rad.
• وأنَّ قياس الزاوية التي يقابلها قوس طوله وحدتان هو ⁦2 rad⁩.

• بما أنَّ $180° = \pi$ ⁦rad⁩، إذن $1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)°$، $1° = \frac{\pi}{180}$ rad.
• ويمكن من خلال هاتين العلاقتين تحويل قياس أي زاوية من الدرجات إلى الراديان والعكس.

أُحوِّل قياس الزاوية المكتوب بالدرجات إلى الراديان، وقياس الزاوية المكتوب بالراديان إلى الدرجات في كلٍّ ممّا يأتي:

a) $165°$

b) $\frac{5\pi}{4}$

c) $-80°$

d) $-6$

الزوايا الخاصة: احفظ الربع الأول

يُبيِّن الشكل الآتي القياسات المتكافئة بالدرجات والراديان للزوايا الخاصة من $0°$ إلى $360°$ (من ⁦0 rad⁩ إلى $2\pi$ rad).

زوايا مختلفة بضلع انتهاء واحد

• مثلًا: الزاويتان $A$ و$B$ في الشكل المجاور هما زاويتان مُشتركِتان.

• لإيجاد زاوية مُشتركِة أجمع أو أطرح أحد مضاعفات الزاوية $360°$ أو $2\pi$

• حيث $n$ عدد صحيح.

أجد زاويتين إحداهما قياسها موجب، والأُخرى قياسها سالب، وكلتاهما مُشتركِة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة ممّا يأتي، ثم أرسمهما:

a) $88°$

b) $-920°$

c) $\frac{2\pi}{3}$

d) $-\frac{3\pi}{4}$

طول القوس ومساحة القطاع بالراديان

• القوس جزء من الدائرة مُحدَّد بنقطتين عليها.
• القطاع هو الجزء المحصور بين قوس منها ونصفي القُطْرين اللذين يمرّان بطرفي القوس.

• طول القوس ${s}$ من الدائرة المقابل لزاوية مركزية قياسها $\theta$ بالراديان يساوي ناتج ضرب طول نصف القُطْر $r$ في $\theta$.

• ${s} = r\theta$

يُبيِّن الشكل المجاور قطاعًا دائريًّا زاويته المركزية $50°$ في دائرة طول نصف قُطْرها $9\ \text{cm}$. أجد طول القوس ومساحة القطاع، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة.

السرعة الخطية والسرعة الزاويّة

• نقطة تتحرَّك على محيط دائرة كما في الشكل المجاور يُمكِن وصف حركتها بسرعتين.

• بافتراض أنَّ نقطة تتحرَّك بسرعة ثابتة على محيط دائرة طول نصف قُطْرها $r$:
• السرعة الخطية $v$: إذا كان ${s}$ هو طول القوس الذي تقطع النقطة في مدَّة زمنية مقدارها $t$:

• السرعة الزاويَّة $\omega$: إذا كانت $\theta$ زاوية الدوران (بالراديان) التي دارتها النقطة في مدَّة زمنية مقدارها $t$:

منارة: تتوسَّط منارة قناة ماء، ويتحرَّك ضوؤها حركة دائرية بسرعة ثابتة. إذا أكملت ضوء المنارة دورة كاملة كل 10 ثوانٍ، فأجد السرعة الزاويَّة لضوئها في الدقيقة.

تدرّب: من الرسم إلى الحركة الدائرية

أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلِم قياسها في كلٍّ ممّا يأتي:

1. $450°$

2. $-900°$

3. $540°$

4. $-700°$

5. $-\frac{\pi}{6}$

6. $\frac{21\pi}{4}$

7. $\frac{7\pi}{6}$

8. $\frac{\pi}{9}$

أُحوِّل قياس الزاوية المكتوب بالدرجات إلى الراديان، وقياس الزاوية المكتوب بالراديان إلى الدرجات في كلِّ ممّا يأتي:

9. $-225°$

10. $-135°$

11. $75°$

12. $500°$

13. $-\frac{\pi}{7}$

14. $\frac{5\pi}{12}$

15. $1.2$

16. $4$

17. $50°$

18. $135°$

19. $1290°$

20. $-150°$

21. $\frac{11\pi}{6}$

22. $-\frac{\pi}{4}$

23. $-\frac{\pi}{12}$

24. $\frac{7\pi}{6}$

• أجد طول القوس ومساحة القطاع في كلٍّ ممّا يأتي، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة (إن لزم):

شكل التمرين 25

شكل التمرين 26

شكل التمرين 27

28. يُدوِّر طفل حجرًا مربوطًا بطرف حبل طوله ⁦3 ft⁩ بمُعدَّل 15 دورة في 10 ثوانٍ. أجد السرعة الزاويَّة والسرعة الخطية للحجر.

قُطْر شفرة منشار ماسية دائرية الشكل ⁦7.5 in⁩، وهي تدور 2400 دورة في الدقيقة:

29. أجد السرعة الزاويَّة لهذه الشفرة بالراديان لكل ثانية.

30. أجد السرعة الخطية لأسنان المنشار عند ملامستها الرخام المراد قطعه.

فكّر أعمق: اكتشف الخطأ وبرّر

• 31) أكتشف الخطأ: حوّل أحمد قياس الزاوية $24°$ من الدرجات إلى الراديان كما هو مُبيَّن أدناه.

31. أكتشف الخطأ في حلّ أحمد وأصحّحه.

• تبرير: يُمثِّل الشكل المُظلَّل المجاور جزءًا من قطاع دائري:

32. أجد مساحة هذا الشكل.

33. أجد محيط هذا الشكل.

• 34) تبرير: أجد قياس الزاوية $\theta$ في الشكل المجاور، وأبرّر إجابتي.

34. أجد قياس الزاوية $\theta$ في الشكل، وأبرّر إجابتي.