ملخص قياس الزاوية بالراديان، الرياضيات

الراديان

تعلَّمْتُ سابقًا أنّه يُمكِن قياس الزوايا بالدرجات، ويُمكِن أيضًا قياسها بوحدةٍ تعتمدُ على طول قوس الدائرة، وتُسمّى الراديان ⁦(radian)⁩.
فقياس الزاوية المرسومة في الوضع القياسي، التي يُحدّدُ ضلعُ انتهائها قوسًا من الدائرة، طوله مساوٍ لنصف قُطْر الدائرة، هو 1 راديان.

قياس الزوايا الخاصة بالدرجات والراديان: يُبيِّن الشكل الآتي القياسات المتكافئة بالدرجات والراديان للزوايا الخاصة من $0°$ إلى $360°$ (من ⁦0 rad⁩ إلى $2\pi$ rad).

يُطلَق على الزوايا في الوضع القياسي التي لها ضلع الانتهاء نفسه، لكنَّ قياساتها مختلفة، اسم الزوايا المُشتركِة ⁦(coterminal angles)⁩.

الزوايا المُشتركِة: يُمكِن إيجاد زاوية مُشتركِة في ضلع الانتهاء مع زاوية أُخرى عن طريق جمع أو طرح أحد مضاعفات الزاوية $360°$ أو $2\pi$

تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ القوس جزء من الدائرة مُحدَّد بنقطتين عليها، وأنَّ القطاع هو الجزء المحصور بين قوس منها ونصفي القُطْرين اللذين يمرّان بطرفي القوس.
وسأتعلَّم الآن إيجاد طول القوس ومساحة القطاع عندما يكون قياس الزاوية المركزية بالراديان.

طول القوس ومساحة القطاع: طول القوس بالكلمات: طول القوس $s$ من الدائرة المقابل لزاوية مركزية قياسها $\theta$ بالراديان يساوي ناتج ضرب طول نصف القُطْر $r$ في $\theta$ .

إذا افترضتُ أنَّ نقطة تتحرَّك على محيط دائرة كما في الشكل المجاور، فإنَّه يُمكِنني وصف حركتها باستعمال السرعة الخطية ⁦(linear velocity)⁩ التي تُمثِّل المُعدَّل الذي تتغيَّر فيه المسافة المقطوعة.
فالسرعة الخطية هي المسافة المقطوعة مقسومة على المدَّة الزمنية المنقضية.
يُمكِنني أيضًا وصف حركة النقطة باستعمال السرعة الزاويَّة ⁦(angular velocity)⁩ التي تُمثِّل المُعدَّل الذي يتغيَّر فيه قياس الزاوية المركزية.
فالسرعة الزاويَّة هي قيمة التغيُّر في قياس الزاوية بالراديان مقسومة على الزمن المنقضي.

السرعة الخطية والسرعة الزاويَّة: بافتراض أنَّ نقطة تتحرَّك بسرعة ثابتة على محيط دائرة، طول نصف قُطْرها $r$ : - إذا كان $s$ هو طول القوس الذي تقطع النقطة في مدَّة زمنية مقدارها $t$ ، فإنَّ السرعة الخطية $v$ لهذه النقطة تعطى بالعلاقة الآتية: $v = \frac{s}{t}$ - إذا كانت $\theta$ هي زاوية الدوران (بالراديان) التي دارتها النقطة في مدَّة زمنية مقدارها $t$ ، فإنَّ السرعة الزاويَّة $\omega$ لهذه النقطة تعطى بالعلاقة الآتية: $\omega = \frac{\theta}{t}$