قاعدة السلسلة

• إيجاد مشتقّات اقترانات مُختلِفة باستعمال قاعدة السلسلة.

كيف نشتقّ اقترانًا بداخله اقتران؟

• ومن أمثلته:
• $f(x)=x^4$
• $f(x)=\frac{1}{x^8}$
• $f(x)=x^{\frac{5}{3}}$
• مشتقّة اقتران القوّة: $f'(x)=nx^{n-1}$
• السؤال: كيف نجد مشتقّة اقتران أكثر تعقيدًا، مثل $f(x)=(x^3+2x)^7$؟
• اقتران مُركَّب: $h(x)=x^3+2x$، و $g(x)=x^7$ مُركَّبتا $f(x)$.

إذا كان $f(x)$ و$g(x)$ اقترانين، فإنَّه يُمكِن إيجاد مشتقّة الاقتران المُركَّب: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ باستعمال القاعدة الآتية:

• بصيغة أُخرى، إذا كان: $y=f(u)$، وكان: $u=g(x)$، فإنَّ:

1. حدّد الداخلي والخارجي: افصل الاقتران المُركَّب إلى اقتران داخلي واقتران خارجي.
2. اشتقّ كلًّا منهما: أوجد مشتقّة الاقتران الداخلي ومشتقّة الاقتران الخارجي.
3. اضرب: اضرب مشتقّة الخارجي، عند الداخلي، في مشتقّة الداخلي.
4. عوّض وبسّط: عوّض عن الاقتران الداخلي ثم بسّط الناتج.

a) $y=(x^2-2)^4$

b) $y=\sqrt{x^3+4x}$

قاعدة سلسلة القوّة: طريق أقصر

• أحد أكثر الاقترانات المُركَّبة شيوعًا: $f(x)=(g(x))^n$.

إذا كان $n$ أيَّ عدد حقيقي، وكان $g(x)$ اقترانًا، فإنَّ:

أجد مشتقّة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

a) $f(x)=(x^4+1)^5$، $x=1$

b) $f(x)=\sqrt{x^2+3x+6}$، $x=2$

c) $y=\sqrt[4]{(2x^2-7)^5}$، $x=4$

نجمع قواعد الاشتقاق مع السلسلة

• لإيجاد مشتقّة اقتران في بعض الحالات، يتعيَّن تطبيق قواعد الاشتقاق الأساسية التي تعلَّمْتُها سابقًا،
• مثل: مشتقّة المجموع، ومشتقّة الفرق، ومشتقّة مضاعفات الاقتران، إضافةً إلى تطبيق قاعدة السلسلة.

إذا كان $f(x)$ و $g(x)$ اقترانين، وكان $a$ عددًا حقيقيًّا، فإنَّ مشتقّة كلٍّ من $f(x)+g(x)$، و $f(x)-g(x)$، و $af(x)$ هي:

$(f\pm g)'(x)=f'(x)\pm g'(x)$ مشتقّة المجموع، أو مشتقّة الفرق

$(af)'(x)=af'(x)$ مشتقّة مضاعفات الاقتران

a) $f(x)=(1+x^3)^4+x^8+2$

b) $f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-(x-3)^3$

المشتقّة تقيس سرعة التغيّر

• تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ المشتقّة هي نهاية ميل قاطع المنحنى بين النقطتين: $(x,f(x)),\ (x+h,f(x+h))$ عندما $h\to 0$.
• وبما أنَّ ميل القاطع هو مُعدَّل تغيُّر قيمة $y$ بالنسبة إلى قيمة $x$، فإنَّ المشتقّة هي مُعدَّل تغيُّر أيضًا، ولكنْ عند لحظة (نقطة) مُعيَّنة.

• تتطلَّب كثير من المواقف الحياتية إيجاد مُعدَّل تغيُّر كمِّية ما بالنسبة إلى كمِّية أُخرى عند لحظة مُعيَّنة، مثل إيجاد مُعدَّل تغيُّر كمِّية أوّل أكسيد الكربون في الجو بالنسبة إلى عدد السكّان.

• تشير الإشارة الموجبة إلى ازدياد مُتوسِّط المستوى اليومي لغاز أوّل أكسيد الكربون.

يُمثِّل الاقتران: $P(t)=\sqrt{10t^2+t+229}$ إجمالي الأرباح السنوية لإحدى الشركات الصناعية (بآلاف الدنانير)، حيث $t$ عدد السنوات بعد عام 2015م:

أجد مُعدَّل تغيُّر إجمالي الأرباح السنوي للشركة بالنسبة إلى الزمن $t$.

أجد مُعدَّل تغيُّر إجمالي الأرباح السنوي للشركة عام 2020م، وأفسِّر معنى الناتج.

تمرّن: اشتقّ بقاعدة السلسلة

أجد مشتقّة كل اقتران ممّا يأتي:

1. $f(x)=(1+2x)^4$

2. f(x)=(3-2x2)-5

3. f(x)=(x2-7x+1)(3)/(2)

4. f(x)=√(7-x)

5. f(x)=4(2+8x)4

6. f(x)=1[3]4x-8

7. f(x)=√(5+3x3)

8. f(x)=√(x)+(x-3)2

9. f(x)=[3]2x-x5+(4-x)2

10. f(x)=(√(x)+5)4

11. f(x)=√((2x-5)3)

12. f(x)=(2x3-3x2+4x+1)5 أجد مشتقّة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

13. f(x)=(1)/((4x+1)2), x=(1)/(4)

14. f(x)=√(25-x2), x=3

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكلٍّ ممّا يأتي:

15. y=5u2+3u, u=x3+1

16. y=[3]2u+5, u=x2-x

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكلٍّ ممّا يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

17. y=3u2-5u+2 u=x2-1 $x=2$

18. y=(1+u2)3 u=2x-1 $x=1$

يُمثِّل الاقتران: C(x)=1000√(x2-0.1x) تكلفة إنتاج $x$ قطعة من مُنتَج مُعيَّن (بآلاف الدنانير):

19. أجد مُعدَّل تغيُّر تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المُنتَجة.

20. أجد مُعدَّل تغيُّر تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المُنتَجة عندما يكون عدد القطع المُنتَجة 20 قطعة.

يُمثِّل الاقتران: N(t)=400(1-(3)/((t2+2)2)) عدد الخلايا البكتيرية بعد $t$ يومًا في مجتمع بكتيري:

21. أجد مُعدَّل تغيُّر ${N}$ بالنسبة إلى $t$ عندما t=1.

22. أجد مُعدَّل تغيُّر ${N}$ بالنسبة إلى $t$ عندما t=4.

إذا كان: g(2)=-3 g'(2)=6 h(3)=2 h'(3)=-2 فأجد مشتقّة كل اقتران ممّا يأتي عندما x=3:

23. f(x)=g(h(x))

24. f(x)=(h(x))3 إذا كان y=√(2x+5)؛ فأُجيب عمّا يأتي:

إذا كان y=√(2x+5)؛ فأُجيب عمّا يأتي:

25. أُثبتُ أنّ (dy)/(dx)=(1)/(y)

26. أجد النقطة التي يقطع عندها مماس الاقتران عند النقطة (2,3) المحور $x$.

إذا كان y=(600)/(x2+50)؛ فأُجيب عمّا يأتي:

27. أجد $\frac{dy}{dx}$.

28. أجد معادلة المماس عند النقطة (10,4).

تبرير وتحدٍّ

29. تبرير: إذا كان: h(x)=f(g(x))، حيث: f(u)=u2-1، وكان: g'(2)=-1, g(2)=3، فأجد h'(2)، وأبرِّر إجابتي.

30. تبرير: أجد مشتقّة الاقتران: y=(x2-4)5 عندما y=0، وأبرِّر إجابتي.

31. أكتشف المُختلِف: أيُّ الاقترانات الآتية مُختلِف؟ أبرِّر إجابتي.

p(x)=x2+1 g(x)=(1)/((x2+1)2) h(x)=(x2+1)3 f(x)=√(x2+1)

32. تحدٍّ: أجد مشتقّة الاقتران: f(x)=[3]2x+(x2+x)4.

33. تحدٍّ: أُثبتُ أنّ مماس منحنى الاقتران y=(x2+x-2)3+3 عند النقطة (1,3)، هو أيضًا مماس للمنحنى عند نقطة أُخرى.