ملخص قاعدة السلسلة، الرياضيات

قاعدة السلسلة

• $f(x) = x^4 \quad , \quad f(x) = \frac{1}{x^8} \quad , \quad f(x) = x^{\frac{5}{3}}$

قاعدة السلسلة

• $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$
• $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$

قاعدة سلسلة القوّة

• تعرَّفْتُ في المثال السابق كيف أجد مشتقّة الاقتران المُركَّب في صورة: $f(x)=(g(x))^n$، وهو أحد أكثر الاقترانات المُركَّبة شيوعًا.
• والآن سأتعرَّف قاعدة عامة لإيجاد مشتقّة هذا الاقتران تُسمّى قاعدة سلسلة القوّة ⁦(power chain rule)⁩، وهي حالة خاصة من قاعدة السلسلة، حيث الاقتران الخارجي $f$ هو اقتران قوّة.

قاعدة سلسلة القوّة

• $\frac{d}{dx}(g(x))^n=n(g(x))^{n-1}\times g'(x)$

مُعدَّل التغيُّر

• تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ المشتقّة هي نهاية ميل قاطع المنحنى بين النقطتين: $(x,f(x)),\ (x+h,f(x+h))$ عندما $h\to 0$.
• وبما أنَّ ميل القاطع هو مُعدَّل تغيُّر قيمة $y$ بالنسبة إلى قيمة $x$، فإنَّ المشتقّة هي مُعدَّل تغيُّر أيضًا، ولكنْ عند لحظة (نقطة) مُعيَّنة.