تمثيل الاقترانات المثلثية بيانياً

• تمثيل اقتران الجيب، وجيب التمام بيانيًّا في المستوى الإحداثي.
• تمثيل منحنيات الاقترانات الجيبية الناتجة من تحويل هندسي أو أكثر لمنحنى الاقترانين الرئيسين: $f(x) = \cos x$، و $f(x) = \sin x$.

الجيب وجيب التمام: جدول قيم ثم منحنى

تعلَّمْتُ سابقًا تمثيل الاقترانين المثلثيين: $y = \sin x$، و $y = \cos x$ عندما تكون الزوايا بالدرجات في الفترة $[0°, 360°]$، وذلك بإنشاء جدول قِيَم للمُتغيِّرين $x$ و$y$، وتمثيل كل زوج بنقطة في المستوى. ويُمكِن استعمال هذه الطريقة لتمثيل الاقترانين نفسيهما عند قياس الزوايا بالراديان في الفترة $[0, 2\pi]$.

• الخطوة 3: أُعيِّن الأزواج المُرتَّبة في المستوى الإحداثي، ثم أصل بينها بمنحنى، فينتج التمثيل البياني الآتي.

أُمثِّل الاقتران: $f(x) = \sin x$ بيانيًّا في الفترة $[-2\pi, 2\pi]$.

أُمثِّل الاقتران: $f(x) = \cos x$ بيانيًّا في الفترة $[-2\pi, 2\pi]$.

فما الذي يميّز هذين المنحنيين، وما علاقتهما بدائرة الوحدة؟

دائرة الوحدة والمنحنى: ماذا يتكرّر؟

• ألاحِظ من المثال السابق أنَّ التمثيل البياني لمنحنى الاقتران: $f(x) = \sin\theta$ يربط بين قياس الزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي والإحداثي $y$ للنقطة $P$ التي يقطع عندها ضلع انتهاء الزاوية دائرة الوحدة كما في الشكل الآتي.

• أمّا التمثيل البياني للاقتران: $f(x) = \cos\theta$ فيربط بين قياس الزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي والإحداثي $x$ للنقطة $P$ التي يقطع عندها ضلع انتهاء الزاوية دائرة الوحدة كما في الشكل الآتي.

• في ما يأتي خصائص التمثيل البياني للاقترانين: $f(x) = \sin x$ ، و $f(x) = \cos x$:
• مجال كلٍّ من الاقترانين هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
• مدى كلٍّ من الاقترانين هو الفترة $[-1, 1]$؛ لذا، فإنَّ القيمة الصغرى لكلٍّ منهما $-1$، والقيمة العظمى لكلٍّ منهما $1$
• سعة ⁦(amplitude)⁩ منحنى الاقتران هي نصف الفرق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى، وتساوي 1 لكلٍّ من الاقترانين؛ لأنَّ:

• كلٌّ من الاقترانين هو اقتران دوري ⁦(periodic function)⁩، وهذا يعني أنَّ التمثيل البياني لمنحنى كلٍّ منهما له نمط مُتكرِّر، وأنَّ أقصر جزء مُتكرِّر من التمثيل يُسمّى الدورة ⁦(cycle)⁩.
• الطول الأفقي لكل دورة يُسمّى طول الدورة ⁦(period)⁩، والتمثيل البياني للاقترانين يُظهِر أنَّ طول الدورة هو $2\pi$.

الصورة العامة: أربعة معاملات تتحكّم بالمنحنى

• بوجه عام، فإنَّ الصورة العامة للاقترانات الجيبية هي:

• حيث: $a, b, c, d$ أعداد حقيقية، و $a$ و $b$ لا يساويان صفرًا.

فماذا يفعل كلّ معامل بمنحنى الجيب أو جيب التمام؟

المعامل ⁦a⁩: يرفع القمم أو يخفضها

• إذا كان $|a| > 1$، فإنَّ المعامل $a$ في الاقترانين: $g(x) = a\sin x$ ،و $g(x) = a\cos x$ يؤدي إلى توسيع رأسي للمنحنى.
• وإذا كان $|a| < 1$، فإنَّ المعامل $a$ يؤدي إلى تضييق رأسي للمنحنيين.
• أي أنَّ قيمة $a$ تُؤثِّر في سعة الاقترانات الجيبية.

• لتمثيل $g(x) = a\sin x$ أو $g(x) = a\cos x$، أرسم نقاط تقاطع اقتران الجيب الرئيس، أو جيب التمام الرئيس مع المحور $x$.
• ثم أستعمل قيمة السعة $|a|$ لتحديد نقاط عظمى وصغرى للاقتران، ثم أرسم الموجة التي تمرُّ بهذه النقاط.

• الخطوة 4: أُمثِّل منحنى الاقتران $g(x)$ اعتمادًا على النقاط الجديدة.

• الخطوة 3: أضرب الإحداثي $y$ لكل نقطة عظمى أو صغرى على منحنى الاقتران $f(x)$ في سعة الاقتران $g(x)$؛ لإيجاد النقاط المقابلة لها على منحنى الاقتران $g(x)$.
• الخطوة 4: أُمثِّل منحنى الاقتران $g(x)$ اعتمادًا على النقاط الجديدة.

أُمثِّل منحنى كل اقتران ممّا يأتي بيانيًّا:

a) $g(x) = 2\sin x$

b) $g(x) = \frac{1}{4}\cos x$

والآن: ماذا لو غيّرنا المعامل داخل الاقتران بدل خارجه؟

المعامل ⁦b⁩: يغيّر طول الدورة

• إذا كان $|b| < 1$، فإنَّ المعامل $b$ في الاقترانين: $g(x) = \sin bx$ ، و $g(x) = \cos bx$ يؤدي إلى توسيع أفقي للمنحنى.
• وإذا كان $|b| > 1$، فإنَّ المعامل $b$ يؤدي إلى تضييق أفقي للمنحنيين.
• أي أنَّ قيمة $b$ تُؤثِّر في طول دورة الاقترانات الجيبية.

• لتمثيل $g(x) = \sin bx$ أو $g(x) = \cos bx$، أُحدِّد طول دورة الاقتران.
• ثم أجد النقاط المفتاحية لاقتران الجيب الرئيس أو جيب التمام، ثم أضرب الإحداثي $x$ لكل نقطة مفتاحية في $\frac{1}{b}$.

• إرشاد: يُمكِن التحقُّق من التمثيل البياني للاقتران $g(x) = \sin\frac{x}{2}$ بالتحقُّق من أنَّ طول دورته $4\pi$

a) $g(x) = \sin 3x$

b) $g(x) = \cos\frac{x}{3}$

الانسحاب الرأسي: محور جديد اسمه خط الوسط

• منحنى الاقتران $g(x) = f(x) + c,\ c > 0$ ، هو منحنى الاقتران $f(x)$ ، مزاحًا $c$ وحدة إلى الأعلى.
• ومنحنى الاقتران $g(x) = f(x) - c$ هو منحنى الاقتران $f(x)$ ، مزاحًا $c$ وحدة إلى الأسفل.
• وهذه القاعدة تنطبق على الاقترانات الجيبية.

• ألاحِظ أنَّ خط الوسط لمنحنى الاقتران $g(x) = 2 + \cos x$ هو $y = 2$ ، وأنَّ النقاط المفتاحية تتذبذب حوله.

أُمثِّل منحنى الاقتران $g(x) = \sin x - 3$ بيانيًّا.

الانسحاب الأفقي: المنحنى يتحرّك يمينًا أو يسارًا

• منحنى الاقتران $g(x) = f(x + c),\ c > 0$ هو منحنى الاقتران $f(x)$ ، مزاحًا $c$ وحدة إلى اليسار.
• ومنحنى الاقتران $g(x) = f(x - c)$ هو منحنى الاقتران $f(x)$ ، مزاحًا $c$ وحدة إلى اليمين.
• وهذه القاعدة تنطبق على الاقترانات الجيبية.

أُمثِّل منحنى الاقتران $g(x) = \cos(x + \frac{\pi}{2})$ بيانيًّا.

حين يكون ⁦a⁩ سالبًا: المنحنى ينقلب

• تعلَّمْتُ تمثيل الاقترانات الجيبية في صورة $g(x) = a\sin(bx - c) + d$ ، وصورة $g(x) = a\cos(bx - c) + d$ إذا كانت $a > 0$.
• ولتحديد تأثير قيمة $a$ عندما تكون $a < 0$ ، أتأمَّل منحنيي الاقترانين: $g(x) = -\sin x$ ، و $g(x) = -\cos x$.

• ألاحِظ أنَّ منحنى الاقتران $g(x) = -\sin x$ هو انعكاس لمنحنى الاقتران $f(x) = \sin x$ حول المحور $x$.
• وأنَّ منحنى الاقتران $g(x) = -\cos x$ هو أيضًا انعكاس لمنحنى الاقتران $f(x) = \cos x$ حول المحور $x$.

أجد السعة، وطول الدورة، ومعادلة خط الوسط للاقتران: $g(x) = -2\sin(x - \pi) - 3$ ، ثم أُمثِّله بيانيًّا.

تدرّب: السعة والدورة ثم أطابق وأصف

أجد طول الدورة والسعة لكل اقتران ممّا يأتي، ثم أُمثِّله بيانيًّا:

1. $g(x) = 3\sin x$

2. $g(x) = \cos 3x$

3. $g(x) = 2 - \cos x$

4. $g(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos\pi x$

5. $g(x) = 3 + 2\sin 3(x + \pi)$

6. $g(x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$

أكتب بجانب كل اقتران ممّا يأتي رمز التمثيل البياني المناسب له من بين التمثيلات البيانية ⁦(a–f)⁩ الظاهرة أدناه:

7. $g(x) = -2 + \sin(2x + \pi)$

8. $g(x) = -\sin(x + \pi)$

9. $g(x) = -3 + \cos x$

10. $g(x) = \cos(x + \frac{\pi}{2})$

11. $g(x) = 1 + \sin\frac{1}{2}x$

12. $g(x) = 1 + 2\cos(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2})$

أصِف التحويلات الهندسية التي طُبِّقت على منحنى الاقتران $f$ ليتنج منحنى الاقتران $g$ في كلٍّ ممّا يأتي:

13. $f(x) = 2\cos x,\ g(x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{2}) + 1$

14. $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{4}),\ g(x) = 3\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 2$

15. $f(x) = \sin 3x,\ g(x) = \sin 3(x + 3\pi) - 5$

16. $f(x) = \cos x + 9,\ g(x) = \cos 6(x - \pi) + 9$

• عجلة دوّارة: تُمثِّل المعادلة: $h = 25\sin\frac{\pi}{15}(t - 7.5) + 30$ الارتفاع عن سطح الأرض بالأقدام لشخص يركب في عجلة دوّارة، حيث $t$ الزمن بالثواني:

أُمثِّل منحنى معادلة ارتفاع الشخص مع الزمن بيانيًّا.

ما أقصى ارتفاع للشخص وأدنى ارتفاع له عن سطح الأرض؟

أبرّر وأتحدّى: صحيح أم لا؟

تبرير: أُميِّز الجملة الصحيحة من الجملة غير الصحيحة في ما يأتي، وأبرّر إجابتي:

19. كل اقتران جيب في صورة $y = a_1\sin(b_1x - c_1) + d_1$ يُكتَب بوصفه اقتران جيب تمام في صورة $y = a_2\cos(b_2x - c_2) + d_2$.

20. طول دورة الاقتران $f(x) = \cos 8x$ يساوي أربعة أضعاف طول دورة الاقتران $g(x) = \cos 2x$.

تحدٍّ: أملأ الفراغ بما هو مناسب في ما يأتي لتصبح المعادلة صحيحة:

21. $\cos(-2x + 6\pi) = \sin 2(x + \underline{\qquad})$

جيوجبرا: أرسم المنحنى وأتحقّق منه

• يُمكِنني استعمال برمجية جيوجبرا لتمثيل الاقترانات الجيبية بيانيًّا باستعمال نظام الراديان.
• أكتب الاقتران: $f(x) = 2\cos(x - \pi)$ في شريط الإدخال، ثم أضغط على زرِّ الإدخال ⁦Enter⁩.
• أختار ⁦xAxis⁩ من القائمة، ثم أنقر المربع الصغير بجانب كلمة ⁦Distance⁩: ؛ لتفعيل هذه الخانة.
• أُغيِّر وحدة القياس المُستعمَلة للتمثيل؛ بنقر السهم الصغير المجاور لكلمة ⁦Unit⁩: ، ثم أختار الرمز $\pi$.

أُمثِّل كلًّا من الاقترانات المثلثية الآتية بيانيًّا باستعمال برمجية جيوجبرا:

1. $f(x) = 5\sin x$

2. $f(x) = \cos(3 - x)$

3. $g(x) = 1 - \sin(x - \frac{\pi}{6})$

4. $g(x) = 2 - \cos x$

5. $g(x) = \frac{1}{2}\cos\pi x$

6. $g(x) = 3 + 2\sin 3(x + \pi)$