النهايات والاتصال

• إيجاد نهاية اقتران عند نقطة بيانيًّا وعدديًّا وجبريًّا.
• البحث في اتصال اقتران عند نقطة.

النهاية: إلى أي قيمة يقترب الاقتران؟

وسأتعلّم في هذا الدرس تحليل سلوك اقتران معطى، وتحديد إذا كانت قِيَم الاقتران (المخرجات) تقترب أكثر فأكثر من عدد ما.

• فمثلًا: إذا كان $f(x) = x^2 - x + 1$ واخترت قِيَمًا للمتغيّر $x$ تقترب أكثر فأكثر من العدد 2
• كلّما اقتربت قيَم $x$ من العدد (2) من جهة اليسار، فإنّ قِيَم $f(x)$ تقترب من العدد (3)
• وكلّما اقتربت قيَم $x$ من العدد (2) من جهة اليمين، فإنّ قِيَم الاقتران تقترب من العدد (3)

• جهة اليسار

• عندها يُمكنني القول: إنّ نهاية $(x^2 - x + 1)$ هي 3 عندما تقترب $x$ من العدد 2 من جهتَي اليمين واليسار، وتُكتب على الصورة:

• جهة اليمين

• عند كتابة $\lim_{x\to c} f(x)$، فهذا يُشير إلى أنّ $x$ تقترب من $c$ من جهتَي اليمين واليسار
• أستعملُ $\lim_{x\to c^-} f(x)$ للدلالة على النهاية من جهة اليسار، حيث $x < c$
• أستعملُ $\lim_{x\to c^+} f(x)$ للدلالة على النهاية من جهة اليمين، حيث $x > c$

متى توجد النهاية؟ اليمين واليسار يتفقان

• وتكون نهاية الاقتران $f(x)$ عندما تقترب $x$ من $c$ موجودة؛ إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين.

لماذا مجال $f(x)$ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا $-1$؟

أجد كل نهاية مما يأتي بيانيًّا وعدديًّا:

a) $\lim_{x\to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}$

b) $\lim_{x\to 0} f(x)$ , $f(x) = \begin{cases} x & , x \leq 0 \\ 1 & , x > 0 \end{cases}$

• الطريقة 2: إيجاد النهاية عدديًّا.
• أُنشئ جدول قِيَم باختيار قِيَم $x$ القريبة من العدد $-1$ من كلا الجهتين، وإيجاد قيم $f(x)$ المقابلة لها باستعمال الآلة الحاسبة.

• أُلاحظ أنّه كلّما اقتربت قِيَم $x$ من العدد $(-1)$ من الجهتين؛ فإنّ قيمة $f(x)$ المقابلة لها تقترب من العدد $(-2)$، وهذا يعني أنّ:

• أُلاحظ ممّا سبق، أنّ قيمة النهاية متساوية في كلا الطريقتين.

• الطريقة 2: إيجاد النهاية عدديًّا.
• أُنشئ جدول قِيَم باختيار قِيَم $x$ القريبة من العدد 1 من كلا الجهتين، وإيجاد قيم $f(x)$ المقابلة لها باستعمال الآلة الحاسبة.

• أُلاحظ أنّه كلّما اقتربت قيَم $x$ من العدد $(1)$ من جهة اليسار، فإنّ قِيَم $H(x)$ المقابلة لها تقترب من العدد $(4)$
• وأنّه كلّما اقتربت قيَم $x$ من العدد $(1)$ من جهة اليمين، فإنّ قِيَم $H(x)$ المقابلة لها تقترب من العدد $(-2)$
• وبما أنّ النهايتين من اليمين ومن اليسار غير متساويتين؛ فإنّ $\lim_{x\to 1} H(x)$ غير موجودة.

• أُلاحظ من المثال السابق، أنّ نهاية $f(x)$ عندما تقترب $x$ من العدد $c$ لا علاقة لها بقيمة $f(c)$
• فمثلًا $\lim_{x\to c} f(x) = L$ في الحالات الثلاث الآتية:

النهايات جبريًّا: قواعد جاهزة

تعلّمتُ في الأمثلة السابقة كيفية إيجاد النهايات بيانيًّا وعدديًّا، وسأتعلّم الآن طرائق جبرية لإيجاد النهايات.

• وتُعدّ الخصائص الآتية أدوات أساسية لإيجاد النهايات جبريًّا:
• إذا كان $k, c$ عددين حقيقيّين، و$n$ عددًا صحيحًا موجبًا
• وكانت النهايتان $\lim_{x\to c} f(x), \lim_{x\to c} g(x)$ موجودتين؛ فإنّ كلًّا من الخصائص الآتية صحيحة:

• القسمة: شريطة أن يكون $\lim_{x\to c} g(x) \neq 0$
• الجذر النوني: شريطة أن تكون $\lim_{x\to c} f(x) > 0$ عندما يكون $n$ عددًا زوجيًّا.

أستعملُ خصائص النهايات لحساب كلّ نهاية ممّا يأتي:

a) $\lim_{x\to 1}(2x^3 + 3x^2 - 4)$

b) $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{1 + 3x^2}}{3x - 2}$

التعويض المباشر: متى ينفع؟

• في المثال السابق، أُلاحظ أنّ نهاية كلّ اقتران عندما تقترب $x$ من $c$ تساوي $f(c)$؛ لذا، أستنتج أنّه يُمكن إيجاد هذه النهايات بالتعويض المباشر
• ولكن هذا لا ينطبق على الاقترانات جميعها، إلّا أنّه ينطبق على اقترانات كثيرات الحدود، والاقترانات النسبية ما دامت قيمة مقام الاقتران النسبي عند $c$ لا تساوي صفرًا.

أجدُ كلّ نهاية ممّا يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنًا، وإلّا فأذكرُ السبب:

a) $\lim_{x\to 2}(3x^2 - 5x + 4)$

b) $\lim_{x\to -1}\sqrt{1 + 4x^2}$

c) $\lim_{x\to 3}\frac{x^3 - 5x - 6}{x^2 - 2}$

d) $\lim_{x\to 4}\frac{x^2 - 16}{x - 4}$

حين يعطي التعويض صفرًا على صفر

• إنّ ناتج التعويض المباشر في الفرع 3 من المثال السابق $\left(\lim_{x\to-3}\frac{x^2-x-12}{x+3}\right)$ يُعطي الناتج $\frac{0}{0}$

• ولكنّ هذا لا يعني أنّ النهاية غير موجودة، فالتمثيل البياني المجاور للاقتران $f(x)=\frac{x^2-x-12}{x+3}$ يُظهر أنّ النهاية موجودة عند $x=-3$ وتساوي $-7$.

• نحتاج في مثل هذه الحالة (ناتج التعويض المباشر $\frac{0}{0}$) إلى البحث عن صيغة مكافئة للاقتران
• عن طريق تبسيطه جبريًا؛ وذلك بتحليل كلّ من البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة، أو إنطاق البسط أو المقام واختصار العوامل المشتركة.

لماذا لم توضع إشارة المساواة في أيٍّ من المتباينتين عند إعادة تعريف الاقتران؟

أجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

a) $\lim_{x\to0}\frac{7x-x^2}{x}$

b) $\lim_{x\to0}\frac{2-\sqrt{x+4}}{x}$

c) $\lim_{x\to5}\frac{|x-5|}{x-5}$

الاقتران المتصل: منحنى بلا قفزة ولا فجوة

• توضّح التمثيلات البيانية الآتية بعض حالات الاتصال أو عدم الاتصال:

• أُلاحظ أنّ منحيي الاقترانين $p(x)$ و $h(x)$ أعلاه غير متّصلين عند ($x=1$)؛ لأنّ كلًّا من الاقترانين غير معرّف عند ($x=1$)
• على الرغم من أنّ نهاية الاقتران $h(x)$ موجودة عندما ($x=1$).
• أمّا الاقتران $g(x)$ فإنّه غير متّصل عند ($x=1$) بسبب وجود قفزة (ما يعني أنّ النهاية غير موجودة).
• ممّا سبق، يُمكن التوصّل إلى أنّ الاقتران يكون متّصلًا عند نقطة إذا كانت النهاية تساوي قيمة الاقتران عند تلك النقطة.

ثلاثة شروط للاتصال عند نقطة

• $f(x)$ مُعرَّف عند $c$.
• $\lim_{x\to c}f(x)$ موجودة.
• $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$

أُحدّد إذا كان كلّ اقتران ممّا يأتي متصلًا عند قيمة $x$ المعطاة، وأبرّر إجابتي:

a) f(x)=x5+2x3-x , $x=1$

b) g(x)=(x2+16)/(x-5) , x=5

c) h(x)=casesx-1 & ,x<3\ 5-x & ,x≥3cases , $x=3$

تدرّب على كل أنواع النهايات

• أجد كلاًّ من النهايات الآتية بيانيًّا وعدديًّا:

1 →3(x+7)

2 →0|x|

3 →-1(x2-5)

4 →3f(x), f(x)=cases-1 & ,x3\ 1 & ,x=3cases

5 →-2p(x), p(x)=casesx+6 & ,x<-2\ -(1)/(2)x+1 & ,x>-2cases

• أجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

6 →3(x2-4x+7)

7 →3(x2-16)/(x-4)

8 →9(√(x)+1√(x))2

9 →2π(x3+π x-5π3)

10 →-3√((x-3)/(2x+4))

11 →4[3]x2+11

12 →3(x3-27)/(x-3)

13 →-1(2x2+5x+3)/(x+1)

14 →2(x2-x-2)/(|x-2|)

15 →3f(x), f(x)=casesx-1 & ,x<3\ 3x-7 & ,x>3cases

16 →41√(t)-(1)/(2)t-4

17 →3√(x+1)-2x-3 أستعملُ التمثيل البياني؛ لأجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

18 →2f(x)

19 →-2^-f(x)

• أستعملُ التمثيل البياني؛ لأجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

20 →1h(x)

21 →2^+h(x)

22 →3h(x)

23 إذا كان f(x)=ax2+bx+c ، حيث a0 ، وكان f(0)=0 ، →1f(x)=5 ، →-2f(x)=8 ؛ فأجد قِيَم الثوابت $a$ و b و $c$.

• أستعملُ التمثيلين البيانيين المجاورين؛ لأجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

24 →2(f(x)+g(x))

25 →1√(3+f(x))

26 →0(f(x)× g(x))

• أُحدّد إذا كان كلّ اقتران ممّا يأتي متصلًا عند قيمة $x$ المعطاة، وأبرّر إجابتي:

27 f(x)=π x2+4.2x+7 , x=-5

28 g(x)=(16)/(x2+25) , x=-5

29 h(x)=casesx2 & ,x<0\ 3 & ,x≥0cases , x=0

تحدّي النهايات: اتصال وثوابت

30 تبرير: إذا كان f(x)=casesx+3 & ,x3\ 2+√(k) & ,x=3cases ، متصلًا عند $x=3$؛ فأجد قيمة الثابت k.

31 تبرير: أجد قيمة الثابت $a$ التي تجعل →1((1)/(x-1)-(a)/(x2-1)) موجودة، وأبرّر إجابتي.