القيم العظمى والصغرى

• تحديد النقاط الحرجة، وفترات التزايد والتناقص لاقترانات كثيرات الحدود.
• تصنيف النقاط الحرجة لاقترانات كثيرات الحدود باستعمال المشتقّة.

النقطة الحرجة: أين يصير المماس أفقيًا؟

• القيمة الحرجة ⁦(critical value)⁩: الإحداثي $x$ للنقطة الحرجة.

أجد النقاط الحرجة لكل اقتران ممّا يأتي:

a) $f(x) = 6x^2 - 12x + 12$

b) $h(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x + 3$

التزايد والتناقص: ماذا تخبرنا إشارة المشتقّة؟

• ألاحظ أنّ قِيَم $y$ تزداد في الفترة $(-\infty, a)$، والفترة $(b, \infty)$، حيث يرتفع منحنى الاقتران من اليسار إلى اليمين.
• فيكون الاقتران $f(x)$ متزايدًا ⁦(increasing)⁩ في هاتين الفترتين.
• وفي الفترة $(a, b)$ تقل قِيَمُ $y$ وينخفض المنحنى من اليسار إلى اليمين؛ لذا يكون الاقتران $f(x)$ متناقصًا ⁦(decreasing)⁩.

• السؤال: مشتقّة الاقتران عند نقطة تساوي ميل المماس عندها، فكيف تفيدنا في دراسة التزايد والتناقص؟
• يُبيّن الشكل المجاور بعض مماسات منحنى الاقتران $f(x)$.

• المماسات ذات الميل الموجب مرتبطة بالجزء المتزايد من منحنى الاقتران.
• المماسات ذات الميل السالب مرتبطة بالجزء المتناقص من منحنى الاقتران.
• وهذا يقود إلى الاستفادة من إشارة المشتقّة في تحديد فترات التزايد والتناقص.

• إذن: $f(x)$ متناقص في الفترة $(-\infty, -1)$، ومتزايد في الفترة $(-1, \infty)$.

• إذن: $f(x)$ متناقص في الفترة $(-\infty, -2)$، والفترة $(3, \infty)$، ومتزايد في الفترة $(-2, 3)$.

أجد فترات التزايد والتناقص لكلّ اقتران ممّا يأتي:

a) $f(x) = 6x^2 - 6x + 12$

b) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 3$

تصنيف النقطة الحرجة: عظمى أم صغرى؟

يُمكن استعمال المشتقّة؛ لتصنيف النقاط الحرجة لاقترانات كثيرات الحدود كما يأتي:

• الخطوة 3: أجد القِيَم القصوى المحلية.
• قيمة عظمى محلية عندما $x = -3$ وهي: $f(-3) = 25$.
• قيمة صغرى محلية عندما $x = \frac{1}{2}$ وهي: $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{43}{12}$.
• أتذكّر: القِيَم الحرجة هي قِيَم مُرشَّحة ليكون عندها نقاط قصوى محلية، ويلزم التحقُّق من أنَّ $f$ يُغيِّر سلوكه حول هذه القِيَم.

أجد القِيَم القصوى المحلية ( إن وجدت) للاقتران: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1$.

من الحياة: أعلى درجة حرارة لمريض

يُمكِن نمذجة كثير من المواقف الحياتية والعلمية باقترانات كثيرات الحدود، وعندئذ يستفاد من تحديد تزايد تلك الاقترانات وتناقصها وقيمها العظمى والصغرى في تحليل تلك المواقف وتفسيرها.

• الخطوة 3: أجد القِيَم القصوى المحلية.
• منحنى الاقتران $T$ متزايد عن يسار $t = 6$، ومتناقص عن يمينها؛ ما يعني أنّ للاقتران $T$ قيمة عظمى محلية عندما $t = 6$.

• إذن، أعلى درجة حرارة للمريض هي °⁦C 41.6⁩، وقد سُجِّلت في اليوم السادس من بدء علاجه.

لاحظت عالمة حيوان أنّ عدد الضفادع في بحيرة ما يُمكِن نمذجته بالاقتران: $P(t) = 120t - 0.4t^2 + 1000$، حيث $P$ عدد الضفادع، و$t$ الزمن بالأشهر منذ بدء ملاحظة الضفادع. أجد أكبر عدد يُمكِن أنْ تصل إليه الضفادع في البحيرة منذ بدء ملاحظتها.

تدرّب: النقاط الحرجة والتزايد والتناقص والقيم القصوى

1 $f(x) = x^2 - 6x + 10$

2 $f(x) = 1 - 12x + 2x^2$

3 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$

4 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$

5 $f(x) = 4x + 3$

6 $f(x) = 7 - 5x$

7 $f(x) = x^2 + 7$

8 $f(x) = x^2 - x$

9 $f(x) = x^2 - 5x + 2$

10 $f(x) = 2x^3 - 3x^2$

11 $f(x) = 3x^2\,(12 - 5x)$

12 $f(x) = (x-2)^2$

أجد القيم القصوى المحلية (إن وجدت) لكلّ اقتران ممّا يأتي:

13 $y = x^3 + 6x^2 - 15x - 90$

14 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x$

15 $f(x) = x^4 - 2x^2

16 $y = \frac{2}{3}x^3 - 8x^2 + 30x$

17 $f(x) = 16x^3 + 24x^2 + 3$

18 $h(x) = -(x-2)^2 + 1$

19 صناعة: تُنتِج إحدى الشركات صناديق لتخزين البضائع على شكل متوازي مستطيلات. إذا أمكن نمذجة حجم كلٍّ من هذه الصناديق بالاقتران: $V(x) = 18x - \frac{2}{3}x^3$، فأجد قيمة $x$ التي تجعل حجم الصندوق أكبر ما يُمكِن.

تحدّ: أثبت واستنتج

20 تبرير: إذا كان الاقتران $y = ax^2 + bx + c$، يمرّ بالنقطتين $(0, -48)$ ، و $(0, 6)$، وله قيمة عظمى محلية عندما $x = 7$؛ فأجد قِيَم الثوابت $a$ و$b$ و$c$، وأبرر إجابتي.

تحدّ: إذا كان الاقتران $y = x^3 + ax^2 + b$، حيث $a$ و$b$ ثابتان؛ فأُجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

21 أُثبتُ أنّ لمنحنى الاقتران نقطة حرجة عند تقاطعه مع المحور $y$.

22 أُثبتُ أنّ للاقتران نقطة صغرى محلّية عندها إذا كانت $a > 0$.

23 تحدّ: إذا كان للاقتران: $f(x) = ax^2 - 4x + c$ حيث $a$ و$c$ عددان حقيقيان، نقطة حرجة هي $(2, -7)$، فما قيمة كلٍّ من $a$ و$c$؟