الاقترانات المثلثية

• إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية لأيِّ زاوية.

ست نسب من مثلث قائم الزاوية

• وتُستعمَل قياسات أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية وقياس زاوية حادَّة فيه لإيجاد النسب المثلثية الست التي تُحدِّد ستة اقترانات مثلثية.
• إذا مثَّلت $\theta$ قياس زاوية حادَّة في مثلث قائم الزاوية، فإنَّ الاقترانات المثلثية الستة تُعرَف بدلالة الوتر، والضلع المقابل، والضلع المجاور كما يأتي:

• الجيب ⁦(sine)⁩: $\sin\theta = \frac{(\text{المقابل})}{(\text{الوتر})}$
• جيب التمام ⁦(cosine)⁩: $\cos\theta = \frac{(\text{المجاور})}{(\text{الوتر})}$
• الظل ⁦(tangent)⁩: $\tan\theta = \frac{(\text{المقابل})}{(\text{المجاور})}$
• قاطع التمام ⁦(cosecant)⁩: $\csc\theta = \frac{(\text{الوتر})}{(\text{المقابل})}$
• القاطع ⁦(secant)⁩: $\sec\theta = \frac{(\text{الوتر})}{(\text{المجاور})}$
• ظل التمام ⁦(cotangent)⁩: $\cot\theta = \frac{(\text{المجاور})}{(\text{المقابل})}$

• $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
• $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
• $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

أجد قِيَم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية $\theta$ في المثلث المجاور.

أي زاوية: نقطة على ضلع الانتهاء تكفي

• يُمكِن تعميم تعريفات الاقترانات المثلثية الخاصة بالزاوية الحادَّة (في المثلث القائم الزاوية)، لتشمل أيَّ زاوية في الوضع القياسي.

• $\sin\theta = \frac{y}{r}$
• $\cos\theta = \frac{x}{r}$
• $\tan\theta = \frac{y}{x}$, $x \neq 0$
• $\csc\theta = \frac{r}{y}$, $y \neq 0$
• $\sec\theta = \frac{r}{x}$, $x \neq 0$
• $\cot\theta = \frac{x}{y}$, $y \neq 0$

تقع النقطة $(-3, 1)$ على ضلع انتهاء الزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي. أجد قِيَم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية $\theta$.

• تعلَّمْتُ في الأمثلة السابقة إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية للزاوية $\theta$ من دون معرفة قياسها.
• وسأتعلّم الآن طرائق إيجاد قِيَم هذه الاقترانات عندما يكون قياس الزاوية $\theta$ فقط معلومًا.

زوايا على المحورين: نقطة واحدة تكفي

• يُمكِن إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية للزوايا الربعية باختيار نقطة تقع على ضلع انتهاء الزاوية، ثم إيجاد الاقتران المثلثي عند تلك النقطة.

أجد قيمة كل اقتران مثلثي ممّا يأتي إذا كان مُعرَّفًا، وإلّا أكتب عبارة (غير مُعرَّف):

الزاوية المرجعية: القيمة منها والإشارة من الربع

• يُبيِّن الجدول الآتي العلاقة بين $\theta$ و $\theta'$ لأيِّ زاوية $\theta$ غير ربعية.

• تُستعمَل الزوايا المرجعية لإيجاد قيمة الاقترانات المثلثية لأيِّ زاوية $\theta$، وتعتمد إشارة قيمة الاقتران المثلثي على الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية $\theta$.
• أتَّبع الخطوات الآتية لإيجاد قيمة الاقترانات المثلثية لأيِّ زاوية $\theta$:
• الخطوة 1: أجد قياس الزاوية المرجعية $\theta'$.
• الخطوة 2: أجد قيمة الاقتران المثلثي للزاوية المرجعية $\theta'$.
• الخطوة 3: أستعمل الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية $\theta$، لتحديد إشارة قيمة الاقتران المثلثي للزاوية $\theta$، بالاستعانة بالمُخطَّط المجاور.

• يُبيِّن الجدول الآتي قِيَم بعض الاقترانات المثلثية للزوايا الخاصة.

أجد قيمة كلٍّ ممّا يأتي:

قيمة اقتران واحد وربع: تكفي لإيجاد الباقي

• تعلَّمْتُ في الأمثلة السابقة إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية إذا عُلِمت نقطة تقع على ضلع الزاوية $\theta$، أو إذا عُلِم قياسها.
• وسأتعلَّم في المثال الآتي إيجاد قِيَم الاقترانات المثلثية إذا عُلِمت قيمة اقتران مثلثي أو أكثر للزاوية $\theta$، والربع الذي يقع فيه ضلع انتهائها.

إذا كان $\sec\theta = 2$، حيث $\sin\theta < 0$، فأجد قيمة كلٍّ من الاقترانات المثلثية الخمسة المتبقية للزاوية $\theta$.

معكوس الجيب وجيب التمام والظل: نقيّد المجال أولًا

• تعلَّمْتُ سابقًا أنَّه يُمكِن إيجاد الاقتران العكسي لاقترانٍ إذا وفقط إذا كان الاقتران واحدًا لواحد، وهذا يعني أنَّ كل عنصر في مداه يرتبط بعنصر واحد فقط في مجاله، ويُمكِن التحقُّق من ذلك باستعمال اختبار الخط الأفقي.

• ألاحِظ من الشكل المجاور أنَّ اقتران الجيب $y = \sin x$ فشل في اختبار الخط الأفقي؛ ما يعني أنَّه ليس اقتران واحد لواحد؛ لذا لا يُمكِن إيجاد اقتران عكسي له.
• ولكنْ، لو اقتصر مجال اقتران الجيب على الفترة $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ كما في الشكل الآتي، فإنَّه يصبح اقتران واحد لواحد لجميع قِيَم المدى $[-1, 1]$
• عندئذٍ يُمكِن إيجاد اقتران عكسي لاقتران الجيب في المجال المُحدَّد، ويُسمّى معكوس اقتران الجيب $y = \sin^{-1}x$.

• أمّا التمثيل البياني للاقتران $y = \sin^{-1}x$ فيُمكِن إيجاده بعكس منحنى اقتران الجيب في المجال المُحدَّد حول المستقيم $y = x$ كما في الشكل الآتي.

• نتيجةً لما سبق؛ يُمكِن إيجاد معكوس اقتران الجيب، وجيب التمام، والظل ضمن مجال مُحدَّد باستعمال تعريف الاقتران العكسي.

• لإيجاد قيمة اقتران عكسي عند نقطة ما، تُعكَس قاعدة الاقتران الأصلي.
• فمثلًا، بما أنَّ $\sin\frac{\pi}{2} = 1$، فإنَّ $\sin^{-1}1 = \frac{\pi}{2}$.

أجد قيمة كلٍّ ممّا يأتي (إنْ وُجِدت):

-11√(2), $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$

-10, $[0, \pi]$

-1(-1√(3)), $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$

تدرّب: من المثلث إلى المعكوس

أجد قِيَم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية $\theta$ في كلٍّ ممّا يأتي:

شكل التمرين 1

شكل التمرين 2

شكل التمرين 3

تقع النقطة المعطاة في كلٍّ ممّا يأتي على ضلع انتهاء الزاوية $\theta$ المرسومة في الوضع القياسي. أجد قِيَم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية $\theta$:

4 (-12, 5)

5 (3, -3)

6 (-2, -5)

7 (3, 7)

8 135°

9 (-(3π)/(4))

10 ((8π)/(3))

11 (7π)/(4)

12 (15π)/(4)

13 (-630°)

14 7π

15 (-(2π)/(3))

أجد قيمة كلٍّ من الاقترانات المثلثية الخمسة المتبقية للزاوية $\theta$ في كلٍّ ممّا يأتي:

16 θ = -(7)/(12), θ > 0

17 θ = 5, $\sin\theta < 0$

18 θ = (1)/(4), $\sin\theta < 0$

19 θ = 2, θ > 0

أجد قيمة كلٍّ ممّا يأتي (إنْ وُجِدَت):

20 -1(-√(3)2), $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$

21 -1(√(3)), $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$

22 -1(√(2)2), $[0, \pi]$

إذا كان (π)/(12) = 0.966 لأقرب ثلاث منازل عشرية، فأستعمل هذه الحقيقة لإيجاد قيمة كلٍّ ممّا يأتي، وأبرّر إجابتي:

23 (13π)/(12)

24 (11π)/(12)

25 (-π)/(12)

26 (23π)/(12)

27 ((3π)/(4))2 + ((4π)/(3))2 + ((5π)/(4))2

28 (π)/(3) - (2π)/(3) + π - (4π)/(3) + (5π)/(3) - 2π

تحدٍّ وتبرير

تحدٍّ: 29 يُبيِّن الشكل المجاور قطاعين دائريين ناتجين من دائرتين متحدتين في المركز. إذا كان قياس زاوية القطاعين 0.75، ومساحة الجزء المُظلَّل 30 cm2، فأجد قيمة $x$.

تبرير: أُثبِت كُلًّا ممّا يأتي، وأبرّر إجابتي:

30 210° + 240° = 4√(3)3

31 ( 30° + 60°)/( 45°) = (1)/(2)(√(2) + √(6))

32 30° + 45° + 60° = (1)/(2)(1 + √(2) + √(3))